Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 16

6=~ Ь «О И е Между коэффициентами а, Ь. с и Л, С существует следующая связь АС=ас — Ьг=б, А+С=а+с. После указанной выше замены перелгениых интеграл 1 принимает вид П - //' ,г г ГГ,г Л е ли+се'+Г'» г) г 1' л ' Есв' х у=с Ое х у. иг ва В качестве допустилгой последовательности мноясеств (Е„) выберем г г, Р г 11 Ее='<(х,у)"-,гс:-и<Ах +Су < — — /, пбу).

и» Заменяя в интегралах 1„= Д ел» т " 4х'Ыу' переменные по формулам л Р у Блв ьг л/:7; х = — совр, Р ./-А получим, принимая во внимание, что -1 — 'д2 = п(е, е)»»лс ' г. »Г» г х.= ' 1 г /„-"а= о йгп 1 »-» ~б 1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Представляя подынтегральиую функцию в виде суммы простых дробей н интегрируя зтп дроби, имеем 11О Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Поскольку Г(х, у, 2) > О на всем пространстве 2с~, то в качестве допустимой последователь-, ности мнозкеств (Еи) можно взять любую фиксированную посяедовательносгь, например, Еи и» ((х, У, «) б П~ 11 + -' < (х)Р+ )У(ч+ )«)" < и). Тогда 1, = Иш 1„, гДе и ч 1.=Д/чз,»зч.ч,г*=~фчз..еч.ч ч*.

Е'„— вся часть множества Е», лежащая в первом октанте. После замены переменных в интегралах 1» по формулам 1 2 2 х = рР з!ив д сов в р, принимая во внимание, что 2 2 2 2 2 22(х, у, «) 4 -+-+ — ! . -+ — -! 1 --1 ж — рв ч ч вгпР ч двшч гзсовв рсов д, 22(р, д. р) Рд получим 2 2 и 2 2 / 2 . 2 / 1 1 1 32 /. -+ — ! 1 / --1 + 4 2 1» = — ! вшР ч д сов дчгд ( ив 2 рсозв !Рвр / РР ч " вр = Рч/г о о 1 и 1 1 1 ! Вполне очевидно, что конечный предел последовательности (1») существует лишь при выполнении условия - + - + -, ( 1.

Тогда н иссяедуемый интеграл сходится прн выполнении 1 1 1 Р 9 этого условия. 56. Доказать форыулу Дприхле // / „, „..., Г(Р!)Г(Р2) "Г(Р ) Г(Р, +Р, +" +Р +1 ' Е где Е = Х б И ! ~ Х! ( 1, Х; ~ О, ! ы 1, Чо, Р, > О, 1 = 1! ЧП. ч 1 М При п1 = 2 имеем 1-ч! .!ВВ,»2>в «! 4»чв! ч» — хв' (1 — хг)Р2 Нхг = — В(Р!1 1+Рз) ы 1 Р1-1 Рв 1 Г(Р1)г(Р2) 122 Р2 Г(Р\ + Р2 + 1) в следовательно, прп пч ы 2 формула Дирнхле справедлива.

Допустим, что она справедлива для (пч — 1) -кратно!о интеграла. При таком предполо'кении получим 1 $2. Несобствеиаые кратиые иптегралы где т-2 Е = хбй: ~~~ х;<1 — х,х;>О,лтг,~п — 1 ' 1 Отображение, определяемое системой Х1 — (1 Хт)С1, Х2 (1 Хт)С2 ..., Хт ! (1 — Хт)гт 2 ° является С -диффеоморфизмом множества т-1 Ел = ~ б И ':,~ 4, ( 1, 6 ~ )О, 2 т 1, Рл — 1 1«1 на л2ножество Е'. Принимая во внимание равенства 2(Х2 Х2 Х ~ 2) ( )л 2 1с(6,С2:" С -1) «~ — 1 Р«-1 Р -Ь-2 Р1-1СР«-2 СР -1 ~/ 1«~+Р«+" +Р -1- 22 в силу предположения индукции, получим х",' 1х"' 2...

ХР,' 1 4х Ихз ... ~1х — (1 Х )Р1«Р2+ +Р -1 ~Р2 ТР« ~ ~Р Ц~ Ел Г(„)ГР,)" Г(Р,) Г(Р, +Р,+" +Р,„, +1) Тогда иитеграл 1 примет вид 1 Г(Рг)Г(Р2) ''' Г(Р~-2) [ Р -2(1 )Р,ЕР«Е- ЧР Г(Р, + Р, + . " + Р, + Ц [ '- о Г(Р2)Г(Р2) ' ' ' Г(Рт-2) й( ) Г(Р2 + Рз + ' ' ' + Р -2 + 1) Г(уч) ' ' ' Г(рт-2)Г(Р~)Г(Р2 + ' ' ' + Р~-2 + 1) Г(Р2)Г(Р2) ' ' Г()3 ) Г(Р2 + +Р ~-2 4 цГ(рь + ''' +Рт+1) Г(Р2+Р2+ ''' +рт+1) Ыетодом математической индукции формула Дирихле доказана.

В Упражнения для самостолтельиой работы Последовать иа сходцмость несобственные интегралы: 34 у = О к-'-'.Рт~-"-у, е = ((х, у) б к~: хз+ уз < 1), 0 < т < [«2(х, у)[ < м, (х, у) б е. Об у т,о Жйул"д. Е = ((х у) б И': О < х'+ у' < 1] О < т Ч [Ю(х у)! Ч М. (х, у) б Е ««!=ШГкллг«2"-;-";«ЧГ. «-л.р, ° ) а':«.о, ол'«*«.Ь 0 < пз ч [Г(х, и, 4~ < М. (х, р, г) б Е, ьл, гз -- непрерывные иа сегменте [О, д] функции, Зт. 1т Щ Гл — '.„Лф.

Е =]О, Ци]0, Цх]0, Ц. Вычислить несобственные интегралы: 38. 1 т О ~~~к, Е т ((х, у) б 14к; х ) 1, гу > 1), р > О, д > О. к 112 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 39. 1= Ц вЂ” з — "$11, Е=((х, у) б!й~)аз+уз >1). 40.1=ЦЕ 1*+"!)Ь)(у, Е=((л,у)6Й)!ОЪЕ~(у). 41. 1 = Ц е 1* +" 1соз(х + у ))зх)(у. а 42. Цехр( — ( — )+Еьт)))(тау, Е=((е у)бм ! 1+Ь, >1),а>0,6>0.

43. Д ту ехр ) — (~, + 21 — Уз + ""ьз ) ) )Ь )Гу, 0 < Ц < 1. аз 44. Ц!и-з Ыхду, Его((х, у) ба'10(х +у (1). ъ'"'+ аз !!1~, )=11,„, )зз': ')г.)*'х !. Е 46. Шг !' +" +' !1Ь ду)Ь. аз з з 47. Ще ! '' ' 111(х) Ыхзг!Ез где Р(х), хз, хз) = ~ 'С а„х;х), а,) = а), — положив! =1)=1 тельно-определенная квадратичная форма.

40. Доказать обобщенную формулу Дирнхле г .гз. -г( — ') Е г ть+ -+ — "+1 1 )а / гдеЕзз хб!Н~!е)>0,1=1,)а. ~ ( — ') <1 .а;>О,о,>О,р,>0. 1 49. Доказать формулу Лиувилля )) т ( ьь ~ ) х; хвз! ... Ее ' Ых) ... )Ь = " ) ьь(и)аз)ь 'ьг ' Ни. г!»1+ , еа ) Е =1 з Е= лба )х))0, 1=1,)п, ~ х,(1,р,>0, 1=1;)п, =1 в предполо:кении абсолютной сходимосги интеграла в правой части равенства. ~ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 3.1. Вы и!слепне меры множества.

лзмерпмого по Уиордапу. Если Е -- жорданово ьгножество (см.определение 4, п.1.4), то его жорданоеой мераб ИЕ (нли пз-мерны)1 объемом) называется интеграл пЕ = На. Р= Од*4„. Е (2) При га = 2 жорданоаа мера множества называехся его площадью и обозначается через Р. В этом случае алов к ещеикю звдач геометрии н физики 8 3. Приложение кратным интегралов к рещ Из формул ($) получаем — 1 1 +1 (8) 1в=1 э+ хг+ еР= мелом полю щявощемэ» тела Т в точке 1/ьющояоеэ/я яещеяммаюеи, илк яощеяммеюои полю (х у„х) называется интеграл Ф 4ЕЙ4С .(,к,*)=Щ (а,с) —, т (10) г е (с,, С) — обьеммая плотность тела, т = Материальнал точка массы пз притя гивавт Г Г, Г иа оси к силой Г, проекции которой Г., Г„, г иа Ох, Оу и Ох выражаются формулами Г = т — = тпг Ш ю(с, э, ь) —, дх т 9 у,С г Гз —— тго — = тов Ю(С О, <) в еС хп т С-,б,„ Г*=т — =т ю(Е э 0 — „, дпдз дг Рнс.

з Рв ((Ю~ Ф) Е И: а < Р< (а~/2~о~2У, 0 <~ У ~ <-) . Согласно формуле (2), п.3.1, имеем в Мтгаг Ле в Й 33т3 х 3 Р =4 ЫР рЫр и 2а (2сов2у — 1)вСсг = 2з (аз2р — р)~ = — е . Ь '=+ в в в о8. (» — у)г + хг = аг, е > О. е аб,в„ Р аосаой фиг рм воспользуемся рещением примера полагая там 1(х, у) = 1. При этом получим а г+~/аг-гг а а Р= ах -! Ювг-г //Р:"Рнс,=4/ /г:*'а. в Ч г-~/аг-г Полагая в кмтеграле с и щчзщ —,, кмеем Р саз/ соэзтдС= 2аз/ (1+озэ2С)дС= 2ез СЬС+ — ~) =за, В в в т где т — гравитационная постоянная.

з аны уравнениями: Найти площадк плоских фигур Ю, края которых заданы ур ВT. (х +у ) = а (х ° — — 2а хз — у~), хз+утжа (х +у ))а ). пения края компакта Ю в виде и Перейдя к полариым коорди натам р и о,получки уравнения края ао осяой фигуры, ограниченном 3 3 'Г еб втсз вычислить площадь плоско" р = 2а сов 2р к р и а . 'Гребу са а, лежащей вие круга радкучастью лемнискаты Верку лзм м частью окрулсностм радиуса а, леж (, -") ется одной нз четырех точек са а (рис. 8).

Легко убедиться в тоы что точка (а, -) являет я е симметрию фигуры, плопересечеиия лемиискаты с окру о жностью. Принимал во внимание площадь равна учетверенной щадь которой требуется найти, приходи ду, м к вызо, что искомая площади фигуры х ! л. 2. Кратные и крпиолниейиьае интегралы 1!б 59. (хз + уз)з = 8взху, (х — а)з + (у — а)з = аз (в > О, (х — а) + (у — а) «( е ).

Н Требуется вычислить площадь общей части круга 1) = ((х, у) Е 1с~ ! (х — а~~ + (у — а) < а ) и компакта К = ((х, у) б йз ! (ха+ у ) < 8азху). Пересечение зтнк множеств В г) К аежит в первом квадранте плоскости хОу (рис. 9). Переходя к полярным координатам, получим представленке мколсесгва 1) г) К в виде 0 г) К = ((р, )р) Е)й ! в ((вт р+сов)р) — )/в!вг!э) < — з 2 8 4 2 < р < 2а „/ап 2)р — агсап — < )» < — + — агсзгп— 8) Принимая во внимание симметрию точек множества З т К относительно луча )р = †, получим 3»!/э» зт / рбр = аЯгзт 2!»+ 2(вт )э + сов и))/зэв 2)» — 1) Ыкэ = [(эы»+с э»)-э!а!в зе),,М Ркс.

9 =Дб,б„ж / „ поп с = а (соз ~агса1в -г! — — + — агсип -~ + 2а (ат и+ сов)с)э,/ага 2)»~БР. вэ' 4 2 вэ' ! . 1 — мсэт— 2 э Принимая во внимание равенства и произведя в интеграле замену переменной !р+ — = г, получим ! э~- соа 21 сйп Г !й З,/7 Р = а — — — агссоз — + 2)г2 8 2 8 —,!- и»вЂ” Вычпслим э' - мсс ° 2 ( э/ !=!се /,--.--Ыэ.~э - )с,/ь-!с! ! »Э»! т!. — +э» ! После замены переменной )/2 сов! = юв х имеем ° сэ!» эч зЖ 1 = 2 соз х !4х = асса)в — + —. 2 2Я 8 » Таким образом, з /т/7 . чГ7 1 1~ Р = в — + агснв — — — агссоз -) .

~ г гМ' г 8,7' 11 / 1 )/ВЗ З /7 соа(агЫт -~ = ) ) 1 — — = — = —, — — + - агсвт - ж — - )1 — — агсаэп -г! = -- агссоз- В/ ')/ 84ж В = В ' 4 г В В/ 2 8 Гл. 2. Кратные и ьсриволинейиые интегралы 118 з — ( — зщ з Исозь ьь+ — зщз осоз з Зь+ — мпесозЬз 2/(,Ьь Ьь Ьз Ьз о 62.

~- + -) ьз — — — х > О, у > О, а > О, Ь > О. /х у1ь х у '1а 6) йз йз ' М В интеграле Р и ЫхИу и произведем заыену переменныл по форььулам 2 2 х = ерсоз уч у = 6Рзш ьь Тогда уравнение кривой, являющейся частью края аоььпакта В, приыет внд а сов ьь Ь ип~ ьь где — > О. Ь Нз условий х > О, у > О, ~гбзь~ < ь,ь — „имеем 0 » <ьь»< агсгб ьь —,. После замены перемеинык ьь аь перейдем от двойного ььнтеграла к повторному. Прн этом получиы а зыбь у' ьь а ььььа Ь ь|ь н % л ьь Р = 2а6 ип ьзсов рЫе Р~ЬР = ь ь lьз аиы ь,ь— '1ь' ьл с 3 1г 2 з О ь'з ь .

Ь .ь 1 аЬь'а ь Ь ь = оЬ / — соз ьь зщ ьь — — з1а ььсозьь Ньь = — — соз ьь+ — мн ьь 62 Ьз ( 0~6з ь -ь~/.ь — — 1 — соз ьхстб — „— — мп агсгб Р= Ыхйу и переменные по формулам хз = ау, хз = еуз, получим а(а(6, с(»э<И, х а з .