Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 7

В > 0 последнее соотношение справедливо при любых а > 0 и 11 > О. Заььетиьц что (1) есть сужение функции 1 иа область положительных значений параььетров а и 8. Для нахождения ее для всех а, 9 б] — оо. +со[ нужно подобрать функции ьо и р таким образом, чтобы функция 1 оказалась непрерывной ь/ач 8, как и должно быть по доказанному выше. Соотношение иепрерывности !па 1(а,(1) = 1пп 1(а. В) = 1пп 1(а, Ю) = 1(0, В) = 1(а, 0) = !(О, 0) -+о ' я-ео ' .-+о о-ео приводит к равенству р(а) + ф(В) = -(Ю(1 — 1п 8) + а(1 — 1п а)).

2 ' (2) Таким образом, учитывая тождество 1(а, В) = 1(]а]. ]8]) збп (аб) и равенство (2), окончательно получаем а+ ~ ьыо~ о оба(а8)1п о, если аз ~ О, О, если аВ = О. и При решении следующих прилгеров считается известиым значение интеграла Эйогера— Пуассона; е Нх = —. 1 о ./т 2 о 70. 1 = ~ (агхз+ 26гх+ со)е (" тойте ~ооЬх, ь г ь' ь М Приводя трехчлеп ах~ +26х+с к виду ~т/ах+ — ] +с — — и полагая,/ехх+ — = П л,] а / получаем 1= ~(АЬ~+2ВЬ+С)е И, где Ьга — агЬ ь азсг — 2аЬЬг + агбз В= е, С= е аз ать/а аг '4 = — е ачга Ь 3.

Дифференцирование и иитегрироваиие под злаком иитеграла 41 Фуикция У непрерывна в области 0 ( х < +со, — ос < а, 3 < +оо, и даииый интеграл, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно (мажораитная функция ьо строится так: при 0 < х < 1 будет Щх, а, В)] ( ]аЯ, а при х > 1 имеем Щх, а, В)] ( — ".,; т,е. ьо(х) = ]аЯ при 0 < х < 1 и ьо(х) = —, при х > 1). Следовательно, по п.2.5 функция 1 непрерывна Ча,,9 б] — ж, +со[. Далее, пусть О < е < а < А ( +со, 0 < б < В < В < +со. Тогда, как иетрудио проверить, справедливы формулы Гл.

1. Интегралы, зависящие от параметра Поскольку +од е'дССж/, Се дССж — у Се дС(С)ж- у е дССж —, 2 до 1 д 2 1 -д д/т 2~ 2/ 2 1~ Се аС = О, 1 = д/т ( — + С~ = — д/ -Ца + 2Ь )ад — 4аббд + 2а сд)е 2 (2 / 2атЧ ° + 71, е о ейбхд(х, а > О. < Имеем / -«оо 1 С вЂ” *доо 1 С вЂ” оо — о* С Замечая, что оба эти интеграла можно найти как частные случаи общего интеграла из лре- Ч)а) Е И.

ПУсть )а) > е > О. ПосколькУ фУнкции — дьд иепРеРывны в области (а! > е, 1 < У < ог ем +ос а соответствующие интегралы от них, в силу мажораитного признака, сходятся равномерно на каждом отрезке е < (а~ < А, то функция 1' непрерывна при )а~ > О. Следовательно, И1()а!) / (о + о) Нх о Кроме того, положив в исходном щггеграле х = до), у > О, можем написать 1(~ад) = )а~ / о д " / —.

о (2) дыдущего примера, получаем 1 = д/-','еоо. и 72. 1(~а)) = / е д" о*/ ох. о м Представляя данный интеграл в виде ~,-(-"-') „, ~,-(" -'-'),. а д д производя замену у = — „в первом интеграле, получаем дом=/д"* ('"") — ,',д-"( ( у)дд д д Так как подынтегральные функции /д и /о здесь непрерывны при всех а и 1 < д < +оо, а соответствующие интегралы, по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно ((/д(а, у)~ ~ (—,, д уо д о Оо +оо ау — д (/д(а, у)~ < е У ) и интегралы 1' —" и ( е У дСд сходятся, то функция 1 непрерывна д д хе ' мв ЬхИх, ! ' о -а»2 е соз бх Ых, о в силу ирнзнака Вейерштрасса, сходятся равномерно относительно параметра Ь.

Следова- тельно, функции 1 и 1' непрерывны з'6 Е Н и оп + 6 1 (Ь) = — ~ хе мп ЬхНх = — е згп Ьх1 — — е созЬхах = — — ЦЬ). 2о а 2е / 2а Ьз Отсюда 1'(6) + — 1(Ь) = О. решая это уравнение, находим 1(6) = Се ь«, Поскольку 1(0) = +По Ьо ) е '* Ых=-~,то1(6)= —,/-'е ь»,а>0,6ЕК. М о 74. хэ" е соз 2Ьх зх, и с 64. о Ч Дифференцируя 2в раз интеграл из предыдущего примера н полагая а = 1, получаем +По е» (2») 2» » 2 2» -»2 Х -Ьо збэ" à — е соз26хох = ( — 1)"2" х "е * соз26хох = — е / ) 2 откуда + l- 2» -зо г2») хэ" е з соз26хах = (-1)" — (е ) г е о 1 мп ))х 75.

Исходя нз интеграла 1(а, )2) = 1 е» вЂ” Их, а > О, Ь) Е К„вычислить интеграл о Днрнхле 1)())) = ~ — йх. 1 згв;Зх о ° Поскольку функция е- » и» й», х Зз О, 1:(а,х) ь ('. '.:-: $3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла 43 Сравнивая (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение 1'()а)) + 21()а)) = О, решая которое, находим 1((аО = Се 2М), )а) > О. Но функция 1((а)) непрерывна, поэтому должно быть Е(0) = Вш (Се ~)')). Учитывая, (а) о ЧтО 1(0) = -'»2-, ОтСЮда НакадИМ С = аэ —. Итак, окончательно получаем 1()а)) = кэ-е эы). В + ОП 73. 1(Ь)= / е з созбхбх, а>0, ЬЕК. о М Функции 7: (Ь, х) ь е "* созЬх н )ь: (6, х) ь — хе» зш Ьх непрерывны в области 0 < х < +со, -со < 6 < +со; интегралы фй Гл.

1. Интегралы, зависящие от параметра +со непрерывна при каждом конечном а > О, 0 < т < +со, а интеграл ) )'(а, х) Ыт, в силу о примера 25, сходится равномерно по а ) О, то функция 1 непрерывна по переменной а ь>В О и поэтому 1(+О, б) = 13((3) Пусть а > О, Тогда функция 1о: (б, х) о е. соя(3к и интеграл 1Л(а,)3) = / е ' о 13я о(х. о в силу мажорантного признака, сходится равномерно относоьтельно параметра ф, поскольку (е "~ соз 13т) ( е ~ .

Следовательно, дифференцирование по 3 возможно, и после выполнения интегрирования в (1) получаем 1л(ас 13) =,, а > О. Отсюда находим 1(а, 13) = ысгб з + С(а). Так как 1(а, 0) = О, то С(а) = 0 и 1(а, 3) = агстб —. Такнм образом, окончательно имеем 8 х 13(,3) =1(+О, 13) = 1пп агсгк '— = — збпри и -+о г 1!спользуя интеграл Дирихле и формулу Фруллани, вычислоггь интегралы: 76. 1(а,13)= / Нх, а)0, 13ЕК.

о м При а)е>0, ф!>е>0 н 0(х <+со функции —,(о — соя )3т), ,1:(а, 3, х) ~- с -13 — а, х=О, ( о Л уз:(а,13, х) ь у„: (а, 13, т) ь- -е + о непрерывны. Данный интеграл. а также интегралы 1 (а, ф) = (,1 (ач 13, х) Лт, 1л(о, (3) = о уз(а, 13, т) о1х сходятся равномерно (первый — в силу признака Вейерштрасса, второй — в о силу приглера 26). Следовательно, функции 1, 1', 1л~ непрерывны и существует дифференциал 1 а1п13х 1 Гт т 11(а, 3) = — / е Их ба+ / Ых 013 = — — )/ — еа+ — збв13о33 я 2Ъа. 2 о о (см.

интегралы Дирихле и Эйлера — Пуассона), откуда интегрированием находим 1(а, 13) = — ф! — чгта а+ С. 2 (1) В силу произвольности е > О, этот результат справедлив при а > О, ф/ > О. Покажем, что он справедлив также и при а > О, — оо ( (3 ( +ос, Разбив исходный интеграл на два интеграла 1 +оо 1(а, (3) = / У(а, )3, х) Нх + / ~(а, ~3, я) Их, о 1 видим, что первый интеграл — непрерывная функция а и )3 при любых а и 13. Второй 2 интеграл ранномерно сходится при а > 0 и любом 13, так как Ща, 13, х)) < —,, 1сроме яп агсов33з 1 / яп(а+ 13)х 1 1 яп(а — 13)т о'я =— Нх + — 1 г(х я 2/ х 2/ я о о о и пользуясь интегралом Днрихле (см, пример 75), получаем ах = — (вбп(а+)3) +ябп(а — )3)).

З» о 118 / язп ая зп 33я о < Пользуясь формулой Фруллани (см. пример 61), находим +о» + 1 япазяп 33я 1 1 1 1 а+ф Мя = — 1 — (сов )а — )31х — соя )а + З3)я) Ня = — 1п я 2 г' х 2 а — г3 а~ я)3. в г я;пз ая о я Используя тождество яп ах ж -яп аз — -яп Зат, а также интеграл Дирихле (см. . з з пример 75), имеем о +го яп ах 3 / янах 1 / я1п Зат Ззг з л зг 1)я = — 13х — — Ых = — ябп а — — вбп За = — ябп а. В я 4 1 4 1 я 8 8 4 / яп ах — яп 13х з х о М Преобразовывая разность яп аг — япо Зуя к виду яп ая — яп 13я = — ((1 — сов 2ая) — (1 — сов 213х) ) = — (Яфя) — 1оа/я)), 4 4 1 1(я) = 2 соя 2я — — сов 4з, 2 запишем З) 1 Г Е~Я~-УП3 )1 4 1 х о 3 3. Дифференцирование и интегрирование нод знаком интеграла 45 того, функция 1 иеирерывна, поэтому и второй интеграл — также непрерывная функция при а ) О, 13 — любое.

Используя непрерывность функции 1, находим постоянную С из соотношения 1(01 0) = Бзп (-ф) — х/за а+ С) = О. о +о я-+о Такзззз образом, из (1) окончательно имеем 1(а, 13) = -ф — зузпа, а ~ О, 13 б К. В 77 ~ "" "*"''3' й Р П о н Представляя данный интеграл в виде 46 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Теперь применим формулу Фруллани (см, пример 61). Поскольку функция у непрерывна + лл и интеграл 1 ДуЛ 4х, по признаку Дирихле, сходится ЧА > О, то по указанной формуле 1(ол СС) = — !в ~ — ~, если иСС ф О.

Если и ж О, 11 ф О илн СУ = О, и ~ О, то данный интеграл расходится. Наконец, если и = СС = О, то интеграл существует и равен нулю. Позтому окончательно имеем - 1п ~ В ~, если иСС ВЬ О, ( О, если и=В=О.п 8) влп(х ) 4 о ~ ПОСЛЕ ЗаМЕИЫ ПсрЕЛВЕННОй Х ИО фОриуЛЕ Х ж ЧГС, С > О, ПОЛуЧаЕМ ИнтЕГраЛ ДирИХЛЕ (см. пример 75): + о + / '-/ зга(х ) 1 1 мпС я — Сх= — / — йс= —, н х 2 / С 4 + 21.4Л 82. Найти разрывный множитель Дирихле 11(х) = — / з1п Л сов Лх — Чх Е Н.

Л о М Полагая в примере 77 х = Л, и = 1, й = х получаем ( 1, если (х)<1, .0(х) = — (вйп (1 + х) + вйв (1 — х)), 11(х) = -', если х = ж1, О, если (х( > 1. > 1 мпах 83. Вычислить интеграл 1= т.р. / алх. '/ х+6 ~ Положим С = х+ 6. Тогда С япаС С сов ав ( вСп аС 1 = г. р. / — соз(аЬ) 4С вЂ” ч.

р, / — взп аЬ~КС = 2 сов(аЬ) / — 4С = ясов(аЬ) зйп а, С / / С 6е в так как + со я С сов аС 1 соваС 1 соваС ч. р. ~ — йпл / — 41+ Ылп / — А = О С+о/ С +е/ С Л +л-А А + э в силу нечетности подынтегральной функции, а +оо я +лл С в1паг . С в!паг /ипаС С мпаС ю р. / — аг ев йвп ( — (СС+ Ывп ( — йС = 2 ( — йС , +О + Л „,„,/ о в силу четности подынтегральной функции. > 48 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Последнии интеграл был вычислен в примере 72. Таким образом, окончательно имеем Ца) -е ~ ~,ай)и.м 2 Вычислить следующие интегралы: ео 2 1 г омг М Используя тождество яп т = -(1 — сов 2х) н интеграл Лапласа, получаем ~" —,, 2(я о -(1 — е ).

м + оо 86 сов ох / (1+ тг)г о < Вводя функцию / по формуле сов от Х:у ( ( уз+ о 1 2' + замечаем (после замены х = уг), что /(у) = 1— 1".((п~у), а также Хв(1) = — 2 ( ~-,+,тр 1(т 2 о интеграл Лапласа. Следовательно (см, пример 84), имеем Нх = — -/'(1) = — — -Х((очу) = -(1+ ~оОе / совах 1, 1 ('1 ) ",г (1+х2) 2 2 1,У / 4 о 2 Ьг где у = с — — > О.

Замечая, что в силу нечетностн подынтегральной функции второй интеграл равен нулю, а первый легко вычисляется через интеграл Лапласа, получаем 2 аЬ / )а! 1 ясов — ~ ~ь/„, ьг )у)г/а а ~,2/а /) 1/ас — Ьг 88. С помощью интегралов Френеля сйп(т )Ня = сов(* )11я = -1/— 21/2 вычислить следующий интеграл: гйп(ат +2Ьх+ с) 1(х, а ф О. 8Т. 1(п)=, а>0, ас — Ь >О. совахНт г / ахг + 2Ьх+ с ь Ч Выделяя полный квадрат в зналгенателе и производя замену по формуле ° /ах+ —, = Г, / имеем 1 аь оо Г сов сов — 1 Г вгп — мп ( ) — Ь- / 1 3. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла 49 М Приводя квадратный трехчлен к каноническому виду и производя затем замену переь пенной по формуле;/ах + — = П а > О, имеем /« + ОО + + ОО сову .