Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 8

з вгпр з 'г, т Х = / з1п(ах + 26х + с) 4х = — / в1п 1 41+ — / сов г 41 = ьгà — в1в (д+ — /, тга / / т, з зс — 6 ь 1= . — в1п — вбпа+ — ~, а ф О. й )1)а! 1 4 а 89. Доказать формулы: 1) Их = — в1п (~а)а); ) аз — хз 2а о l хв(п ах г 2) / 4х = — — сов(аа)вкв а, / аз — хв 2 о где а ~ О и интегралы понимаются в смысле главного значения Коши. М 1) Лепго видеть, что + ОО + ОО + ОО совах 1 ) совах 1 ) совах Ых = — / 4х + — / — ь(х.

аз — хз 4а / а 4 х 4» / о х получаем формулу 1). Вычисляя зти интегралы способом, изложенным в примере 83 2) Представляя значение подынтегральной функции в виде используя указанный пример, получаем формулу 2). й 90. Найти преобразование Лапзаса »и» 1 !» 1»» и г в Г(р) = е г~у(Г) ~11, р > О, о для функции у, если: а) Х(Г) = Г". п Е И; б) У(Г) = ъЛ; в) У(Г) =; г) У(ь) = в1п(ачз). Ч а) Функция й: (р, 1) ь е г'1" непрерывна при р > О, О (1 < +со и при любом и > О. Данный интеграл равномерно сходится при р ) х ) О и при любой интегрируемой функции, » для которой справедлива оценка (1(1Ие " < сопв$.

В нашем случае 1»е ' ( (-) е Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла по параметру р, р > О, возможно, Пусть )'(1) ш 1. Тогда .Р(р) = — ' и — г"(р) = (-1)" / е г ь" ь1ь, ь(р» о + откуда / е "Г" дт = о ьв где д = с — —. Прн а < О следует полохчить а = — аь, аь > О, и провести аналогичные О ' выкладки. В общем случае получаем 14.

Эйлеровы интегралы 92. Найти преобразование Вейерштрасса 31 Г(х) = — е ! " Ду) Йу, - т.l' если Ду) = савау. ч Полагая г — у = г, получаем сов ах !' -ээ вэв ах э' Е(х) = / е сов аьйв+ / е сйв авй Е(х) = е ь совах. М Упразснениз длз самостоятельной работы Применяя метод дифференцирования и интегрирования по параметру под знаколэ интеграла, вычислить интегралы: Вээ + . ° + . э 31.

1(о) = ) —,+„т э1х, а > О. 32. ) —;~ — йх. 33. ) -"-э — "— *ф-б йх. о о о Ьээ + + э э +ээ '*-*э и "*" э ' "'*э ~э Ь -'-"-'="'-гэ 34. .э э саэ ' Л ээ+ээ .э ' ' Э э о — ээ о о з 1 + О 38. !' глэди х ° 1п(сйвх) йх. 39. ) (!в -) 1и (1п -) 0х. 40, ) е ! 1* мпз Ьх —" о о о Вычислить: з +ээ 2 41.

о.р.) „, О<а<6. 42. о.р. ),— *,. 43. о.р, ),, а)1. о о о ь 44. йэп т. р. ( ~-'(-'-)-"'- 1, а < 6, функция р удовлетворяет условию Гельдера: Зо, Х такле, что охэ, хз Е]а, 6[ выполняется неравенство (эо(хэ) — ээ(хз)! < ь!хг — хз), О < о ~ (1. Найти преобразование Лапласа для функций: ~ 4.

Эйлеровы интегралы 4.1. Гамма-функция. Определение. Функция Г: р ь ~ хв 'е йх, О < р < +оо, о наэывагпэоя гамма-функцией, а ее знамение — эйлеровым интегралом. В силу нечетности подынтегральной э)эункцни, второй интеграл равен нулю, а первый вычи- слен в примере 23. Таким образом, имеем 52 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Функция Г непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка при р > О и для них справедлива формула Г' ~(р) = / х~ (1пх) в ~ах, й б Й. о 4.2. Основные формулы. Если р > О, то Г(р+1) = рГ(р) (формула понижения). Если и б Н, то Г(п) = (и — 1)!. (2) а также Г(п+ -) = ( ) тггж Если О < р ( 1.

то Г(р) Г(1 — р) = з1л тр (4) (формула дополнения). 4.3. Бета — функция. Определение. Функция В:(р.д) /х" '(1 — х)о 'Ых, р>бг 4>О, о называется бета — функцнвб, а гв значение — зблеровын иннзвгралон. Бета-функция непрерывна в области определения и обладает частными производными любого порядка, которые можно найти путем дифференцирования по переменным р, д под знаком интеграла. Полезно представление р-з о Связь между  — и Г-функцияъш выражается формулой В(Р,4) = (2) Г(р+ 4) С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы: 93. / х ~/а~ — хз ах, а > О. о М Полагая х = а,Л, Г > О, и пользуясь формулами (2), (3), п.4.2, и формулой (2), п.4.3, получаем о х „/Р: ах= з о 4 во 94, / ч,ах.

о 1 а -' -' а '3 Зт а Г (г) ха — 13 (1 — 1) р 41 = — В ~ —, — ) = 2 / 2 2' 2 2Г(З) 16 о 14. Эйлеровы интегралы М Используя представление (1) и формулу (2), п.4.3, имеем .Ьгхоьх (3 5~ Г(у) Г(у) = (--)= ' (1+ х)з (,4' 4/ Г(2) о Далее, применяя формулы понихсения (1) и дополнения (4). п.4.2, находим + / з - Г (1 - -) 1 (1+ -) = Г (1 - -) -Г (-) = — П о 95. ~*'".-" 0*, 0(4. о Е Полагая т = Я Г > О, получаем х е ~ Нх= — / 1 зе ~оьь=-Г(п+-) = ~/т Ь 1 ' =-/' ' ' =- ( -)= 1 У --' о 1 ' 11 (2п — 1)О 2 / 2 1 2) 2"+' Выразить через зйлеровы интегралы: +ы г 96. / * 0х, п>О.

./ +.. о 1 М Заьгена х = Г, т > О, приводит к интегралу еы —,", а=-в( —,1 — — ) =-г(1 — ™) г( — ) = И'„- Г -Г= и о Этот результат справедлив прн 0 < гп < и. ~ 97. зь „, а>О,Ь>о,п>О. / х йх / (а+ Ъх")я' о 1 го з— М Полагая х = (-„Г) ", 1 > О, получаем Ф +1 о ег е! ( 1=- (И= ~1= ' ~.1=. 1 (~+1 +1 ьг= (-1 — в( —, р— т+1 Следовательно, данный интеграл сходится при условии 0 « — „ р. М г (х — а) (Ь вЂ” х) 98.1= / ' ' Ьх, 0<а<Ь,с>О, / (х + с) +а+2 ч Выполняя замену — = — т, получаем а+с ко о (ь,)-+"+' Г,,„(ь — )-'""в( +1, + 1) Х= (Ь+с) +г(а+с)"+' ) ' ' (Ь+с) +'(а+с)"+' Г-(1 С).сИ о Отсюда следует, что данный интеграл сходится, если гп > — 1, и > — 1. П Гл. 1. Интегралы, завнснвдне от параметра 99.

1 = /зпсс» хсоз" хйх. о 4 Положим з1п х = Д Г > О. Тогда =1/ г (1 — г) йг=-В( ~ ). о — 1. З Фй —, имеем 2' Полагая далее оз =,ссх, получаем О» г Гп пд 1 ее ОЗ~-,— /, п>О.в (1 — хз) з 1 со с. / (с. -')' с,. о 1 м Применяя подстановку 1п — = г, получаем » (1п — / с1х = / гге ас1 = Г(р+ 1), р > — 1. с> / .1' =1'-- о о 102. 1(р) = / хзе "1пхНх, а > О. о с м После замены х = — получаем 1(р) = — / гое 1пг~й — — / Ф"е ~Ы. 1 с -с 1п а аг+г / аз+с / Легко видеть, что первый интеграл есть значение производной от гамма-функции аргумента р+ 1, р+ 1 > О, а второй равен Г(р+ 1).

Следовательно, Г'(р+ 1) Ьа с1 1еГ(р+ 1)ч1 аз+с агос яр 1 асс+с 1 ' 103. 1(р) = / * "*йх. о Очевидно, интеграл сходится, если пс > -1с и > 100. / "" * йх, О< )11<1. 1 (1+ йсозх)" о м Вводя новую переыенную по формуле Г = з1п»- (1+ й соя х)» (1+ 1)" =/ о г" г йг (1 розез)» о 14. Эйлеровы интегралы < Очевидно, функция г является производной от бета-функции (см. п.4.3).

Позтому 4 00 Н г х" г г1 4 гг з 1 хз соз ря з'(р) = — — 6 = — И(р, 1 — р) = — (1"(р)1"(1 — р)) =— 4р / 1 + х Нр ' Нр Нр (ззгзрт/ зщзрх О<р<1. > 104 1 ) х1пх 1 4 хз а 1 ° Полагая х = зз и используя результат предыдущего примера, получаем з 1' 16 Т = — / — 1п г 41 = —— 9 / 1+1 9 о соз з 2х з згг зпз— . -21 з воз 2 ~05.1= / '" ' 4*. 1+ ха а 1 < Прилгеняя подстановку х = 1з, 1 ) О. приходим к интегралу + з ) 1 6(паз 64 / 1+1 о являющемуся второй производной от бета-функции гв зег (1.1 1)з+1з-в1 ' вычисленной в точке р = —. Следовательно, 1 з ' ,Р ) 1 г(з зг г 1) ЗзЛз У= — — (в(р,1-р)) = — — —. = — '.

° 64 4рз ' ~ з 64 6рз 1з1пяр)) з 64 Г .т-з г-г 106. У(р, д) = ~ * * 4х. (1 + х) 1п х 1(р, 9) = В(р, 1 - р) 4р — В(6, 1 — 4) 44+ С, где С вЂ” постоянная, имеем бр )' 66 ~16 7 з (р, д) = гг / —. — т / — + С = гг!и — з + С. / ззп ггр / яп тд ~16 -д г Полагая здесь р = 6, находим, что С = О. Таким образом, имеем 1(р,е)=т1п~ б,з, О<р<1, 6<9<1 а ~ Очевидно, если р = д, то интеграл равен нулю. Используя признак сравнения, нетрудно установить, что данный интеграл сходится, если О < р < 1, О < д < 1.

Далее, замечая, что Гл, 1. Интегралы, зависящие от параметра у 107. 3=/ 3х, О<р<1. 1 — х о ~ Рассмотрим интеграл Г(е) = /(х" ~ — х г)(! — х) ~~' агх, с > О. о ы-1 -г Поскольку функция у г (х, е) г —;---т —, при О < х < 1 и в > О непрерывна, а интеграл (Ц сходится равномерно при с > О, в силу признака Вейерштрасса < 1 )х' — х в) Г )хв — х г( )Г(х, х)( <, 3,3х < рос о !нп Г(с) = / Нх.

ао / 1 — х о Принимая во внимание, что Г(в) = В(р, в) — В(1 — р, в), из (2) находим 3 = Еш (В(р, в) — В(1 — р, е)) = !пп Г(г) Г(р) Г(1 — р +о ' в-+о Г(р + е) Г(! — р+ в) ггго.! Отсюда, используя формулу ! (в) = т* и применяя правило Логгггталя, получаем Ф 3 = Бпг — " = (!п(Г(1 — р)Г(р))) = хо!к хр. м Г(1 — р) Г(р) (г) 108. / — х, О<о<В. Г в!гах / в!гВх о ~ Полагая о ~Л" = Г, получаем 1 У!'' — !" г!г, 213 / 1 — ! о о о-а г где р = —.

Поскольку О < р < -, то гв ' примера. Имеем можно воспользоваться результатом предыдущего йох в. хе — 3х = — вд —. Ь в!г 8х 2В 2)3 ' о 109. 3 = з~!п Г(х) вш хх ~3х. о ч Производя замену х = 1 — т, получаем интеграл 1 о 1 ж з/ 1п Г(1 — х) в!и в.х Их = — / 1п (Г(х) Г(1 — х)) в!п хх г(х, 2 / то функция Г непрерывна и возможен предельный переход под знаком интеграла (1) при в +О, Пмеелг » 4.

Эйлеровы интегралы откуда с помощью формулы дополнения (см. п.4.2) находим 1 1 1 1)' 1 = - г (1п т — 1пяп тх) яп тх 4х = — 1п т — — ~ !и яп тхяп тх г»х = 2 / о о 52 1 1 Н-о = — 1и гг — — (соя ггх + (1 — соз ггх) 1п згп ггх — 1п(1 + соз тх)) ~ = — (1 + 1п — ) . М я 21г 1 10. Доказать равенство + 1 и+— и-1 П /* -'.— "ахгп(-) '(г ), пб(4. пг О 1 ~ Полагая х = го, Г > О, получаем о откуда ею П) ' ""= —.'.Пг( — ".) "'=1 о пг=1 При и = 1 равенство (1), очевидно, справедливо. Поэтому далее считаем, что п ) 2.

Запи- сывая произведение (1) в прямом н обратном порядках, замечаем, что (П г (=)) и (г (1) г (1) г (.=')) (г ( —.- ') г ( —.-') г (-') г (-'И = = ('(;) '( — ')) ('(-') '( — ')) ('( —.') '(Ч) Отсюда, используя формулу дополнения, находим П'(=„)= .; апг (2) п - —." -1 и-1 зп — 1 эп 12 1пп — = п = 1пп П(т — зь) = П ( 1 — е и ) . х — 1 ап1 ьп1 2 га — ..1 Поскольку 1 — е и = 2яп — „, то из (3) получаем формулу и-1 П-'п —.= —,-- " ~» ) тй и гп1 наконен, подставляя (4) в (2), а затем (2) в (1), получаем доказываемое тождество. в (4) Для вычисления произведения синусов разложим двучлен тп — 1 на множители. Имеем зп — 1 = (з — за)(з — зг)...