Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 9

(з — т 1), зь — нули этого двучлена, т. е. эггар = ехр (Й вЂ” ), и 1 2 "-1 = -1, й = О, п — 1. Следовательно, *— = П (т — за), откуда Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра +го ою 1 совах 111. Используя равенство — — — 1 е агг, х >, на" О, айти иитег ал — г1х, хм Г(т) / о о О < пг ( 1, а Ф О.

и Имеем + О + оо Г ог-Г -ог г1х / Г 'ег ыбГ= — 1цп ~ созахйх Г е ~Й. о о о-+о о Г: (, М) Гм ' *'совах непрерывна при О < Г < +оо, 6 ( х ( А. Несобственный Функция Г: (х, ) м е интеграл + е *~1 совах~64, о я(, ф < Гм ~е '), сходится равнолгерно относительно в силу мажорантного признака Я(х, ), '. х Е [6, А). Тогда, по теореме 1, п.3.2, в (1) можно выполнить перестановку интегралов: +оо л Г = — 1цп Г~"'г14 / е 'сох ахах = Г(ш) а — + / г-+о О б 1 .

Гм '(амп аА — 4созаА) е Г( ) „й,„ ггз 4 42 г-+о о +~~ +ог е гг г Гт ге гг + сох об / — — а зги аб / о о 61 . (2) ао 112 / ао 4.42 о о Первый интеграл в (2), как следует из оценки 1 + о 1 + )а) Г г„ „ Г Г -'(!а) + Г) „ < — 1 е аг+е ао / а + о По той же причине третий интеграл (вместе с згп аб) стремится к нулю при 6 -г +О. Таким образом, окончательно получаем 1 = ,афО. и 112. Доказать формулы Эйлера: Г(х) а) / 1 ге ~~~' соз(Лбз)п о)й ж — сохах; о б) Г* г лго '" ' (Л8з)п о)ЯГ = — ь.-з)в ох, о гг гг Л>О, х >О,-- <о(-. 2 2 стремится к нулю при А +со.

Второй интеграл, в силу равномерной (по признаку Вейерштрасса) сходиыости его относительно 6 (О ( 6 < бо) и непрерывности подынтегральной функции в обласшг О < 1 < +оо, О ( б ( бо, согласно теореме 1, пА.2, при б +О стремится к интегралу г'(а) = — Л / г*е в"' в1в(ЛГвш а — а)41, з Ф~(а) = Л / гав мв сов(Лгпи а — а) яг, а (г) по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно на каждом отрезке )а! < — — в, 0 < в < —,.

Действнтельио, функция М ь 1 е м"" ' является мажорирующей для подынтегральных функеоа ций в (1) и (2), а интеграл ) Г*е и "в ' ЫГ сходится по признаку сравнения. Следовательно, о дифференцирование в (1), (2) возможно при )а) < в. Выполняя в (1) и (2) интегрирование по частям (приняв Г* = в, в мьм вш(Л1мв о— а) 41 ж 4в, г~ ы з.

е "" сов(ЛГвш а — о) 41 м 4в соответственно), получаем систему дифференциальных уравнений Г'(а) = -хФ(о), Ф'(Ъ) = хГ(а). Решая эту систему, находим Г(а) = Ама ах+ В совах, Ф(а) = — Асовах+Ваш ах, (3) где А,  — постоянные; )а) < -'. Замечая что 2 ' Г(0) ы / 1* ~е ме1 = —, Ф(0) = О, о из (3) определяем эти постоянные: А = О, В = ь(г) . Подставляя найденные значения постоянных в (3), получаем Г(а) = ь — совах, Ф(а)'= — ~в1а ах.

ь Г1х) Г(х1 Л* Л Упражнения для самостоятельной работы С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы: 1 з 1 еео 4у. ) х (1 —, )з 4х. 40, ) абула . 40. ) — ф — 4х. е о о в г + се в о о 03. Используя формулу понижения, построить продолжение функции Г для отрицательных значений аргумента.

04. Построить эскиз графика функции В. 14. Эйлеровы интегралы ' 59 «Нетрудно видеть, что подынтегральные функции в а) и б) и их производные по а непрерывны при 0 < 1 < +ос и (а) < —. Кроме того, данные интегралы (обозначим их через Г(а) и Ф(о) соответственно) при )а! < в сходятся по признаку сравнения.

Интегралы Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра 60 ~ 5. Интегральная формула <Фурье 5.1. Представление функции интегралом Фурье. Теорема. Если функция Г:] — оо; оо» К является кусочно — гладкой на каждом конечном отрезке числовой пряллой и абсолютно интегрируема на ] — со, +со», то справедлива формула Ига — / НЛ д» Г(б) соз Л(б — х) дб = — (Г(х + 0) + Г(х — 0)), 1 Г Г 1 †.- l 2 или / (а(Л) сов Лх + Ь(Л) ейп Лх) дЛ, 2 о где Г(б)совЛбдб, Ь(Л) = — 1 Г(б) гйпЛбд(, х ОВ. 1 Г функция, то - »Г(х + 0) + Г(х — О)) = Г(х) и интегральная фор- «(л) = — ~ Если à — непрерывная мула (1) принимает вид Г(х) = — / дЛ з( Г(б)совЛ(б — х) дб, х Е И.

1 (2) Г(х) = — дЛ / Г(б)е' 1* г~ дб, г = — 1. 2т / (3) Интеграл в (3) называют коллплексньзлл инглегралом Фурье функции Г. $.2. Преобразовании Фурье. Теорема. Если функция Г:]О, +со» В яв.ляется кусочно-гладкой на каждол~ отрезке оолуиря.ной х ) 0 и абсо.гютно интегрируема на ]О, +оо». то + ге Г.(Л) = ~) — 1 Г(х)в(п Лхдх, Г(х) = з,1 — 1 Г,(Л)в1п ЛхНЛ, Г2 Г2 Г (1) о с + Г2 Г Г2 Гс(Л) = ]1 — 1 Г(х)совЛхдх, Г(х) = з,г — 1 Гс(Л)совЛхдЛ, (2) о о Равенства (1) называют синус — преобразованием Фурье функции Г, а равенства (2)— косинус — преобразованием; причем, первые формулы в (1) и (2) называют прямым преобра- зованием, а вторые — обратным.

Из формулы (3), п.5.1, следует прямое комплексное преобразование Фурье, Х(Л) = — Г(в)е '"'дв чг2я к/ (3) Для упрощения записи вид формулы (2) сохраняют и в том случае, когда функция Г разрывна. Интеграл в (2) называют интегралолл Фурье функции Г. Часто формулу (2) используют в комплексной форме: Ь 5. Интегральная формула Фурье и обратное комплексное преобразование Фурье; у(х) = — у"(Л)е' в Ыл. вгггх х/ (4) Представить интегралом Фурье следующие функции: ) 1, если )х)<1, О, если )х! > 1. М Данная функция удовлетворяет условиялг теоремы п.5.1 и, следовательно, ее можно представить лнтегралом Фурье. Легко видеть, что Ь(Л) = О (в силу четности функции У), а 2 Г г 2 мпЛ а(Л) = — Г У(х) сов Лх Нх = — 1 сов Лх Нх = — —.

7г л Таким образом, 2 Гоббл у(х) = — у — .л ил, -/ л о что и требовалось. Следует замеыггь, что в точках х = Ы разрыва функции 1" интеграл Фурье, согласно 1 теории, равен —. Действительно. поскольку з' +оо + ю оо г )' 1 Л Л „ 1 ) 1 Л(1 + ) „ ( 1 Л(1 — х) „ о о о то, применяя формулу Дирикле (см, пример 75), имеем 2 1мпЛ 1 — 1 сов Лх ОЛ = -(вбп(1 + х) + вбп(1 — х)), х / Л 2 о д > а. если если если если если имеем а(Л) = — ~ 1(х)созЛхг(х = 2 Лх г(Л = — (вщ Л(3 — мп Ла), 7гл Ь(Л) = — ог ((х)в1п ЛхЫх = / Лх Нх = — (сов Ла — сов ЛО). 2 хЛ откуда и следует указанный результат. М 114. г": х ь вбп(х — о) — вбп(х — 13), М Замечая, что О, 1, г"(х) = 2, 1. О, ь — сов ь — ( вш к<о, а < х < 12, х = ьг, х > 13, б2 Гл.

1. Интегралы, зависящие от параметра Следовательно. представление интегралом Фурье имеет вид у (х) = —,1 - ((вгп Л21 — яп Ло) соз Лх + (оса Ла — соа ЛД) яп Лх) ЛЛ = Г1 к'/ Л 2 +сю 2 Г з!пЛ(б — х)+япЛ(х — о) аЛ. Л о В данном примере значение функции г совпадает с ее интегралом Фурье во всех точках числовой пряной.

Ь 115. У:х а2 + х2 ' и Функция у" при а 2~ О дифференцируема н абсолютно ннтегрнруема на интервале ) — ж, +ос(. Следовательно, она представима интегралом Фурье. Имеем Ь(Л) = О (в силу четности функции У), ( ) Г ~ 1*2*( 1 ~ ьтаан2 т Гг аз+ хг ~~~а~ уг 1+12 )а! (см, пример В4). Запишем теперь интегральную формулу Фурье данной Функции: у(х) = — е Ц" ~ соз Лх аЛ, если а ~ О.

Р (а) 1 о 116. 1:хь г 22 + х2' М Функция у дифференцнруема и не является абсолзгтно интегрируемой на интервале ) — ос, +ос(, однако она ннтегрируема на ием в смысле главного значения Коши и может быть представлена интегралом Фурье. + Легко видеть, что а(Л) = О, 6(Л) = г /,~ Ых. о Этот интеграл равномерно сходится по параметру Л > Ло > О в силу примера 2б (здесь 1 г , монотонно стремится к нулю прн х +со, а / в1пЛ1~й < — ). Следовательно, его о можно найти как производную (с точностью до знака от функции, рассмотренной в предыдужем примере, т.

е. + оа )' .Л*й* ) цц Ь Л) =— =е х / аз+ хг о 2 Интеграл Фурье функции х ~ —,*, имеет вид е "~ |яп ЛхйЛ, а ~ О. н 7-" а )( в2пх, если )х) <~ з., ) О, если )х! > з. 1 б. Интегральная формула Фурье ч Эта функция непрерывна, кусочно-гладкая и абсолютно ннтегрнруема на всей числовой прямой. Кроме того, она нечетиа; е(Л) = О, Ь(Л) = — ( Ях) мв Лх Нх»» — у мв х оьв Лх Ых = о о +» Итак, у(х) = з ( —,„~ згв ЛхИЛ. р о 118. у: х ~ е ~Р~, а > О. М Рассматриваемая функция непрерывна, дифференцируема всюду, за исключением точки х = О, и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой. Следовательно, она представимо интегралом Фурье.

Поскольку функция у четная, то Ь(Л) = О, 2 Г 2« а(Л) = — / е созЛхих = х х(а + о Таким образом, искомое представление данной функции интегралом Фурье имеет вид 2а соз х и / аз+Лз о 119. у:х~ е Рдмв ух, а>О. М Петрудно проверить, что зта функция дифференцируема всюду и абсолютно ннтегриру+ о« емана1 — со, +со[(~е з!л гУх~ ~. е , + (О ~м~ ' гУ ~ ~( е «р~, У' е «рб сходится). позтомуееьгожнопредставить интегралом Фурье.