Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 6

Пользуясь формулой / х Их = —, и > О, вычислить интеграл Г „, и' е 1 10» ) х !п х(!х, 0 где гп б И. М Формально дифференцируя т раз по параметру и обе части указанной формулы, получаем ! 1! ! т! Х !П Х(!Х»» (-/ ы( — 1) »и и+' с Покажем, что т-кратное дифференцирование под знаком интеграла возможно.

Для этого, 1 полагая х = —,, 1 > О, преобразуем данные в условии интегралы к следующим: 1 Е00 +00 /*"-'0,=/ —,',, (-(-((-/ ','0. 0 1 1 Поскольку функции г» Г " ' у 1»-» г " 1п Г непрерывны в области О < г < п < +со, 1 < 1 1 < +ос и интеграл /х" ' Ых сходится, то, в силу п.3.1, остается показать, что интеграл о +00 1» 1 -;„зт аг сходится равномерно на полуинтервале О < е < и < +ос. Действительно, так как 1 ) 1пт1! !и'" т )вы 1 1 !'3т'! 1 1»+1 г1+' '- 1+3 !1 е' / 1+3' рй то, в силу признака Вейерштрасса» интеграл 1 равномерно сходится на указанном полу- интервале. Следовательно, при каждом фиксированном е > О, согласно теореме 1, п.3.1, дифференцирование по параметру и, и > г, справедливо, т.

е, справедливо при и > О. в 3 3. Дифференцирование и интегрированна под знаком интеграла 33 сходятся раенонермо( первый — на каждом отрезке (а, А], а еп»арой — ма каждом отрезке ]с, С], и если хо»ля бы один из повторных интегралов Гл. 1, Интегралы, зависящие от параметра Ь 11х БЯ. Пользуясь формулой / о = —, а > О, вычислить интеграл / хо+а 2ьГа' о Зб 11х 1„+1= „,, пб10. о м Формально дифференцируя п раз по а левую и правую части данной в условии формулы, имеем а1х х ( ' ') (-1)"п!(2п — 1)!! (- -..~ (хо+ а)б ю а )ь 1 (2п)1!а"2ьга + о З1П ОХ 60.

Доказать, что интеграл Дирнхле 1(а) = / 1)х имеет при а ф 0 производную, х о однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница. М Положим ах = П Тогда 1(а) = салаг. Следовательно, при о ф 0 имеем 1'(а) = О. Коли же формально продифферснцировать по а под знаком интеграла, то получим расходящийся интеграл + о созах 11х. р о 61. Доказать формулу Фруллаии + оо ЙЫ вЂ” гое „1з1 ь 1 х а' о где У вЂ” непрерывная функция и интеграл / — йх сходится УА > О. 1(х) м В силу условий теоремы имеем +оо Ьо Ьо АЬ откуда АЬ г'(ах) — г(ох) / 1(Г) А о откуда саедует значение интеграла 1 ю. Возможность п — кратного дифференцирования вытекает из п.3.1. Действительно, функции (х, а) 1 —, и (х, а) 1, „+, непрерывны в области 0 < е < а <+со, 0 < х < +ос.

1 1 +о зх ПитЕГраЛ 1 -т-о СХОднтея Прн а > О. ПитЕГраЛ 1 Ь1 СХОдИтСя разиаьгЕриа ПО ПрнонаКу о Вейерштрасса — — 1-, < — О---ртт прн х > 0) на полуинтервале х < а < +со. Поэтому на этом полупнтервалс, а в сину произвольности г > 0 и на интервале О < а < +ос дифференцирование возможно, р 13. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла Применяя к последнему интегралу первую теорему о среднем, получаем ь Оь дь Ых = у'(б) ~ — = Я() !и —, Аа < г < АЬ. У(ах) — 1(Ьх) 1 ь(! Ь х а' Поскольку функция 1 непрерывна, то Вго,1(б) = 1(0), в силу чего из (1) вытекает, что д-+э существует + Р + / 1( х) — 1(Ьх) /' 1( х) — 1(Ьх) Ь л +э/ х / г а ь(=-ь ах, А > О, расходится, но существует / — -) Ых. где 1*(х) = Дх) — 1(+оэ). я Заыечание.

Может случиться, что интеграл Йп 1(х) = 1(-!-оо). а тазике сходится интеграл Тогда на основании изложенного Выше 1(ах) — 1(Ьх) Ых = (1(О) — Д+оо)) !п —. Ь х а э Вычнсщггь интегралы: -д* 62. 1(о)ьз / Их, о>0, !У>0. э ~ Пусть а > е > О, !у > е > О. Тогда функции —,-э ' У,(...)„1 .—, *ФО, О, х = О, :(х,о)ь -хе непрерывны в области о > е > О, интеграл э О да~ е — е Нх, х ь 2 в силу признака сравнения, сходится, а интеграл ( хе сз Нх, по признаку Вейерштрасса, э сходится равномерно (здесь х ь хе ьэ мажорантная Функция) на повуинтервале о > е.

Поэтольу дифференцирование по о под знаком интеграла по теореме 1. п,3.1, возможно. Имеем -о за 1 (о) = — / хе" " ь(х ж — —, о > а > О. 2о' э Г / -а -д 'ь 66. 1(о)= / ~' ) ь!х, о>О, !3>О. х э Отсюда находим 1(о) = — — !д а+ р(!у). Очевидно, 1(!у) = О, Поэтому ьэ(!1) = ~ )д !у, !у > а > 0 Итак, 1(о) = -!в —, о > е > О. В силу произвольности е > О, этот ответ справедлив 1 д 1!о>О,р>0. М Зв Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра М Как и в п едыдущем примере, легко показать, что дифференцирование по а возможно Р (полагаем сначала, что а л е > О, )г > е > 0). Тогда имеем +»о -(а+Л! -2«» 1 (а) = 2»!х. х о 2 Применяя формулу Фруллаии (см.

пример 61), находим 1 (о) = 2 !и —. Отсюда интегрированием по а получаем 1(а) = — 2(а+ ф)(!л(а+»у) — 1) -1- 2а(!а 2о — !) + р(»у). Из условия 1(»У) = 0 следует, что»о(»У) = 2»У(!в 2»2 — 1). Поэтому 1(а)=!л, о>е>0, »3>е>0. (2а)2 2!у)зи (, ! р)2«22Л ' В силу произвольности е > 0 этот результат справедлив при а > О, »! > О. в +»а -«» -е» б4. 1(т)= / гйвте»!х, а>0, »У>0. х о М Дифференцируя по параметру т, получаем О«а 1 (т) = (е «" — е Л )соетх»!х. о Дифференцирование под знаком интеграла по теореме 1, п.3.1, возможно, так как функции ,-о (т х)» з'л тх' * ~ ~' 1~: (т, х)» (е «» — е Е»)созте х=О, непрерывны в области -оо < т < +со, О < х < +ос; интеграл (1), в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно.

а данный интеграл сходится. а Е а» Выполняя интегрирование в (1), находим Еа(т) = оот» е»+,„1» откуда 1(о') = агсгб „ агсгб ™ + С. Так как Е(0) = О, то С = О. Следовательно, 1(т) = агсгб -~Яг. и 1 65. 1(а) = ~ !х, )а! < 1. 1 !п(1 — а хэ) хэ 1/1 — х~ о М Пусть )а) < 1 — е, 0 < е < 1. Тогда при фиксированноы е функции — 2о непрерывны в области )а( < ! — е, (х) < 1. Интеграл 1(а) сходится по признаку сравнения, а интеграл 1 а»!х 1'(а) = — 2 (1 — аэхэ)~/à — х' о » г а силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно (У (х, а)! <« (1-!1- )1») 1-»» 1 резке )а( «< 1-е.

Следовательно, дифференцирование по параметру а под знаком интеграла возможно при (а! «< 1 — е (см, теорему 1, п.З.!). 13. Дифференцирование в ввтегрврованве нод званом интеграла 39 Полагая в (1) х = згп Г, получаем э г Г г11 гга 1 (а) = -2 Е 1 — азэ1п 1 э/1 — ат о Отсюда находим 1(а) = те~1 — аэ + С. Так как 1(0) = О, то С = — т. Следовательно, 1(а) = т (~/1 — аэ — 1) . (2) В силу произвольности з.

заключаем, что этот ответ пригоден при )а! < 1. Нетрудно видеть, что функция 1 непрерывна в области (а) < 1, )х) < 1. В силу признака Вейерштрасса, интеграл 1(а) сходится равномерно на сегменте )а) < 1 ()Е(х, о)) < ээ ~Г г )' Следовательно, функция 1 непрерывна при )а! < 1. Поэтому 1(ж1) = Бгп 1(а), т. е.

м) г-о форыула (2) справедлива при а = ж1. Ь 1 ,э 2 66. 1(а) = п( а,* ) (х, ~а~ <1. ьЕЕ - хэ э И Аналогично предыдущему (см. пример 65) получаем 1 г(с=-г Е' ' гг =( . (' д:.) о Отсюда находим 1(а) = — т 1п(1 + Я вЂ” а~) + С, )а! < 1. Поскольку Е(0) = О, то С ш гг 1п 2. Следовательно, 1 1+Я:аат 2 В силу непрерывности исходного интеграла при )а) < 1 это выражение справедливо также при )а) » <1. > + ээ 1 О Функции 1:(х,а)г, Е„:(х,а)г агс13 ах 1 ххах~ — 1 х(1 -~.

отхэ) /хэ — 1 непрерывны в области 1 < х < +ос, — оо < а < +оо; интегралы Еээ э о -" / агсгб ах / г1х йх, х~7хŠ— 1 ' / х(1 1. аэхэ)с~~х~ — 1 1 г равномерно сходятся по признаку Вейерштрасса, так как )ажгбах) х 1 хзДхэ — 1 2хэъ/х' :1' х(1 (-аэхэ)ъ/хэз: 1 х7хэ — 1 и соответствугощне интегралы от мажорирующих функцкй сходятся. Следовательно, функции 1 и 1' непрерывны прн всех а и дифференцирование иод знаком данного интеграла возможно. Имеем Эээ г1х 1(а) = х(1+ аэхз)„/хэ:1' 1 40 Гл. 1.

Интегралы, зависягдие от параметра Полагая здесь х = с!г г, получаем 1'(о) = б ! 1 — " ), откуда 1(а) = -(о — т/1+ ог) + С, г ~ рг+„гг' г о > О. Поскольку 1(0) = О, то С' = г . Таким образолг, 1(о) = -(1 + а — г/1+ а ), а > О. Аналогично при а. < 0 получаем 1(а) = — ~(1 — а — чгГ+ о~). Окончательно имеем 1(о) = д(1 + [а[ — э/Г+ ог) вбп о, [о[ < со. и 68.

1(о)= / и( +х )9х. / йг !хг о ° л пусть 9 ~ О. Тогда функции непрерывны при 0 < х < +ю, -ж < а < +эо: интеграл 1(а) сходится равномерно, в силу признака Вейерштрасса, на люболг отрезке [-А, А], г г г г, гг(х) = гоах([!п(А + х )[. )!п~ [) . Питеграл 2о 9х '() = /'(. +.)(9+.) о также сходится равномерно, ио только иа отрезке 0 < е ( [о[ ( А. Действительно.

в этом случае 2о 2А (аг -~- хг)(йг + хг) (хг + хг)(йг + хг) и интеграл / Р(х) 9х сходится. о Такам образом, функция 1 непрерывна г'а б) — оо, +ос[, а функция 1' непрерывна при [а[ >О. Выполняя интегрирование в (1), получаем 1'(а) = "", а9 ф О, откуда 1(а) ы в !п([а~+ [9 ) + С. Поскольку / !пх 2 / !в[9[ 2 / !и !9! 2!и [3[ / й !п[,9[ ""-'/ 9+. "*- И~ / + с"+Р[/ + — ~9[ / + -' ~Я о о о о то С = О. Окончательно имеем 1(а) = — 1в([а[+ [г9[), 9 ~ О. Заметим, что если 9 = О, то данныи интеграл сходится только при [а[ = 1. В этом случае аоо г !о(Зфх~! интегРиРованием по частим легко Установить, что 1 ~г 4х = х. ь о /' асс!бах .

агс!0,9х хг о м Очевидно, 1(о, р) = / 1(х, а, р)лх, где о / г, ого!бах агсгбйх, х ~ О, а,9. х = О. х(1 4- азхз) ' Л ' г (1-~ изхг)(1 ~. Пзхз) ' / агсгк Вх „ / обх откуда находим 1"л(а, В) = л . Интегрируя это равенство по В и а последовательно, 2( 4л1 получаем 1(а. В) = — (а + В)(1п(а +,3) — 1) + го(а) + гб(В), 2 где ьо. р — функции. подлежащие определению. В силу произвольности чисел е > О, б > О, А > О.