Антидемидович 3 - интегралы (1113364), страница 13
Текст из файла (страница 13)
! = //(х + у ) Нх Ну. где Р = ((х, у) б И: х + у < 1). о И Переходя к полярным координатам р, ~р, получнлг уравнение края ЭР компакта Р в виде р (яп Лг+соз р) = 1, откуда После замены переменных и перехода от двайнога интеграла к повторному получим .,!,лз е Лсмз л г г г Нр /' Нр р Нр=- 4 ! мп 1г+ спал Н ! з(п р+ салах 1+ гк'е о Полагая в интеграле лк гг = 1, имеем л лл. ! = //(х + у) НхНу, где Р— компакт, край которога ОР задан уравнениями о уг ж 2х, х + У = 4, х + у — 12, 86 Гл. 2.
Кратные и криволинейные интегралы П Решая системы уравнений ж у' ж 2х, ) у' = г*, я+у=4 ( к+у=12, получим соответственно хг = 2, хэ = 8 и хг .= 8, хз = 18. Поэтому справедливо представле- ние Р = Рг 22 Рг. где Р, = ((х, У) Е И: 2 ( т (ч 8„4 — х < У < ъс2т), Рз=((к,у)ЕИ: 8(я<18, — э22х(у(12 — х). Пспользуя свойство аддитивности двойного интеграла и заменяя двойные игггегралы повтор- ными, получим З ъ'22 22 12- 2 С- з ою о~2 з=чг з /( + у)г 2 го 4х+ — ) (я+у) 2 21 о=а- з 2 у= — оюс з 33 1 1 г з 1 1 2 э = ) — + э/2хэ +к — 8 0х+) 72 — — + эг2зз — х Нх = 543 —.
М / [,2 ) 1 [, 2 ) 18' 2 о 222. 1 = ~~ ) соз(х + у)) 4х Ну, где Р = ((х, у) Е Из: О ( х ( я, О ( у ( т). 1 = 2 )соз(х+ у)~ИтНу, Б' где Р' ж ((х, у) Е Из: О ( х ( я, О ( у ( я — я). С помощью отрезка ( (т, у) Е И: О ( х < т, у = — — т) разобьем множество 0' на два множества, на одном из 2 которых подынтегральная функция положительная, а на другом — отрицательная. Указанные области в полярных координатах определяются соответственно неравенствами 2Г я 7г 2Г т О<р< —, О<р<; О<р< —, 2 ' 2(ил у+ соя р) ' 2 2(з!и 22+ созсс) зш р+ соз р После перехода к полярным координатам и замены двойных интегралов повторными получим с 2 эи со с) 1по еос во1 рсоз р(йп Го+ спасо) 4р — ~ рсоз р(йп р+ сову) Нр о 2СПо тоссо О) 2 2 ж 2я ,/ (1.р+ р) ) И. (,+,.) = ~ 4,)Ь= о о 2 23.
1 = ~ —" — х' — у' 4я Ну, где Р = ((х, у) Е И': х' + у' < 1). ,/,/ э/2 Ю и В точках квадрата Р, симлгетричных относительно его диагонали, определяемой уравнением х+ у = т, подынтегральнзя функция принимает равные значения, в силу чего справедливо равенство Принимал « 1 1 2 1= /1/у — х з у =д = .О У вЂ” * У+ 24 4х,/у2 теплу «« 21з~4 3 + 11 «) /~г у 4х 1У / 2 -1 а -1 «2 1 О« рр '~ з О1 -1 3 2-«2 2- -1 -1 е Г = агсив *, охончательно по- П носаеднем интеграле г = агсив ~2, Полагая в но имеем пучим лт еграяов в повторввзм ПР дЕ иР 3 1. Интеграл Ри'21вз а на множестве Рг— «+ з „з (, У) Е Р1положиге~ в фуихння У ' (х' у) 1 М р 1 Р , вследствие чего ( з 2 щ+ ) и отрипательна на мноязестве Рз— (з у) и мз 1 з + У < имеем 1(х, у) 4в ву = 1(з, У) Ых11У // п„.
„.,„= д *,. *"1~ о =д(" '-Ж)" -д (У- '-")"'"-'.' о м лам х = р совр, ахах 1 н 2 с 1 1 оответственно но фор у После замены р пе еменных в китегр з — жрсов1р,у — = ив Осе<2 Осе<2 О<р<1 О<р<1 г 1 2 1 Ы = — +42 з' 1 1 9 2 Р 4 р — — (виго+сов 21 ) р р 1 / ) / / Г 1 2 32 64 1 2/2 24.
1 = / )у — хз~НзЫУ, гдеР =((х, у) ЕИ 1 ф .. й 1 х (1,04У(2). ''=д -" ве Р1 = (з, у) Е К~: ~з~(ч ю ) мн — ( бм~: )*)(1,0(у( ). ательно на множестве 1 =,: ( а множестве .Рг ««( з, у 1,х (у.. ) н 2) непопожи льне на мн Р = Р1 сз Рз, и свонство во внимание, что сов 4$ т Б 1 = — — — + 2 сов 22+ — ~ 31 = — + —. 3 3 12 Вычислить витез р трапы от разрывных фунзиий1 6 Ж~ 25.
1 = 11 вдп(з — у -.О / — + 2) 4хйу, где Р = ((з, у) е Ж 22 хз 2<4) +у е ет екство М Исходя нз симметрии, следует рав 1 = 4 О вдв (х — у + 2) Лз Лу, Ю« Рис. л ( х, у) Е Рз, то з/ ггг /»:*г l»: ' »- 11>,> -11'а,>„) ° 1'>, 1> ь.>1>, 1 >„-/>* 1' >, ог оз о 1 г = ° ) (~>>»> - »т-' ) > ° )»Г-'и ь)- 1 » з г 1 — *>>*>»2+>~ (*.> >* ->>))~ — >1 > > 1 > =' (** ° г ж ив 21 г ~ 1+ за 4г (в ивтеграве >1» — г х пр > »4 — г Й оизводилась замена х = 2з)аз). а Й~ 0< 26.
1»» Ч[х+ у]Ых4у, где В = ((х> у) Е К: О ( х ( о 2, 0 < у < 2). От прлмых заданных уравненилмп х+у =1 1 = ва Р . Й = 1, 2, 3, .4) 1 2 3), азобьем компакт Р на мнозкесгва «.( ( ) — за В«,то х+ р с. ). Ес (, ) — вну реннял точка множества В», Уз = )» й — 1, й ж 1, 4, в силу чего имеем » » 1=~' О[в+у)й43= ~~> (Й вЂ” 1)Р« = Рг+2Рз+ЗР„ «1 в» > з где Р« — гхордано а Р в мера множества Р».
Поскольку Рз = Рз = —, Р = Р = — то охончательно получаем Рис. Е 3 3 1 = 3 . — + — ж б. и 2 2'> . 1»з О г/[у — *г) й Ыу, где Р = ((ь, у) Е мй: -2 ( (х (ч 2, хг ь у ( 4). и М Исходи из симметрии заключаем> гго 1»» 2 Ц г|Ь- хг) 3х 4У. оз 88 Г, 2. Кратные и крнвоиииейзпие никее~ л. где Рз = ((х У) ч и ' * +» г, хг уз<4 х>О,У10). мпакте Р,. Эта функнил разрывю под знаком интеграла на кондак ~ значим черо~ 1 Фуию»и на в каждой точке кривой « = 1(, у) = 11(х ) с И~: 0 Ч х ( 1, у»» х Р» на множества Вг к .0з (рнс.
Ь), где .0» = (х, у) Е и з 0 ч х ч, ° у =( 1,0« з/х«4-2~+у)634: 1(х(2,0(у( 1/4 — хг), Рз = ((х, у) Е И~: О 4 х ( 1, 1>уха + 2 ( у 4»Г4 — тг) . Поскольку 1(х, у) = 1, если (х, у) Е г, 1(х, у Р, 1(х, у) = О, если (х, у) Е «, 1(х, у) = — 1, если $1.
Интеграл а иа Римам наживите. Приведение иратнази иитегр алов и повторным 89 зз у »в з/х -:з, й = 1, 4. Из свойства аддитивности двойного и р о" ого интеграла »з' следует равенство з з 1=2~~ с/Π— 1 ОйхНу=2~~з т/Х-1Р», » 1 » 1 ю иия мно где Р» — жорданова мера множества зз». Из представления множества з)» в виде з з Рис 7 Р»=((х у)ЕИ: О~х~$с/4 — О, х +8 — 1~у(~х +х)ц ».С з: я з~ ° с т-7з — 1), .*.~з- с «*), О((х,у Е: — . х. имеем д — у зз» а= (»» / Ю~)»г ) а„= о»з»» з,/з уу»з+»-з з / з = з/4 — О+(3 — Ц (Л вЂ” Х вЂ” з/4 «) )— ~ ~ (3 — 8)У вЂ” (4 — 8)з Следовательно, » '=2Е/'=' ='( + /2 + )ж2Ь+-3 3-2~2) ж-3'( — — 2 = — (4+ 4т/3 — 3 2 » 1 зз.в * з'~», ПЗ-))', Уз».
едзаз »4з4з е енныяпо формулам х = Зз, у = Зе, Г ) О, полу чаем М Произведя в интеграае замену переменных по орм Е(з) = сз', где с= О е 'Ызли. Оью41 зьюьз Дифференцируя по з, имеем 2 з 2Е(Ф) Г (з) ж 2сг ж — сМ = —, Г ) О. М Ф зз. з» зз». и»-~у ссГ» г.г~. ° ° ()-с . е 0(з = ((х, у) б Й: (х — з) + (у— Щз) Г)з ~, Г О $~. зз фо м лам х- з = р совр, у-з ж р аш т, О 4 зз фо м ламх-, — ' (2т, М Заменяя в интеграле переменные по формулам х- получим 3» Р(т)= ~~ (Г+а Ю)з+(4+ум' О)зрФ4т=~Ф(р,~)Ф, е ее»41 еьеьз Гл.
2. Кратные н криволинейные интегралы 90 1 где Ф(чг, Г) = ] (1+ рсоа)г)г + (1+ дгйп у)г)гор. о Согласно формуле Лейбница (формуле дифференцирования интеграла по параметру), имеем аФ(), г) „~„~ (г+д ) )+(г+, з)п) ) „Ц +у Г'(г) = Г() — [' ' й — Ь l й,= Ь,~ У У (1+„.~) +(г+,1 р) ll ~/* +у о о о й,',) 30, Пусть линии уровня функции У вЂ” простые замкнутые кривые, и область 5(ег.
Уг) ограничена кривыми Ог = ((х, у) Е К; Х(т, у) = ег). 1г = ((т, У) Е и: 1(к~ У) = ег) ° ег < ег. Доказать, что г= // П . )г г,= / ггсг, Й"~ "г) где Г(е) — переменная площадь фигуры, ограниченной кривой тг и кривой; = ((х, у) Е ' 1(к,у)=е,ег <» < гг). и предположим, что функция Г дифференцируема иа сегменте [ем ег]. тогда Гг(е) ) О Уе Е]ег, ег[, так как à — возрастающая функция.
Пусть П = (е, = Уе, е„..., е„= ег)— произвольное разбиение сегмента [ег, ег), где е; < О»ьг, г = О, и — 1. Принимая во внимание неравенства е, ( Г(х, у) ( 6,.>г, (х, у) Е 5(д„уг ы) н свойство аддитивности двойного интеграла, имеем -1 -1 — 1 ~.О; ~)я(гч» уч„) < ~ О Г(т, у) т 1У =1 < ~ у,„г1~(у„угы), о =о '=е где ГгЯ(О,, Уь)д) = Г(О»ы) — Г(О,) — площадь компакта Я(У„О»Ы).
Согласно формуле конечных приращений, получаем гг5(6„»»Ы) = Г (э,) Ьу„где Ог < д, < О,~,. Пз очевидных соотношений е, = е;+ а, (Йгч), О,.>г —— е, + а, (ЬО;), где а; и а, йг) —, —, - Р) —. ПО Р) бесконечно малые при ЬО, О функции, следует, что неравенства (1) можно записать в виде -1 »-1 -1 ~ — г а(~)Г'(е,) г1е, +~~> е,Г (е,) Ье, < 1 < ~ ~е;Г (е;)11гч+~~> а( )Г (е,) где,, =О ' о '=а =о После перехода к пределу в этих неравенствах получиы »г 1= / еГ(е)ое. Пусть, например, у"(х, у) = х + уг, (т, у) Е И~, ег = 1, ег = 2. Тогда Г(е) = т(е — 1), Г'(е) = т, з ~з т( )о о / 1 т г 2 щ г, г) 1 Вычислить следующие тройные интегралы туг/ г г г1 г г 31. 1 = ~Ц ~ — + —" + — ] йх ау ог, где дК = ~(я, у г) Е )й": — + — + — = 1~. У 10(," ) ег Уг сг к б 1. Интеграл Римана на компакте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
