Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 3

+о ' 2)1+у г о о 17. Вычислить ннтегралы: «1 — /О1п(1п ) Нх' 11аа соз(1п ) йх а)0. Ь)0. х) 1пх ' ) [, х) 1пх <а Используя представление (1) нз лредыдушего примера, вместо данных интегралов рассматриваем повторные: ь ь ,-)«.). (.-)«,; .-~'«.1«..-(«.-)«,. о О а Функции 1 х"От(1п-), 0<х(1, а(у(Ь, У« . .(х, У) « ] о, Х=О, а(у(Ь, Г х" соз (1п -), 0 < х ( 1, а ( у ( Ь, .гз: (х, у) '[ о, Х=О, а<у(Ь. непрерывны, поэтому можно выполнить перестановку интегралов: ь ь 11 а« / «Ьу х О1п (1и -) «1х, 11 = ~ Ну х соз (1и -) «Ьх.

о О Произведя подстановку х = О «,получаем Ь +а« Ь +«а 11 = /«1у / е ««О~~~мп1«(О, 1р = / йу ) е ~«О~~«соос«й, а О а О Выполняя внутреннее интегрирование, находим ь ь йу 1 )' (у+1) Ьу (У+1)з+1' ' ) (у+1)1+1' а а откуда Ь вЂ” а 1 Ь +2Ь+2 1 + (а + 1)(Ь + 1) ' 2 аз + 2а + 2 Упражнения длл самостоятельной работы ь 1. Доказать, что функция Г: у «) у(х)у(х, у)йх является непрерывной на [с, «(», если выполнены условия: 1) функция г' непрерывна на прямоугольнике [а, Ь» х [с, И»; 2) функция р абсолютно ннтегрируема на интервале ]а, Ь[. Исследовать на непрерывность следуюшне функции: З 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 15 г.

г: )-~ —; —;--. ». у:„, ~. »»учт' »*~+2~+1) О, у=О. ,)' *та :;М УУ»„; — „»», 2 О, у=о. Найти пределы: 2 2 б. 1цп ] Яф"-)-;-. 6. 1пп „~ -"-е ~ "»Ь. *'У'+»2+1' ' У +„.1 У+* У 1 У'+1 ° УУ У Доказать, что в следугощнх случаях возлюжен предельный переход под знаком интеграла: 2 2 9, ] -'»уу.-т»Ь, у +со. 10. ] агссб (ф.) йя, у О. о -1 2 2 1 . )1» '— », — .

!», ) — "*"'»ш'— , „---' У +У+2 2 У о 13. ПУстгс 1) фУнкциЯ 9 ! (2, У)» -(з='22 непРеРывна в пРЯмоУгольнике [а, Ь] х [с, й], ь 2) функция )у абсолютно интегрируема на ]а, 6[, тогда функция Г ! у 1 ] уу(з)У(2, у) йт непрерывно дифференцируема на ]с, »1[. Доказать зто. Исследовать на непрерывную днфференцируемость функцию Г и возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла, если: 2 1 14. Г»д~ ] --,».- 21п — Ыз, 19. Г»у~ ] соз —,.

о — 1 Доказать, что в следующих повторных интегралах можно изменить порядок интегрирования: 1 1 < 1 ]'лд]»»(УУ'.,(з 1У ]',Ц,]' о о о чз+У + ~ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 2.1. Определение равномерной сходимости. Пусть несобственный интеграл 40» у(х, у) йх, где функция 2" определена в области и = ((я, д) ] а < к < +оо, д1 < у < уз), сходится на интервале ]у1 дз[. Говорят, что интеграл (1) равномерно сходится на ]д1, уз[, если»уз > О 16 Гл. 1.

Интегралы, зависящие от параметра ЭВ > а такое, что Чб > В А Уу б]уы уз[ выполняется неравенство + 1(х, у) ах ( е. ь 2.2. Критерий Коши. Для того чтобы интеграл (1), п.2.1, сходился равномерно на ]уз. уз[ необходимо н достаточно. чтобы Че > 0 ЗА > а такое. что Чо > Л А ЧЗ > Л А 'зу б]уп уз[ выполнялось неравенство У(х, у) дх в < е. 2.3. Признак Вейерштрасса. Несобственный интеграл (1), п.2.1, сходится абсолютно и равномерно на ]уз, уз[, если ЗЕ: ]а, +ос[ В такая, что [у(х, у)] ( Е(х) зх б]а, +ос[А 'зу б]уь уз[ и несобственный интеграл + ] Е(х) дх сходится. Функция Е называется мажориругогцей по отношению к функции Г.

1пп у(х, у) йх = 1цп Г(х, у) дх = / д(х) дх. з Рад з-зв Теорема 2. Если функция у' непрерывна при а < х < +со, уз ( у ( уз и интеграл (1). п.2.1, сходится равномерно на ]уз, уг], то йш / Х(х, у)дх = / У(х, ус) дх. з заеЬ1 У21 у 2.5. Непрерывность несобственного интеграла.

Теорема 1. Если функция Г непрерывно в области а < х < +ос, уг ( у < уз и интеграл (1), п.2.1, сходится равномерно на оглрезке [уз, уг], то лн представляет собой значение непрерывной функции На этом отрезке. Теорема 2. Если: 1) функция г" непрерывно и ограничена в указанной области; 2) функция 1с интегрируена но каждом отрезке а < х < А; 3) интеграл [ [р(х)[дх сходится, то интеграл у(х, у)йз(х) ах сходится равномерно и является значениелг равномерно — непрерывной функции параметра у на озлрезке [уз, уз]. Аналогичные определение и теоремы справедливы н для интегралов от неограниченных функций. Определить области сходнмостн интегралов." 2.4. Предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 1. Если 1) функция у': П вЂ” В непрерывно по пере.пенной х и при у ус б ]уз, уг[ равномерно относительно х стремится к предельной функции д на каждолг отрезке [а, А]. 2) интеграл (1), и 2.1, сходится ровнозгерно на ]уы уз], то 18 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Если е < О, то, полагая е = — е1, ев > О, и производя аналогичные выкладки и рассуждения. приходим к такому условию скодимости данного интеграла: )р-1) < ег, нлн (р — Ц < -д. Объединяя оба случал и учитывая, что при е = О интеграл расходится, приходим к выводу, что данный интеграл может сходиться только при условии ~ ~ < 1. 2Р 2 20.

/ о я Положим х я е в. Тогда получим 2 о -Ыз -Мз 1 Поскольку — ' = О' — ~ при 2 О, то первый интеграл в правой части равенства (1), в 1 ~С)в / силу признака сравнения, сходится лишь при р < 1. Второй интеграл сходится при всяком р, так как е' > 2~ " при достаточно большом К Последнее неравенство вытекает из того, что Бш —,, = О. Следовательно, данный интеграл сходится лишь при р < 1. В с +сс 21. / „'-*,г . о М Положим Г = (1 — х) ', х ф 1. Тогда получим 1 +с соз(1 — х) ' / соз Г вгг с1х = 1 1~ " (2 — -)" 1 Г смсзв Поскольку функция (: г в- — ~-, 1 > 1, монотонна н ограничена, а интеграл (2 — 1) 1 1 в силу признака Дирнтле, сходится при и < О или при и > —, то рассматриваемый интеграл сходится, в силу признака Абеля, при етом же условии.

Пользуясь приемом, примененным в примере 18, можно показать, что зто условие является необходимым. Я + 22. I ""*, 1х.р>О, ( х" +зш х о я Разобъем данный интеграл на два +св 1 +сс ялх )' явх / зшх (1) хР+япх / хР+звпх / хг+з!вх о а 1 Так как ((х) = в. —, прн х +О, то первый интеграл в правой части равеив+вш в 1+1 ства (1) сходится при любом р (точка х = О является точкой устранимого разрыва функции У). Поскольку зшх япх яп х с' 1 1 япх 1 соз2х ( 1 хР +зш х хР хзР (схзР) хР 2хзР 2хзР ~в хзР1 ' и интегралы ( —" Нх, „à — в1х, р > О, в силу признака Дирихле, сходятся, а интеграл 1 1 + 1 1 сходится лишь лрн р > —, то второй интеграл из (1) сходится лишь при р > 2.

— г-схд с 2' 1 12. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 1з Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. в Исследовать сходммость интегралов путем сравнения их с рядами: +СО 23. ' * п>О. / 1+ х" з!пэ х о м Поскольку +О (л+1) СО 1::"== /' 1+ х" зга х а-с / 1+х" мпэ х а-с/ 1+((ох+1)" з(пэ( л о „„, / о лс то будем исследовать сходнмость последнего ряда.

Легко видеть,что О П— / Ю,х,(( /' (Ь + 1),(1 ~ (й+ 1)т (( 2 1+((с+1) х з)п ( у 1+((сх+1) з)п 1 ( 1+к х 81п о о о л»с 2 ° ° с,- " .л= '"'."..т л-а (с,).ь-о (,) „.с+с с(х хз ч'з)п~ х о м Предсхавнв данный интеграл в виде (»О!)О /, „,.=Й/ с(х у» / сох будем расслсатривать последний ряд.

Полагая х = ох+ 1, имеем (»+1) / с(х / Ыг хгЪ Яп х (мог+ ()~ л/зсп 1 »О о Заметим попухно, что этот интеграл является несобственным н сходится по признаку срав- 1 ) (»;с+с)Р сссь»от с с ст / ( +с)с ъмг»оос л (О с) В силу оценок — < х~(п+1)".I чсз(пэ( У (их+()гъlз(п~1 хгп .I уз(п~( о ОС т 1 исследуемый ряд (интеграл) сходится мли расходится одновременно с рядом с — „с котс» сы рый сходится только при р > 1. Следовательно, исходный интеграл сходится при этом же условии. Э» + 25. Доказать, что если: 1) мнтеграл // /(х, у) с(х сходятся равномерно на ]ум уэ[ и 2) функция (О ограничена и монотонна по х, то интеграл /(х, у)(о(х, у)о(х 1).

уг ] у) 3 нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от параметра. ~ Пнтеграл Е = ] е ' Н сходится, а поэтому яе > О ЗВ(е) такое, что о е сбг<е. В1с1 Выберем число А так, чтобы А > — + В(е). 2Е (2) ( )~ ,г] г / х — -) сдх замену Г = — [х — -] и используя нераг) ~ я[, о] + со 1 Произведя в интеграле ] ехр л венства (1) и (2), получаем оценку зы г у ] е ' сбгж2Еу<е, О<д< — ', гл' Осе е сгд< сг + сг е ' сдл < ] е ' сбг < е, в гь -у(1 гь л-— с нэ которой непосредственно следует равномерная сходимость интеграла на ]О, 1[. Что же касается мажорирования, то здесь можно привести следующие соображения.

Предположим, что такая мажорантная функция Е существует. Тогда должно быть 1'(хс д) = ехР— — [ х — — ~ < Г(х). д Легко видеть, что благодаря конструкции области определения функции у";]1, +оо[х]О, 1[ И 'гх Зу = г такое,.что у(хс у) = 1. Такилг образом, Г(х) > 1 тх. Очевидно, соответствующий несобственный интеграл ат Г(х) расходится, й 28.

Показать, что интеграл +ос уж / ае ~~ссх о 1) сходится равномерно в любам промеясутке О < а < а ( 6 и 2) сходится неравномерно в промежутке О ( о ( д. < В первом случае легко построить мажорирующую функцию Г с х с 6е ' . Следовательно. по признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно. 3 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 21 если талька 6' > В и до > В. В силу критерия Коши, интеграл (1) сходится равномерно в области ]дг, уг[,что и требовалось доказать.

Ь 27, Доказать, что равномерно сходящийся интеграл 22 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Во втором случае, произведя замену т = ох, х > 0 Л о > О, получим + аь +О ОЕ 11»ю [ Е 111«ьЕ «В Отсюда следует, что тВ > О за, а б]0, Ь[, такое, что с а > е, 0 < е < 1. Например, число и можно выбрать из неравенства 0 < а < — !и —.

Таким образом, в этом случае интеграл 1 1 в сходится неравномерно. Ь 29. Доказать, что интеграл Днрихле 7 Зьа О» 1= 1 — йх ь 1) сходится равномерно на каждом отрезке [а, Ц. не содержащем значения о = О, и 2) сходится неравномерно на каждом отрезке [е1 з], содержащем значение о = О.