Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 15

1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Пусть функция у непрерывна почти всюду в области определения, т.е. разрывна лишь на множестве лебеговой меры О. Так как Ен С Енвз и Е вз О У ыю, то у каждой точки х к Еь есть окрестность б(х, 6(х)). в которой значения Функцию у ограничены. По теореме Гейне — Бореля из указанного семейства окрестностей ыожно выбрать их конечное число 5(х„6,), г' = 1, к, покрывающих мно:неспзо Еь. Пусть в окрестности 5(х„6;), г = .", 1., значения функции 1 ограничены числом М,. Тогда на множестве Е„значения функции 1 ограничены числолг М = тах(Мг, Мз, ..., Мг). Поскольку функция у' непрерывна почтп всюду в области определения и ограничена на каждом множестве Е„, то ее сужение на это множество ннтегрируемо по Риману.

Рассмотрим последовательность т — кратных интегралов Римана у„+(.) .. Определение 2. Если для произвольной допустимой последовательности мнозсеств (Е ) последовательность интегралов Ринако (з"„) и.пест при п ос конечный предел 1. не зависящий от выбора допусти.иой последовательности, то существует (сходится) несобственный гп — кратный интеграл Рилгана у(х) дх, (2) или вообще не существует, то несобственный интеграл равный числу П Если йш з = эо ь (2) не существует (расходится). Согласно определению, имеем ,1(х) Их = !1т / 1(х) Их. и Я Определение 3. Несобственный интеграл (2) называется абсолютно сходящ изгоя, если сходится интеграл ~ ~У(х)(~* (4) в Теорема 1.

Пусть функция Г: ж~ В непрерывна почгпи всюду и неотрицательна. Если существует такая допустимая последовательность множеств (Е ), что последовательность (1) ограничена, то интеграл (2) сходиглся. Эта теорема значительно упрощает исследование абсолютной сходимости несобственного интеграла. Для решения вопроса об абсолютной сходимости интеграла (2) достаточно исследовать на ограниченность последовательности ) Г"(х)) дх для какой-нибудь одной, специально выбранной допустимой последовательности множеств (Е„). Если при этом последовательность (6) окажется ограниченной, то несобственный интеграл (2) абсолютно сходится; если последовательность (5) не ограничена, го интеграл (4) равен +ос, и интеграл (2) не является абсолютно сходящимся. Теорема 3.

Пусть функция у з 61™ Я непрерывно почти всюду в области определения. Если несобственный интеграл (2) сходится абсолютно, то он сходиглся, Следующая теорема сводит проблему сходимостн несобственного т — кратного интеграла Римана к проблеме его абсолютной сходимости. Теорема уь Пусть функция у: Ит К непрерывно почти всюду. Если несобсгпвенньщ интеграл (2) сходитсн. гно он сходится абсолютно. 1 2. Несобственные кратные интегралы 101 2,2. Несобственный т-кратный интеграл Римана функции, заданной иа подмножестве пространства И Пусть у: Š— 1в, Е С И~ — непрерывная почти всюду нг множесзве Е функцию, не пнгсгрируема по Риману в собственном смысле. Ргссмотрим функцию Г; И'" И, где ) 1'(х), если х й Е, О, если хйИ ~Е.

Определение. Несобственныи,т-кратный интеграл Е(х) ах назовем несобственныгг интегралом той зее кратности от функции г и обозначим сич- волом у(х) дх. / 2.3. Некоторые признаки сходпмостп т-кратных несобственных интегралов. Признак 1. Если 1: Р~ — И почти всюду непрерывная. локально ограниченная функция и существует предел йга г(х)йхй~ = с, с й И, 1я1-+ то несобственный интеграл 1(х) йх сходится при о ) т. Признак 2. Есяи у": И вЂ” И вЂ” почти всюду непрерьтная функция. ограниченная вне некоторой окрестности начало координат О. и существует предел 1пп у(х)'йхй = с, с к И, М~-с пго несобссп*енный интеграл а сладится при а < т.

Признак з (сравнемпя). Пусть )': Е И. д: Е И, Е С И, — почти всюду непрерывмые меотприцательньт фумкции и 1'(х) (д(х) Ух к Е. Тогда из сходиности интеграла д(х) ах следует сходи. ность интеграла )г'(х) йх а из расходимости интеграла л ~ у(х)дх Е сл дуепг расходплгосгпь интеграла 1' д(х) дх. е 102 Г . 2. Кратные н хрнволнненные ннъегралы л.

2.4, Замена переменных н несобственном т-кратном ннтегране. Теорема. Пусть С вЂ” — итлфеом с — С -д ффеоморфигм открытого мноюестеа Е' евклидова проомество Е того ггв пространства. Если функиил /: странства И~ на открытее мномест ме ы О, и несобнепрерывна всюду но, га исклю юд Е чением замкнутого мнотестеа точек Я мер ственныу интеграл (1) / /(х)Их существует, то интеграл Щ($))(дегс (Ф)(дг (2) дх Иу / (хг + уг)р' Б — п н х +у +оо, то, согласно признаку 1, ннтеграл 1 сходится нри 2р > 2, т.е. нрц р > О. Позтому исследуемый интеграл такхсе сходится прн р>1.

Ю Их Иу .О (1+ Ир)(1+ Ь)г) ' усть (») д П (Е ) — опустпмая последовательность областей такая, ( ) „т , что ( ) Е„т Кг. Вивь»ен К Е, сто она которого равна 2омю н такой квадрат Кг О Е, 'т12 Т сторона которого равна 2аг», чтобы аг» +оо при п оо, у =, . ог оценка к . -д ( $3 )(1+$ )9) (1+Зх!р)(1+!УЬ) (1+!! И + Ь! ) х к 2 1 из которой следуют неравенства <1< й дх Иу ."=-д ." .. - --Л "«-, к» к,„ Поскольку подынтегральная функция непрерывна, то »+»1» 6+аг„ ."™ дг Иу /(1+)к)р)(1+!у(г) = /' 1+)х)р,' 1+(у)а г Ь к.„ сходигпсл и справедливо равенство 1(х) Нх = У(С(Ф))/ с$ег С'(Г)(д1.

(3) х л' Исследовать на сходнмость следующие несобственные интегралы: 44. ~(*' у диду, Е = ((х, у) б И': х'+ у' > 1), О < т <!р(х, у)) < М. ' П (ха+уз) »1 Обозначим подынтегральную функцию через гг. П у Г т — „-пу »1 овна и гг. Поскольк ~ ((У(х, у)) < об ого войного интеграла эквивалентна его абсолютной схо— ч-ч — р п сходнмость несобственного двой гг+г )р емый интеграл сходится нлн расходится вместе с димости, то по признаку сравнения исследуем интегралом Гл. 2. Кратные 21 криволинейные интегралы 104 4Т. 1 =, р > О, д > О, где Е = ((х, у) б К~ ! )х!!+ <у( > 1). =й'<.<+<у< е а Очевидно, скодимость интеграла! эквивалентна скодимости интеграла Е' где Е' = ((х, у) б м~ ! х" + уг ) 1, х > О, у ) О). Согласно определению п,2.2, имеем 11 = Р(х! У) ЫхЫУ, где Е(х у) — эгез! ' — если (х.

у) б Е', О, если (х, у) от( '1Е'. Поскольку Е(х, у) ) О. то Дг1,!! !, е Еп = ~(р, р) бК ! — (р<а, 0(22(2я). 1 Произведя в интеграле Га = О Е(х, у) 4 у е„ 1 2 1 2 замену переменных по форыулаь1 х = рг созз 22! у = рт ми 2 !р. получим 2 г 2 2 1 1 +--2 1 (1 1 А,= — - /зглг гэсоз1 рИ,/ р. ° Ир=-В(-,-1 Рт / г,д' р1 Следовательно, последовательность (1 ) имеет конечный 1 1 только тогда, когда — + — — 1 < О. Таким образом, интеграл 1 2 48.

1= ' НЕИу, Е= Цх. у) 6 И' ! к+у>1). 1 ! (х+ у)з М Заменяя в интеграле переменные по форьгулам а = -д:-, *+ предел при и со тогда п сходится, если — + — < 1, и 1 1 Е 2 а = -*:~, получим а2 1 Г Г соз 2112а — соз 2/2а ! ( 2 1 П = "'П аг НаНа, Е' = ~ (а,. а) б й ! а ) —. а б Й 1.. !/2 Согласна определению пг2.2, имеем 1 = — к Ц Е(а, а) Ыа !4е, 2 2// где (Е„) — произвольная фиксированнал последовательность допустимыя мнотиеств такая, что ( ) Е„= И~ . Возьмем еи З 2. Несобственные кратные интегралы 105 где если (и, и) б Е', О, если (и, и) б !йг '! Е'.

В!нок<ества Ео = ((и. е) й !й~: -и < и < и, -и < о < и) допустимые для интегрирования функции Р, а последовательность двойных интегралов 1 ~~ Е(и, с) г!или можно залгенить последовательностью повторных шггегралов, так как Р— непрерывная функция.

Таким образом, з Гг!и Г Г ои Г соль'2и 1„= / — / (соз Ле — соз ъГ2и» оз = ъГ22з!и ъ'2и — — 2и Ыи. / гГ из ив 1 1 1 Поскольку последовательность (1 ) не имеет предела при и — ос, то интегралы Д Е(и, о) кг и 1 расходятся. > 49. Показать. что Г » ' (*' + ') * 11 где Е = ((х, у) б л<~: !х! < и, !у! < п).

тогда лак )цп Цз(п(х +уз)Ихйу = О. .11 Где Е„'= ((х. у) б В: х + у < 2их». ° я 1!з непрерывности функции (х, у) 1 Йп(х + у ), (х, у) е Р, следует равенства з ~ з!п(х + у ) их йу ы / пх / з(п(х + у )г(у = 2/ з(их ох/ соя у йу, л -и з в силу которого получаем после перехода к пределу произведение интегралов Френеля: йш гйп(х + у~) Их йу = 2 сйв х Ых соз уг ау = х.

и зз ~1 Для проверки второго предельного соотношения достаточно перейти к полярным коордцна- таы н вычислить интеграл: г рз!и ргйрйр = 2т / рзш рта = тсозр»~ — — О. а<я<Лги 0<и<ге Этот пример показывает, что двойной несобственный интеграл // . (г+ г)й 10б Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы расходится.

М 50. Показать, что интеграл: 2 2 1 сЪхНу, Е-((х,у)6К .х>1,у>1), ./ 1 (х' + з)у расходится, хотя повторные интегралы ооо Фоо +х +оу 1 1 1 ! существуют. и Плл доказательства первой части утверждения достаточно показать, что интеграл 1 абсолютно расходится, т.е. что интеграл Г=// ~", „"',огог=//П.,СГ.». где ж г „у -пг-тлт))ю если (х, У) б Е, О, если (х, у) бП ~Е. расходится.

В качестве допустимой последовательности множеств Е„возьмем Е„= ((х,ту) б П з, -и < х < и. -п < у < п). Тогда получим, принимая во внимание, что )х — у~) с х — уз, если х>у, у — х, если х< у: 2 2 о и и С-//гь,еьь=/ог/; ',,а„~/ог/ ',;,Ь= к„ о г и =/( 1 / Их = 1и и — — + агсгб —. ~, ху з- уг 1 хз й уз ~ ( ~х хз + пу / 4 п 1 у о те а г Поскольку Бгп 1,', = +ос, то интеграл 1 раскодится. у Вычисяим интегралы 1у и 1з.

Пмеем Этот пример показывает, что существование лишь повторных интегралов не обеспечивает сходимости соответствующего двойного несобственного интеграла. М Вычислить следующие интегралы: 51. 1=/1 '*",у=/у,,)уй*:. и Подынтегральиая функция принимает положительные значения, поэтому достаточно вычислить интеграл 1' = // Р(х, у) Их йу, 1 в» 1пп л/2 + ~Г "Т2 — 1х ~- ~ л/2 1и + агсгх 211лу2 — 1 . — 1гГР2 — 1х+ -'. /д+1 ~ ~ /р+, (1 лГ2+1/ — =„/чЯ о.. /Уг+1 о 5З. 1»» е' *"~'" ~ ~~ в+Г ~1 Ну. тле а < О, Ьг «О иг и Прилгеиив известное преобразование координат по формулалг х = хв + х' сазо†у'яп а, у = ув+ х з!п а+ у'сова, где числа хо, ув, а удовлетворяют уравиеииялл Ьлб а — (с — а) лба — Ь = О, ахо + Ьуо + а = О, Ьхо+ суо+ е = О, квадратичную форлгу р = ах + 26ху+ суг + 2Их+ 2еу + Г приведем к каноиическоыу виду: 1»=Лх +Су +1, где Л = -(а сов а — 26яп осока+ сяп а) < О, г б' С = -(аяп а — 2Ьяп а созе + ссов а) < О, г г а Ь И 16= 6 с е .