Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 2

оЬ" и+ 1 1ьег = ~ — ) = — соз ~к+ — ) — — у соз (у+ — )»гу = -„" ~.)-; ~ 2) .".) ~ 2) о ч Справедливость формулы (1) при т ф О устанавливается методом математической индукции. Действительно, при и = 1 соотношение (1) справедливо.

Предполагая, что формула (1) правильна при некотором и = и» дифференцированием обеих ее частей по х с последующим применением интегрирования по частям получаем Ь 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра --('-,)- —;„( — ""- ("г —,',/ "-(" )")- о — — у ив(у+ — )«у= — у соз у+ 1 1 )4/ . / Ьт) 1 / л.(.) / (Ь+ 1)/г .л+г / 2/ * ° / 2 «у, кфО. Покажел/ теперь справедливость формулы (1) при к = О. Используя разложение а1в к в Нпз (-/)" згл ряд Маклорена, получаем — ' = 1... если к ~ О. Очевидно, сумма этого ряда при з 1гл+/У л=о /,/*зол к = 0 равна единице, Поэтому 1(а) = ~ ~глзц, при всех х, Отсюда находим 100(0) = л о »»вЂ” — г-. что и требовалось доказать.

ооз Далее, поскольку при х ф 0 — ~ у соо (у+ — ) «у 2 ) о ~« — /'у- «р = —. ) .)оз/ / о оа) а при х = 0 ииееи )/"(")(О)! = / — * — г — лл « —, то Ух Е) — оо/ +со( — « —. и «1(х) 1 «а" и+ 1 10. Функцию / ) т ) кг на отрезке [1, 3) приближенно заменить линейной функцией к / а + Ьг так, чтобы з 1(а, Ь) = (а -~- Ьк — хг)г «к = ппв. 1 з з /.' ( . / о - 1/ (. + /* - .* ) » . - л /(( ., /) = // ( .

+ /. — . * ) * ». = Отсюда находим а = — )/, 6 = 4 Легко убедиться, что 1", (а, Ь) = 4. Такилз образои, «г1(а/ Ь) = 4«а + 10«а«Ь+ — «Ь = 4(«а+ 2«6) + -«6 ) О, 3 3 т. е. при а = — —, Ь = 4 функция 1 принимает минимальное значение. Следовательно, 1/ з' линейная функция у = 4х — — удовлетворяет поставленной задаче. И 11 з 1 1.

Найти производные от полных эллиптических интегралов г з(»)=1/ /(:»' Р,»,, г /(») = / о и выразить их через функции Е и Г. м Поскольку подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные при любых а и Ь, то люжно применять форлгулу Лейбница. Дифференцируя под знаком интеграла по а и по 6 п учитывая необходимые условия экстремума функции 1, получаем Гл. 1, Интегралы, зависящие от параметра Показать, что Е(й) удовлетворяет дифференциальному уравнению Ео(й) + — Е'(й) + — = О. 1, Е(х) 10 В, °, - У у /Ь,Ь) КЦ. т,.

о -„. О,Е О1-йг.",, (х, ог) ~ -я л ~ непрерывны в прямоугольнике и = ((оо, к) ( 0 < оо » (г, ха < к < хг ) Следовательно, к интегралу применима формула Лейбница. Имеем е.. о () Е(й)-Г() (2) Интегрируя в (1) по частяы, получаем г 7 й о11о шп Огйр (1 — хг згпг оо) г о (1 — хг зшг р)й г хсозг Оо Иго шп рй(со р) о о (1 — хг зшг оо) г Но поскольку г (АГ(й))' = (1 ьг 1вг „о) г Г (й) = й г зш огнях з (1 — Ьг ошг о) г гг (дифференцирование здесь возыожно по причине, аналогичной изложенной выше), то Е (х) = Г'(1) = — 1(хГ(х))'.

Пользуясь формулой (2), из последнего соотношения находим Е(й) ГГ(я) (3) й(1- й) й Из формулы (2) следует, что Г(й) = Е(й) — хЕ'(х), Г' = — йЕо, Подставляя Г(й) и Г'(х) в (3), приходны к указанному дифференциальному уравнению, Наконец, так как числа йо и хг могут быть как угодно близкимн к нулю и единице соответственно, то отсюда следует, что все полученные выше результаты справедливы при 0<О<1. > та2. Доказать, что функция Бесселя 1„: х о — / соз(пог — х зги р) й1о, и б о, о удовлетворяет уравнению Бесселя хг1„'(х) + х1,',(х) + (хг — ог)1 (х) = О.

М Вычисляя производную от данного интеграла и интегрируя по частям, находим Г. 1„'(х) = — ( шв(ор — хз1вт)4соячг) = о Умножая обе части этого равенства на й и пользуясь выражениями для Е(й) и Г(й), находим 3 1. Собственные интегралы, зависищие от параметра и / 2 соз )О сов(п442 х в)п 442) 4)го (1 в)п ОР) сов(и)о х яа ОО) 4)го О О = — 1 )О ( — * И' р) А — Х1»(Х) — Х1а(Х). (Ц Я1 О Поскольку „-1 соз(поо — хвш Ро)(о — хсов442) 4))О = О, то 1 Π— сов(а)Π— х в)п )О) сов )о й)о ш п1„(х), о (2) 1 — 2а сов х + аг о Используя подстановку г = гб -,приводим интеграл к виду 2' +РР а — 1 + (а + 1)г~ ' (а) - ' (1 + )2)((1 а)2 + (1 + а)г)2) " 1'(а) =4 / о Применяя метод неопределенных коэффициентов н формулу Ньютона — Лейбница, получаем — если )а( > 1+ в, О, если )а) ( 1 — в.

Отсюда 2я)п)а(+ С), если )а( 241+в, 1')=1 с„ если )а) ( 1 — а, где С), Сг — произвольные постоянные. Поскольку полученный результат справедлив при сколь угодно малом в > О, то ) 2т)п)а)+ С), если )а) > 1, 1(а) = ~ Сг если )а( < 1. Длл вычисления 1(ж1) используем исходный интеграл: 1(ж1) = з~1п(2(1ш сов х)) йх = 2я1п2 + 4 ~1пв)в газ = О. (2) Умнолсая обе части соотношения (1) на х и учитывал толсдество (2)4 получаем уравнение Бесселя. и Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы: 13. 1(а) = !п(1 — 2а сов х + а ) 4)х. о и пусть ((а( — Ц > а > О.

тогда функции 1' ) (а, х) 4 )п(1 — 2асов х+ аг), )а ) (а, х) 4 ГЦ"-х)а РР Р О о*, )))! ) — 4)Р Р.Рс*с ) ответствии с теоремой 1, п.1,3, возможно дифференцирование по параметру а под знаком интеграла. Имеем 12 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Поскольку 1(0) = О, то Сэ = О. Кроме того, как видим из (1), йш 1(а) = О. Следова- !! 1-о тельно, с учетом тождества (2) находим, что функция 1 непрерывна в точках а = 1, а = — 1 соответственно слева и справа. Замечая, что 1 ! -) = ! 1п ( — (а — 2а соя.г + 1)) Ыт = — 2т !и (а! + 1(а), а ~ О, (,.) / о (3) приходим к выводу, что функция ! непрерывна в указанных точках также справа и слева. Действительно, в этом случае из соотношения (3) находим !пп 1(а) = 2т !пп !в!а(+ йш 1 Н = йгп 1(а) =О.

/11 !а! 1.1-0 !а! — 1-1-0 !Ы-1оо а ) )-1-о Таким образом, функция 1 непрерывна при всех а. Поэтому, полагая Сг = О. имеем )( 2т)в )а~, если (а) > 1, 1 О, если )а) (1. Р 14 1()= / ~( 3* 232 о < Пусть а > е > О. Тогда функции У:(з,а) а,,=О, 1 О, 2' 1 а (о, непрерывны в прямоугольнике П = ((т, е) ) 0 ( з ( —, а > е > О).

Поэтому, согласно теоре- ме 1, п.1.3, при а > е > 0 справедливо равенство 2 / дх 31 1 (а) = ) 1+ аз Гбэз ) (1 !. 22)(1+ аээг) 2(!+ а)' нз которого интегрированием находим 1(а) = — !п(1 + а) + С, 2 С = 1пп 1(а), а ОО (2) Таким образом, если исходный интеграл представляет собой непрерывную функцию параметра а, то, с учетом (2), имеем С = 1(0). Но интеграл действительно непрерывен по а в силу теоремы 1, п.1.1. Следовательно, С = 0 н 1(а) = а 1в(1 + а) при а ~~ О.

Учитывая еще очевидное равенство 1(а) ж 1((а!) зова, окончательно находим 1(а) — зхв а !п(1+ !аО 'о'а. Ь 2 15. 1(а) = г !л 1+ асоях 1!з —; )а! (1. 1 — асов я соя х ' о где С вЂ” произвольная постоянная. Поскольку е > 0 может быть произвольно мало, то полученный результат справедлив при всяком а > О.

Тогда из (1) следует, что 1 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра М Функции 13 1 2а, х»» —, 1 аг созг э г' непрерывны в прямоугольнике П = ((е, х) ( )а! ( 1 — е < 1, 0 ( х ( 3~). Поэтому, в соответ- ствии с п.1.3, г агсгб х / Ыу / 1 1.хгуг' о вычислить интеграл 1 агсгд х Нх о (2) М Интеграл (2) является несобственным, поэтому его следует понимать как предел 1- / агсгбх Нх 1пп -эо г х Д з Подставляя сюда интеграл (1), получаем 1- 1 1 = 11пг 4х / 4у .-эо / ч»):х',/ 1+хгуг о о (3) Так как функция /; (х, у)» 1 является непрерывной на прямоугольнике П 1»э»»»»1 Iг „» ((х, у) ( 0 < х ( 1 — е, 0 ( у ~( Ц, то из (3), используя теорему п.1А, находим г 1- 4х 1= 1пп Иу Эо,/,/ (1 -1- хгуг)эГà — хг о о Сделав в интеграле А = / л» , 1х( < 1, подстановку 1 = агсэ1л х, получаем „»Пе»э»1' 1 А = агсгд (хт/1 + уг), х = 13 (агсз1п х).

+ уг Следовательно, В(е, у) = А~о * = агсгб (1Л+уггб(агами(1 — ))). уг о откуда г(а) = »таге»па а + С. Устреьгляя е к нулю, замечаем, что этот С = О. Таким образом, 1(а) = г агейла, М 16. Пользуясь формулой <И »г =2 1 аг 41г г1 — г' о ответ правилен при 1а) < 1. Так как 1(0) = О, то 14 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Поскольку функцня В прл 0 ( с ( 1, 0 ( у ( 1 валяется непрерывной (прн О ао 0 полагаем В(0) = 1пп В(О, у)), то в соответствии с теоремой 1, п.1.2, имеем -ьо 1 1 1 = / Бп« В(г, у) «Ьу = — — 1 = — 1п(1+ за). у Г йу .