II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

Если бы тело было абсолютно твердым, то все его точки должны были бы прийти в движение одновременно с той, которая подверглась воздействию; в противном случае тело деформировалось бы. Теория относительности, однако, делает это невозможным, так как воздействие от данной точки передается к остальным с конечной скоростью, а потому все точки тела не могут одновременно начать двигаться. 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ з 16 Из сказанного вытекают определенные выводы, относящиеся к рассмотрению элементарных частиц, т.е.

частиц, для которых мы считаем, что их механическое состояние полностью описывается заданием трех координат и трех компонент скорости движения как целого. Очевидно, что если бы элементарная частица обладала конечными размерами, т.е. была бы протяженной, то она не могла бы деформироваться, так как понятие деформации связано с возможностью независимого движения отдельных частей тела. Но, как мы только что видели, теория относительности показывает невозможность существования абсолютно твердых тел.

Таким образом, в классической (неквантовой) релятивистской механике частицам, которые мы рассматриваем как элементарные, нельзя приписывать конечных размеров. Другими словами, в пределах классической теории элементарные частицы должны рассматриваться как точечные') . $ 16. ~четырехмерный потенциал поля Действие для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия (8.1) свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Последний должен содержать как величины, характеризующие частицу, так и величины, характеризующие поле. Оказывается '), что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним параметром так называемым зарядом частицы е, который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной.

Свойства же поля характеризуются 4-вектором А;, так называемым А-потенциалом, компоненты которого ) Хотя квантовая механика существенно меняет ситуацию, однако и здесь теория относительности делает крайне трудным введение неточечного взаимодействия. ) Следующие ниже утверждения надо рассматривать в значительной степени как результат опытных данных. Вид действия для частицы в злектромагнитном поле не может быть установлен на основании одних только общих соображений, таких, как требование релятивистской инвариантности (последнее допускало бы, например, в действии также и член вида Э А1)а, где А — скалярная функция). Во избежание недоразумений напомним, что речь идет везде о классической (не квантовой) теории, н потому нигде не учитываются эффекты, связанные со свином частиц.

гл. ш ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ являются функциями координат и времени. Эти величины вхо- дят в действие в виде члена 6 — — / А;дх', с,/ а где функции А; берутся в точках мировой линии частицы. Множитель 1/с введен здесь для удобства. Следует отметить, что до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связывающих заряд или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их 11 измерения могут быть выбраны произвольным образом ) . Таким образом, действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид г = ) ( — г — -А;2 е с (16.1) (16.3) ') Об установлении этих единиц см.

З 27. а Три пространственные компоненты 4-вектора А' образуют трехмерный вектор А, называемый векторным потснци лом поля. Временную же компоненту называют скалярным потен- циалом; обозначим ее как А = ~р. Таким образом, о А' = (~р, А). (16.2) Поэтому интеграл действия можно написать в виде ь е г = ~ ( — г .~ -А г — а а), с а или, вводя скорость частицы и = с1г/Ж и переходя к интегриро- ванию по времени, в виде гг г = ~ ( — у 1 — —, + -А — а) а. с с Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заря- да в электромагнитном поле: / 2 Ь = — тс ~/1 — — ", + '-Ан — еу.

(16.4) с с Это выражение отличается от функции Лагранжа (8.2) для свое бодной частицы членами -Атс — еу, которые описывают взаимос действие заряда с полем. 78 1 17 1ЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ Производная дТ урдч есть обобщенный импульс частицы; обозначим его буквой Р. Производя дифференцирование, находим 116.5) Здесь мы обозначили буквой р обычный импульс частицы, который мы и будем называть просто импульсом. Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона частицы в поле по известной общей формуле д1. Ж = ч — — Ь.

дч Подставляя сюда 116.4), найдем 116.6) Фу б р, б «,д б р р скорость, а через обобщенный импульс частицы. Из 116.5), 116.6) видно, что соотношение между бус' — ебр и е Р— -А такое же, как между Ж и р в отсутствие поля, т. е. с ( ) =т с + (Р— — А), (16.7) или иначе: + ебр. 116.8) Для малых скоростей, т. е. в классической механике, функция Лагранжа 116.4) переходит в Ь = ™ + -Ач — ебр. 116.9) 2 с В этом приближении р=тч=Р— -А, с и мы находим следующее выражение для функции Гамильтона: .ус' = — (Р— -А) + ебр.

116.10) Наконец, выпипуем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в электромагнитном поле. Оно получается заменой в функции Гамильтона обобщенного импульса Р на дЯ/дг, а самого ус' — на — ддурд~. Таким образом, получим из 116.7) (8гас1 д — -А) — —,( — + ебр) + тзс = О. 116.П) с с дй ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ.

П1 й 17. 'Уравнения движения заряда в поле (17. 2) Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздей- ствию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однако если заряд е не велик, то его действием на поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от координат, ни от скорости заряда. Точные условия, которым должен удовлетворять заряд для того, чтобы он мог считаться в указанном смысле малым, будут выяснены в дальнейшем Я 75). Ниже мы будем считать это условие выполненным.

Итак, нам надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьирова- нием действия, т. е. даются уравнениями Лагранжа 11 дь дТ (17.1) пг дч дг ' где б определяется формулой (16.4). Производная дЬ/дч есть обобщенный импульс частицы (16.5). Далее имеем дт, е — = 177 = — нгас1Ач — евтас1р. дг с Но по известной формуле векторного анализа нга11аЬ = (а17)Ь+ (Ь17)а+ [ЬГОФа]+ [агоФЬ], где а и Ь любые два вектора.

Применяя эту формулу к Ач и помня, что дифференцирование по г производится при постоян- ном ч,находим д7 е е — = -~,чг7)А + -~[чти А] — енгас11с. дг с с Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют вид е — [р + -А) = — (ч17)А+ — [чго1А] — ейгас11,1. 111 С С с Но полный дифференциал (11А/1Й) Ю складывается из двух ча- стей: из изменения (дА/д1) 11г векторного потенциала со време- нелс в данной точке пространства и из изменения при переходе от одной точки пространства к другой на расстояние 11г. Эта вторая часть равна (с1г~7)А.

Таким образом, — = — + (ч~7)А. 11А дА 11с дс Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем Ыр едА е — = — — — — ебгас1у+ -[чго$А]. Е1 с дс с уРАВнения движения 3АРядА В поле Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном поле. Слева стоит производная от импульса частицы по времени. Следовательно, выражение в правой части (17.2) есть сила, действующая на заряд в электромагнитном поле.

Мы видим, что эта сила состоит из двух частей. Первая часть (первый и второй члены в правой части (17.2)) не зависит от скорости частицы. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости: пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к ней.

Силу первого рода, отнесенную к заряду, равному единице, называют напряженностью электрического поля; обозначим ее через Е. Итак, по определению, 1 дА Е = — — — — ягас1 ~р. с дг (17. 3) (17. 4) Н = го1 А. Если в электромагнитном поле Е ф О, а Н = О,то говорят об электрическом поле; если же Е = О, а Н ф О, то поле называют магнитным. В общем случае электромагнитное поле является наложением полей электрического и магнитного. Отметим, что Е представляет собой полярный, а Н вЂ” аксиальный вектор.

Уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно теперь написать в виде — = еЕ + -[чН]. Ыр е Ж с (17.5) Стоящее справа выражение носит название лоренцевой силы. Первая ее часть сила, с которой действует электрическое поле на заряд, не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля Е. Вторая часть-- сила, оказываемая магнитным 1юлем на заряд, †-пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля Н. Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс р приближенно равен своему классическому выражению тч, и уравнение движения (17.5) переходит в т — = еЕ+ — [чН].