Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 11

В частности, формула (4) справедливо в случае, когда у' б С(У). Следствие й, Пусть функция Г ) У ЬЬ интегрируема нв брусе У =(ам Ь)] х (аг, Ьг] х х (а, Ь ]. а также на каждол) из брусов У, = (ам Ь)] х (аг, Ьг] х х (а„, г. Ь -г] Уг = Если, кроме того, функция х ) У(х, у) интегрируемо на брусе Уз, то справедлово равенство 6 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 73 [а», 61) х . х [ат-з, 6 -з),, У»в — з = [а», 61) х [аг, 6г) и но сегментах [аг, 61], у = 2, п».

Лрил»ение теорему Фубини т — 1 раз, получим ровенство ь, ь, ь л(х)дх / йх1 / Йхг ... / У(х» хг, ° . х )дх (5) посредством которого интегрирование по брусу У сводится к повторнол»у интегрированию. Лри атон все переменные. кроме»лой, по которой производи»пся интегрировоние„4иксиру- Ю»ЛСЯ, 1.7. Некоторые конкретные реализации интеграла Римана на компакте. Рассмотрим два важных сзучая. 1. Пусть К С м~ — коь»пакт с краем дК. Множество дК точек границы комцакга К является гладкой или кусочно-гладкой кривой класса С и поэтому имеет лебегову меру О, в 1 силу чего измеримо по Жордану. Если г": К П вЂ” интегрируемая по Риь»ану на множестве К функция, то ее интеграл / г"(х) дх к называется двойным интегралом и обозначается // у(~, у) д~ ду.

к К = ((х, у) б )й : а < х < 6, у»(х) < у < уг(х)), (2) где у», уг — кусочно-гладкие функции. Согласно определению 3, п.1.4, и следствию 2 иэ теоремы Фубини, справедливо равенство (в предположении, что внутренний интеграл существует) ь зз») 1(х, у)дхду = дх у(х, у)ду, (3) з»» ) позволяющее вычислить двойной интеграл как повторный. Если множество К выпукло в направлении оси Ох, т.е. его можно представить в виде К = ((х, у) б Ь»: с < у < д, х»(у) < х < хг(у)), (4) где х», хг — кусочно-гладкие функции, и, кроме того, существует интеграл 1Ь) у(х, у)дх, л»Ь) то двойной интеграл выражается через повторный следующим образом: в *зЬ) О г (*, у) дх ду = / ду [' у(щ у) дх. (5) »(ь) Предположим, что К вЂ” выпуклое в направлении оси Оу множество, т.е, что его можно представить в виде 74 Гл. 2.

Кратные н криволинейные интегралы Если множество К выпукло, то при выполнении условий, сформулированных в следствии 2 из теоремы Фубини, справедливы одновременно равенства (3) и (Б): Уз( ) »з(у) / Г(х, У)дкдУ»» / Ых / У(х, У)дУ = з(' дУ / У(г, У)дк. (8) К У!(») »!(У) 2.

Пусть К С Я вЂ” компакт с краем дК, являющимся гладкой или кусочно — гладкой з поверхностью класса С . Если У ! К )И вЂ” интегрируемая на компакте К функция, то ее 1 интеграл Римана / Г(х) Их называется тройныз< интегралом функции 7 и обозначается з(г, у, г) дх Йудг. (7) к Пусть К = ((х, у, г) б )й~ ! а < х < Ь, уз(к) < у < уз(к), гг(х,.у) < г < гг(х, у)), где у1, уз, »1. гг — гладкие или кусочно-гладкие функции, и двойной интеграл / Г(х, у, г) дуду у!(»)<У<уз(*) !(», У)< < 2(» У) существует !Ьк б (а, Ь]. Применив теорему Фубини! получаем Х(х, у, г) Нк Нудг = / дх // У(к, у, г) дуде. к У!( )<У<уз( ) '!(* У)й'<'г(* И Если, кроме того, Ч(г, у) б ((г, у) б У1~ ! а < к < Ь, уг(к) < у < уз(х)) существует ' (* У) 1(к, у, г) Ыг, !(, У) то, согласно следствию 2 из теоремы Фубиии, справедливо равенство Ь Уг(») *2(» У) )!(! !!.!, .!1.1 з* - ~ !. ~ ! (! !!., » !н*.

(8) к » У!( ) !( , У) Если компакт К нс является выпуклым множеством, но его можно представить в виде объединения выпуклых множеств без общих внутренних точек, то следует воспользоваться свойством аддитивности кратного интеграла и представить его в виде суммы интегралов по этим множествам, заменив каждое слагаемое повторным интегралом. Г(х) дх = / у(й(Г))] дат й'(Г)] О1, 1.8. Замена переменных в интеграле Римана. Теорема. Пусть О и О' — выпуклые области евклидова пространства И~ с фиксированным базисом, К С О вЂ” компакт с краем дЛ (гиперповерхностью размерности т — 1 класса С ) и б — С вЂ” диффеоморфизм О' на О.

Если з ! К 2 — непрерь!оная на компакте К функция, то справедлива формула замены переменных в гп-кратном интеграле римана / / (Х, у) дт ду = ~~ / («1(21, 22), с2(21, 22)) дг! 422. Р(*, у) Р(71, 22) В частности, если р; (р, р) б- (», у) — отображение Из м~, определяемое равенствами (4) х = р со*2), у = рыл 12, которые называют фориулалт пера«ода к поляриын коордииаталб. то / 7(х.

у) д» ду = ~~/(рсоз(р, рз)л(р)р дрд(2, (5) Ю о' поскольку '" = р. Заметим, что в формулах (3), (5) вместо областей Р и Р' можно о(л, р(р, ( взять нх замыкания Р и Р, так как границы этих областей имеют двумерный объем О. Довольно часто при замене переменных в двойных интегралах переходят от декартовых координат к обобщенным полярным координатам по формулам х=арсоз брб у=5рял (р (р>0,0<бр<2л), (5) где параметр и выбирается надлежащим образом. В этом случае 2/(х, у) = а6ор«1п !2 соя р, Р(р, р) Пусть р: (р, В, (2) б (», у, «) — отображение 55 И определяемое системой г з т=рз)лдсозбр.

утрявдзш(р, »=рсозВ (р>0, 0<8<», 0<р<2т), (7) которую называют форлбулалби перехода к сферическим координаталс Предположим, что в пространстве переменных», у, «задана измеримая по Жордану область О, а на ее замыка- нии О определена непрерывная функция /', причем О является образом при отображении р измеримой по Жордану области О', лежащей в пространстве переменных р, В, 22. При замене переменных в интеграле ~(», у, ») Й» ду Н» 'о по формулам (7), принимая во внимание что — 'Р' = р ялВ получим о(р, г, р) В(з, у, «) д»дуд« = ~~~ у(рзшдсоз(2, ряп Ваш р, р соз В)р япВдрдуду).

(8) о о' Иногда вместо системы (7) берут систему » = арзш Всозр(р, у = Ьряп Взгпр(2, » = ср сов В (р > О, О < В ~< т, О < (р < <2«), (9) 5 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 75 где К' = С 1(К), С'(Ф) — матрица Ос/проградского — Якоби отобра»гения С. Определитель матрицы Остроградского — Якоби с' (полной производной отображения О) ° б /г * -(б ''"'б!З» Ы - б(б) ° .", -(,(), вьа- ы, - Бу.й -;„лб, ф --(!) - ° //(*)б*=)'/(б())ф;,'",* ';,)/бб (2) к к в котором она обычно употребляется. Если С ) (21, 22) )- (», у) — С -диффеоморфизм пространства И на И, и в плоскости 1 2 2 »Оу задана измеримая по Жордану область Р, а на ее замыкании Р определена непрерывная функция Х, причем Р является образом при отображении с измеримой по Жордану области Р', лежащей в плоскости Г)ОЯ«, то согласно формуле (2) имеем 76 Гл.

2. Кратные и криволинейные интегралы которую называют формулами перехода х обобщеиныл1 сферическая коорданагааль В этом случае имеем Р('р,'В",',) = ) = аЬ<аЗр сов 1 Вяпзо 1 В япл 1 Оосгнл ор. (10) В некоторых случаях при вычислении тройных интегралов удобно переходить от декартовых координат х. у, 2 к цилиндрическим координатам р, оо, х по формулам х = рсов|р, у = рвгпр, 2 = х (р > О, О ( Оо < 2т) или к обобщенным цилиндрическим координатам, полагая х = ар сов 1р, у 4 Урвгп уб х = 2 (р > О, 0 < ~р < 2т), (12) где параметр а выбирается надлежащим образом.

В последнем случае иыеем = а5арвгп ясов уь (15) Р(р ) Прн вычислении и-кратного интеграла Римана часто оказывается полезным переход в интеграле от декартовых координат к сфернчесюяг координатам в пространстве К по формулаьг Х1 = Р Ял Р1 ЯП Рз ... ЯП ОО -1 хл = рсоа рл 1 П вгп Гоп у = 2, ги — 1, =1 х = р совр -1, (р>О, 0<О21<2т, 0«рл < лприу'=2,ги — 1), Якобиан преобразования координат, задаваемого системой (14).

имеет вид (14) — 1 Р(х1, хг, ..., х ),о 1 Т'Т =Р Пни Гол. ул(р Ооз, Оо -1) 1=1 (15) Л~ худхИу= 1пп — Э 1'~ 1= 1нп лил о ~ 4ио 4 О<э<1 =1 1=1 О<о<1 2. Составить нияонюю бп(() и верхнюю оп(Д) интегральные суммы для функции Х(х у) = х + у, (х, у) Е Р, Р = (1, 2] х (1, 3], разбивая прямоугольник Р на ячейки прямыми х = 1+ —, у = 1+ — (1, у = 1, и). Чему равны пределы этих сумм при и со7 и' и 1 2, я Ячейки разбиения П вЂ” прямоугольники, длина сторон которых — и —; поэтому плоп 2 щадь ячейки равна —,.

Рассмотрим ячейку — ( , ' 1 + 1 22 г(1 + 1) ] ,11 = (х, у) б И : 1 + — < х < 1 + — , 1 + — ( у ( 1 + и и ' и 1. Вычислить интеграл Д хуНх Ну, рассыатривая его как предел интегральной суммы О< (1 О<о<1 при сеточном разбиении квадрата Р = (О, 1] х (О, 1] на ячейки — квадраты со сторонами, 1 длины которых равны —, выбирая при этом в качестве точек 4, правые вершины ячеек. и я Разбиение области интегрирования на ячейки производится пряьгыми х — -', у = — (1, 1 = 1, и — 1), а значение Функции ((х, у) = ху, (х, у) Е Р в каждой правой вершине ячейки равно '1 (1, у = 1, и).

Вполне очевидно, что Н(П) 0 при и оо. Следовательно, оо 1.ы=~(1+-,1+-), 1 ..=1 ~1+ —,1+ а 221 1 1+1 2(у 01)» » при (х, у) Е УО, в силу чего имеем — 1 -о ~~(У) ЕЕУ '=о о=о ( )= 21'1 40 11 1+-,1+— » .)=3» 3»" ~п(У) = —, ~, 2 1 =о о=о ш (+ 1 2(у'+ 1) 1 40 11 5 1+ —, 1+ / = — + — + —. » / 3 » 3»з' Переходя к пределу, находим 1 1йп 5п(1) = йш Уп(1) = 13 —, В 3. Какой знак имеет интеграл 1 = ) ') агсшв(х + у) 4х йуу о<о<о †л<о<л- м Представим исследуемый интеграл 1 в виде 1= )), ьь»ог» )), „' ( ° )1.»ь=г, ° П. око<о о<о<»в о<ой» вЂ” оиойо Вполне очевидно, что 1» > О.

Исследуем интеграл 1ы В точках квадрата П = [О, 1] х [ — 1. О), симметричных относительно его диагонали у = — х, функция 1(х, у) = агсгйп(х+у) принимает значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку, поэтоыу при любом разбиении П множества П на ячейки — квадраты У, — в каждой паре симметричных ячеек, лежащих по обе стороны диагонали, найдутся такие точки (с,. ш), (с„'л,'), что 1(6, ш) + ((4,', Л,') = О. Рассмотрим такое сеточное разбиение П = (У,: 1 = 1, ») на квадраты, чтобы сумма площадей ячеек, объединение которых [) 7» содержит диагональ хвадрата 13, была лгеньше произвольного о > О. Тогда при указанном выше выборе точек (с„ш), (~,', л,') в произвольном выборе точек (С», й») б У» интегральная сумма Яп(1) имеет внд оп у) = ~~' у(сл» 0»)[У»!.