Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 16

DJVU-файл Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 16 Математический анализ (2450): Книга - 1 семестрАнтидемидович 3 - интегралы (Антидемидович) - DJVU, страница 16 (2450) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "Антидемидович 3 - интегралы" внутри архива находится в папке "Антидемидович". DJVU-файл из архива "Антидемидович", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница

6=~ Ь «О И е Между коэффициентами а, Ь. с и Л, С существует следующая связь АС=ас — Ьг=б, А+С=а+с. После указанной выше замены перелгениых интеграл 1 принимает вид П - //' ,г г ГГ,г Л е ли+се'+Г'» г) г 1' л ' Есв' х у=с Ое х у. иг ва В качестве допустилгой последовательности мноясеств (Е„) выберем г г, Р г 11 Ее='<(х,у)"-,гс:-и<Ах +Су < — — /, пбу).

и» Заменяя в интегралах 1„= Д ел» т " 4х'Ыу' переменные по формулам л Р у Блв ьг л/:7; х = — совр, Р ./-А получим, принимая во внимание, что -1 — 'д2 = п(е, е)»»лс ' г. »Г» г х.= ' 1 г /„-"а= о йгп 1 »-» ~б 1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Представляя подынтегральиую функцию в виде суммы простых дробей н интегрируя зтп дроби, имеем 11О Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Поскольку Г(х, у, 2) > О на всем пространстве 2с~, то в качестве допустимой последователь-, ности мнозкеств (Еи) можно взять любую фиксированную посяедовательносгь, например, Еи и» ((х, У, «) б П~ 11 + -' < (х)Р+ )У(ч+ )«)" < и). Тогда 1, = Иш 1„, гДе и ч 1.=Д/чз,»зч.ч,г*=~фчз..еч.ч ч*.

Е'„— вся часть множества Е», лежащая в первом октанте. После замены переменных в интегралах 1» по формулам 1 2 2 х = рР з!ив д сов в р, принимая во внимание, что 2 2 2 2 2 22(х, у, «) 4 -+-+ — ! . -+ — -! 1 --1 ж — рв ч ч вгпР ч двшч гзсовв рсов д, 22(р, д. р) Рд получим 2 2 и 2 2 / 2 . 2 / 1 1 1 32 /. -+ — ! 1 / --1 + 4 2 1» = — ! вшР ч д сов дчгд ( ив 2 рсозв !Рвр / РР ч " вр = Рч/г о о 1 и 1 1 1 ! Вполне очевидно, что конечный предел последовательности (1») существует лишь при выполнении условия - + - + -, ( 1.

Тогда н иссяедуемый интеграл сходится прн выполнении 1 1 1 Р 9 этого условия. 56. Доказать форыулу Дприхле // / „, „..., Г(Р!)Г(Р2) "Г(Р ) Г(Р, +Р, +" +Р +1 ' Е где Е = Х б И ! ~ Х! ( 1, Х; ~ О, ! ы 1, Чо, Р, > О, 1 = 1! ЧП. ч 1 М При п1 = 2 имеем 1-ч! .!ВВ,»2>в «! 4»чв! ч» — хв' (1 — хг)Р2 Нхг = — В(Р!1 1+Рз) ы 1 Р1-1 Рв 1 Г(Р1)г(Р2) 122 Р2 Г(Р\ + Р2 + 1) в следовательно, прп пч ы 2 формула Дирнхле справедлива.

Допустим, что она справедлива для (пч — 1) -кратно!о интеграла. При таком предполо'кении получим 1 $2. Несобствеиаые кратиые иптегралы где т-2 Е = хбй: ~~~ х;<1 — х,х;>О,лтг,~п — 1 ' 1 Отображение, определяемое системой Х1 — (1 Хт)С1, Х2 (1 Хт)С2 ..., Хт ! (1 — Хт)гт 2 ° является С -диффеоморфизмом множества т-1 Ел = ~ б И ':,~ 4, ( 1, 6 ~ )О, 2 т 1, Рл — 1 1«1 на л2ножество Е'. Принимая во внимание равенства 2(Х2 Х2 Х ~ 2) ( )л 2 1с(6,С2:" С -1) «~ — 1 Р«-1 Р -Ь-2 Р1-1СР«-2 СР -1 ~/ 1«~+Р«+" +Р -1- 22 в силу предположения индукции, получим х",' 1х"' 2...

ХР,' 1 4х Ихз ... ~1х — (1 Х )Р1«Р2+ +Р -1 ~Р2 ТР« ~ ~Р Ц~ Ел Г(„)ГР,)" Г(Р,) Г(Р, +Р,+" +Р,„, +1) Тогда иитеграл 1 примет вид 1 Г(Рг)Г(Р2) ''' Г(Р~-2) [ Р -2(1 )Р,ЕР«Е- ЧР Г(Р, + Р, + . " + Р, + Ц [ '- о Г(Р2)Г(Р2) ' ' ' Г(Рт-2) й( ) Г(Р2 + Рз + ' ' ' + Р -2 + 1) Г(уч) ' ' ' Г(рт-2)Г(Р~)Г(Р2 + ' ' ' + Р~-2 + 1) Г(Р2)Г(Р2) ' ' Г()3 ) Г(Р2 + +Р ~-2 4 цГ(рь + ''' +Рт+1) Г(Р2+Р2+ ''' +рт+1) Ыетодом математической индукции формула Дирихле доказана.

В Упражнения для самостолтельиой работы Последовать иа сходцмость несобственные интегралы: 34 у = О к-'-'.Рт~-"-у, е = ((х, у) б к~: хз+ уз < 1), 0 < т < [«2(х, у)[ < м, (х, у) б е. Об у т,о Жйул"д. Е = ((х у) б И': О < х'+ у' < 1] О < т Ч [Ю(х у)! Ч М. (х, у) б Е ««!=ШГкллг«2"-;-";«ЧГ. «-л.р, ° ) а':«.о, ол'«*«.Ь 0 < пз ч [Г(х, и, 4~ < М. (х, р, г) б Е, ьл, гз -- непрерывные иа сегменте [О, д] функции, Зт. 1т Щ Гл — '.„Лф.

Е =]О, Ци]0, Цх]0, Ц. Вычислить несобственные интегралы: 38. 1 т О ~~~к, Е т ((х, у) б 14к; х ) 1, гу > 1), р > О, д > О. к 112 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 39. 1= Ц вЂ” з — "$11, Е=((х, у) б!й~)аз+уз >1). 40.1=ЦЕ 1*+"!)Ь)(у, Е=((л,у)6Й)!ОЪЕ~(у). 41. 1 = Ц е 1* +" 1соз(х + у ))зх)(у. а 42. Цехр( — ( — )+Еьт)))(тау, Е=((е у)бм ! 1+Ь, >1),а>0,6>0.

43. Д ту ехр ) — (~, + 21 — Уз + ""ьз ) ) )Ь )Гу, 0 < Ц < 1. аз 44. Ц!и-з Ыхду, Его((х, у) ба'10(х +у (1). ъ'"'+ аз !!1~, )=11,„, )зз': ')г.)*'х !. Е 46. Шг !' +" +' !1Ь ду)Ь. аз з з 47. Ще ! '' ' 111(х) Ыхзг!Ез где Р(х), хз, хз) = ~ 'С а„х;х), а,) = а), — положив! =1)=1 тельно-определенная квадратичная форма.

40. Доказать обобщенную формулу Дирнхле г .гз. -г( — ') Е г ть+ -+ — "+1 1 )а / гдеЕзз хб!Н~!е)>0,1=1,)а. ~ ( — ') <1 .а;>О,о,>О,р,>0. 1 49. Доказать формулу Лиувилля )) т ( ьь ~ ) х; хвз! ... Ее ' Ых) ... )Ь = " ) ьь(и)аз)ь 'ьг ' Ни. г!»1+ , еа ) Е =1 з Е= лба )х))0, 1=1,)п, ~ х,(1,р,>0, 1=1;)п, =1 в предполо:кении абсолютной сходимосги интеграла в правой части равенства. ~ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 3.1. Вы и!слепне меры множества.

лзмерпмого по Уиордапу. Если Е -- жорданово ьгножество (см.определение 4, п.1.4), то его жорданоеой мераб ИЕ (нли пз-мерны)1 объемом) называется интеграл пЕ = На. Р= Од*4„. Е (2) При га = 2 жорданоаа мера множества называехся его площадью и обозначается через Р. В этом случае алов к ещеикю звдач геометрии н физики 8 3. Приложение кратным интегралов к рещ Из формул ($) получаем — 1 1 +1 (8) 1в=1 э+ хг+ еР= мелом полю щявощемэ» тела Т в точке 1/ьющояоеэ/я яещеяммаюеи, илк яощеяммеюои полю (х у„х) называется интеграл Ф 4ЕЙ4С .(,к,*)=Щ (а,с) —, т (10) г е (с,, С) — обьеммая плотность тела, т = Материальнал точка массы пз притя гивавт Г Г, Г иа оси к силой Г, проекции которой Г., Г„, г иа Ох, Оу и Ох выражаются формулами Г = т — = тпг Ш ю(с, э, ь) —, дх т 9 у,С г Гз —— тго — = тов Ю(С О, <) в еС хп т С-,б,„ Г*=т — =т ю(Е э 0 — „, дпдз дг Рнс.

з Рв ((Ю~ Ф) Е И: а < Р< (а~/2~о~2У, 0 <~ У ~ <-) . Согласно формуле (2), п.3.1, имеем в Мтгаг Ле в Й 33т3 х 3 Р =4 ЫР рЫр и 2а (2сов2у — 1)вСсг = 2з (аз2р — р)~ = — е . Ь '=+ в в в о8. (» — у)г + хг = аг, е > О. е аб,в„ Р аосаой фиг рм воспользуемся рещением примера полагая там 1(х, у) = 1. При этом получим а г+~/аг-гг а а Р= ах -! Ювг-г //Р:"Рнс,=4/ /г:*'а. в Ч г-~/аг-г Полагая в кмтеграле с и щчзщ —,, кмеем Р саз/ соэзтдС= 2аз/ (1+озэ2С)дС= 2ез СЬС+ — ~) =за, В в в т где т — гравитационная постоянная.

з аны уравнениями: Найти площадк плоских фигур Ю, края которых заданы ур ВT. (х +у ) = а (х ° — — 2а хз — у~), хз+утжа (х +у ))а ). пения края компакта Ю в виде и Перейдя к полариым коорди натам р и о,получки уравнения края ао осяой фигуры, ограниченном 3 3 'Г еб втсз вычислить площадь плоско" р = 2а сов 2р к р и а . 'Гребу са а, лежащей вие круга радкучастью лемнискаты Верку лзм м частью окрулсностм радиуса а, леж (, -") ется одной нз четырех точек са а (рис. 8).

Легко убедиться в тоы что точка (а, -) являет я е симметрию фигуры, плопересечеиия лемиискаты с окру о жностью. Принимал во внимание площадь равна учетверенной щадь которой требуется найти, приходи ду, м к вызо, что искомая площади фигуры х ! л. 2. Кратные и крпиолниейиьае интегралы 1!б 59. (хз + уз)з = 8взху, (х — а)з + (у — а)з = аз (в > О, (х — а) + (у — а) «( е ).

Н Требуется вычислить площадь общей части круга 1) = ((х, у) Е 1с~ ! (х — а~~ + (у — а) < а ) и компакта К = ((х, у) б йз ! (ха+ у ) < 8азху). Пересечение зтнк множеств В г) К аежит в первом квадранте плоскости хОу (рис. 9). Переходя к полярным координатам, получим представленке мколсесгва 1) г) К в виде 0 г) К = ((р, )р) Е)й ! в ((вт р+сов)р) — )/в!вг!э) < — з 2 8 4 2 < р < 2а „/ап 2)р — агсап — < )» < — + — агсзгп— 8) Принимая во внимание симметрию точек множества З т К относительно луча )р = †, получим 3»!/э» зт / рбр = аЯгзт 2!»+ 2(вт )э + сов и))/зэв 2)» — 1) Ыкэ = [(эы»+с э»)-э!а!в зе),,М Ркс.

9 =Дб,б„ж / „ поп с = а (соз ~агса1в -г! — — + — агсип -~ + 2а (ат и+ сов)с)э,/ага 2)»~БР. вэ' 4 2 вэ' ! . 1 — мсэт— 2 э Принимая во внимание равенства и произведя в интеграле замену переменной !р+ — = г, получим ! э~- соа 21 сйп Г !й З,/7 Р = а — — — агссоз — + 2)г2 8 2 8 —,!- и»вЂ” Вычпслим э' - мсс ° 2 ( э/ !=!се /,--.--Ыэ.~э - )с,/ь-!с! ! »Э»! т!. — +э» ! После замены переменной )/2 сов! = юв х имеем ° сэ!» эч зЖ 1 = 2 соз х !4х = асса)в — + —. 2 2Я 8 » Таким образом, з /т/7 . чГ7 1 1~ Р = в — + агснв — — — агссоз -) .

~ г гМ' г 8,7' 11 / 1 )/ВЗ З /7 соа(агЫт -~ = ) ) 1 — — = — = —, — — + - агсвт - ж — - )1 — — агсаэп -г! = -- агссоз- В/ ')/ 84ж В = В ' 4 г В В/ 2 8 Гл. 2. Кратные и ьсриволинейиые интегралы 118 з — ( — зщ з Исозь ьь+ — зщз осоз з Зь+ — мпесозЬз 2/(,Ьь Ьь Ьз Ьз о 62.

~- + -) ьз — — — х > О, у > О, а > О, Ь > О. /х у1ь х у '1а 6) йз йз ' М В интеграле Р и ЫхИу и произведем заыену переменныл по форььулам 2 2 х = ерсоз уч у = 6Рзш ьь Тогда уравнение кривой, являющейся частью края аоььпакта В, приыет внд а сов ьь Ь ип~ ьь где — > О. Ь Нз условий х > О, у > О, ~гбзь~ < ь,ь — „имеем 0 » <ьь»< агсгб ьь —,. После замены перемеинык ьь аь перейдем от двойного ььнтеграла к повторному. Прн этом получиы а зыбь у' ьь а ььььа Ь ь|ь н % л ьь Р = 2а6 ип ьзсов рЫе Р~ЬР = ь ь lьз аиы ь,ь— '1ь' ьл с 3 1г 2 з О ь'з ь .

Ь .ь 1 аЬь'а ь Ь ь = оЬ / — соз ьь зщ ьь — — з1а ььсозьь Ньь = — — соз ьь+ — мн ьь 62 Ьз ( 0~6з ь -ь~/.ь — — 1 — соз ьхстб — „— — мп агсгб Р= Ыхйу и переменные по формулам хз = ау, хз = еуз, получим а(а(6, с(»э<И, х а з .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее