Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 12

Пусть зпр [У(х, у)[ = ОХ, Тогда справедлива оценка Ое »1ео [Яп(Х)[ < Мо, из которой следует, что 1» = йгл Яп(1) = О. Поэтому 1 > О. щп1-о При решении примера воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции 1 не зависит от способа выбора точек (с„вл) при сеточном разбиении квадрата 12. »» 4. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл / 100 + созз х + созз у '= Б' ~ И~о~<»о 3 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным ту Так как 1(х, у) — квадрат расстояния точки (х, у) от начала координат, то / = ~~ Их у) йх йу = ~~ Ях у) 6х Фу+ 0 /(х у) 1/х 1/у = и О1 О2 о 2 1 = ~ (х / Л, у) у + /( /* ~ 1(*, у) й у. -г о г 2 Если внешнее шшегрированне производгшь по переменной у, то, применив формулу (5), п.1.7, получим 1 22 / = / 6у / Х(х, у) (х.

О -22 б) Из представлений компакта Р: 2, 1 1 1 1 2 Р= (х,у)бй 1 — — (х< —, — — — — хз(у( — + — — хз =((х,у)бй 10(у(1, — ~//у — уз(х<'1/у — уз( следует, что при замене двойного интеграла повторными можно применить формулы (3) и (5), п.1.7. При этом получим „г 1 /1 /(. /1 2 1/4 1 2 /= /' З/2-2 у) ну = / йу / /(х, у) 1/х. о г„- — „-; в) После несложного исследования убеждаемся в том, что компакт Р является выпуклым в направлении осей Ох и Оу множеством, имеющим следующие представления: Р = ) (х у) б Я: — а ( х ( о, х — т2/ез — х' ( у ( х+ ~/оз — х') = 1 у /Я2 у2 у+ /2оз уз ) — (х,у)бй 1 †/2~(у(аз/2, <х< 2 Гл.

2. Кратные и криволинейные интегралы М Площадь области интегрирования равна 200. Согласно формуле (6), п.1.5, имеем ,, й,.).Р, Р=((*,у).И': 1*!+Ь~<10) Принимая во внимание неравенства 100 < 100+ совз 5+ созз В < 102, получаем оценку 1,96 < 1<2. М 5. Заменить двойной интеграл / = /Ч Г"(х, у) йх Ну соответствующими ему повторными и интегралами, если: а) Р— замкнутый треугольник с вершинами О(0, 0), А(2, 1), В( — 2, 1); б) Р = ((х, у) б К~ 1 хз + у (~ у); в) Р -- компакт с краем ВР, заданным уравнением (х — у) +х =а, а>0. а) Если внешнее интегрирование в повторном интеграле производить по переменной х, то следует представить область интегрирования в виде Р = Р1 Г/ Рз, где Р1 ((х,у)бр~1-2(х (О, — -*(у(1), Р2 = ((х,у) ба~10(х(2, — (у(1). В этом случае воспользуемся свойством аддитивности двойного интеграла и формулой (3), п.1.7: олкпейкьве кктегРальг 80 Гл.

2. Краткые к кркволкпейкьге ег овакия в поаториых инте- Измеиить порядок кктегркров тралах: 2 2/2 - * / ((*, «( с ! 2» от 0 до 1 кеременнал * пробе обегаетв <а При изменении у от до /1 у2 ег и оваиия значения от — у 2 — до 1+ области иптегриров й интеграл в силу чего получаем лозториый инте (+2/(-У» /(х, у)1х. в а 2-2 Рис. 1 2а «Юа» 8. (1х у(х«у)(1у, а > О. /2» 2 М Разобьем эамкпутую ю область =(, ( а, / — < ~/ — 2« 2ах /2= (х,у)ЕИ ( . х, а, — 2(0<х(2а, «/2ах-х <у ° 2/ ( с ядка интегрирования ( с. 1).

При изменении порядка = а ка три области ркс. еэком прямой у = а ка ных иитегралоз получим сумму иовторны 2» 2а /(х, у)(1х + ( /(х, у)(1х у а а у* 2а 2» йх / /(*,у)йу. ./ / изменять эиак па протио а Римана и его свойства изменя кости иитеграла М Иэ свойства алдитив грирования получаем енсипи иапрввлеиия иптег вопоэожиый при изменепи » с(а» а 2» а а а а а — ах /(х, у) бу- Ь /(х, у) йу. л а го авеисгза, камским порядок а» ю часть получеикого равеистз, ов, входюцих в прав ю В каждом из кктегр ало, ся от агсасву до э" — агсмву; ся от агсасву до ' а прк интегрирования.

кэмеи ' о 22 + агобв у, в силу чего Прк каменским у от 0 до и ся от агсэсву д изменении у от — до -1 0 перемеккая х измеи яитегралов получим раэкость с-ысав у Э 2»+асса» у Ь ~ 1(хэр)йх- / Ф ~ У,х У -! в-асс»М у О ыссв у $1. Интеграл римана иа компакте. Приведение иратиык иитеграиов к повторным 83 Г Г 1 22 = (агс«82»'2 — -~ / р1(р)бр+ 1 р ~згссбг/2 — згссоз-~ 1(р)4р. ° 1 ~,1 14. 1 = Д 1(х, у) Ых»(у, где край дР хомпахта Р задан неявно уравнением (хг+ уг) »=/» ~ »» .»'"» .. а а Из представления компакта Р г 1 г) Р = (р, р) б Н: О < р < а, -- агссоз — < р < — ыссоз— 2 а 2 аз 1 следует, что интеграл 1 можно записать также з анде У аг -«асса» 2 а 1 = / Р»гр / 1(Р созга, Рз»а р) ау» а 2 2 — »с а» 2 а 1«к, Считая, что р и»Р — поларные координаты, изменить порядок интегрирования з интеграле г аф»а 2$ бр 1(р, р)»?р, а > О.

г о Рис. 4 ч На рнс. 4 показано, что облаем, в которой задана подыитегральная функция 1, определяется неравенствами 1, рг з' 1 . Рг О < р< а, -агсив — <»Р < — — — агсив —. 2 аг 2 2 аз После изменения порядка интегрирование получим интеграл а . Рг — -«са» 2 а бр У(ю, )»Ь»р р З 2 г - «се»вЂ” 2 аг 16. ЬСвадрат Р = Цхй у) б йг: а < х < а+ Ь, Ь < у < Ь+ Л), а > О, Ь > О, посредством системы Фуикмий з = у х 2, з 1ху преобразуется в область Р'. Найти отношение плошади области Р 22 паогнздм области Р.

Чему ревем предел етого отношеммя пргг Ь О? и аг(хг — уг), х > О. ~ Полагая х = р сокр, у = ранг», получаем уравнение края дР в виде р = а2/созйр, — — ~ р < —. Если после замены переменных и перехода к повторному мнтегралу внешнее интегрирование производится по З», то, очевидно, В4 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы я Пусть Рл, Рл соответственно площади областей Р' и Р.

Под площадями открытых областей понимаем лгеры Жордана множеств Р' и Р илн нх замыканий. Согласно формуле замены переменной и определения жордановой меры множества, имеем Рл = 0НиНе= ~~ ' НхНу, з з лгюзг з где ' = — -х туз, лбь з1 2 Заменяя двойной интеграл повторным, получаем (6'+ (6+ Ь)'+ 6(6+ Ь) + (26+ Ь),,/6(6+ Ь)) Ь' уз Ну (, /а + Ь + т/а) (у% + Ь + з/6) ~/а(а + Ь) 3 1 Рл=-~ х зНх 2/ Поскольку Рл = Ьз, Р, Ь Ьз+ (Ь+ 6)з+ Ь(Ь+ 6) +(26+ Ь),/6(Ь-+ Ь) Рл Ь (-,/а+ Ь+,/а) (ъ/Ь+ Ь+ т/6),/а(а + Ь) Переходя к пределу при Ь О, находим з 17. В интеграле 1 = 0 1(х, у) НхНу, где край ОР компакта Р задан уравнениями л чгх+ /у = „/а, х = О, у = О (а ) 0), произвести вазгену переменных по формулам х = и соз е, у = ияп е и перейти от двойного интеграла к повторному, считая функцию У непрерывной.

я При заданном отображении имеем В(х, у) ~ соз' о — 4исоз еяпе з з з =4ияп есоз е, 21(и, е) ~ яп е 4ияп е созе в силу чего получаем 1 = 4~~ /(исоа е, изщ' х)(и((яп' е сов е(НаНе, где Р' — компакт, внутренние точки которого отображаются на лгножество всех внутренних точек компакта Р.

Чтобы заменить полученный двойной интеграл повторным, найдем пределы изменения переменных и и е Прн заданном отображении край компакта, заданный уравнением,/х + ч у = т/а, переходит в отрезок прямой и = а. Если (О, у) — любая точка, лежащая на отрезке оси Оу,где 0(у(а,то е= — ". Если точка(х,О) лежитна оси Ох и 0(х(а,то и=О. з' Таким образом, справедливо равенство з 1=4/иНи= ~Досок е,ияп е)яп зсоз еНе.я з з . з з з о 18.

Показать, что замена переменных х+ у = Е, у = бу переводит треугольник Р = ((х, у) б Й; 0 ( х ( 1, 0 ( у ( 1 — х) в квадрат Р' = ((Е, 0) б Й: 0 ~ (Е (~ 1, 0 ( у < 1) . м началу координат в плоскости хОу соответствует множество точек тг = ((б, ч) б и Е = О. 0 < ч < 1).

Если у = 1 — х, то б = 1, ч = 1 — х, откуда следует, что множество 11. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 80 Зг = ((х, у) б Иг: 0 ч х (ч 1, у = 1 — х) отображается на множество уг ли ((С, О) б Иг; Р = 1, 0 ( О ( 1), причем при возрастании х от 0 до 1 переменная О убывает ат 1 до О. Совершенно аналогично убеждаемся в том, что множество тз = ((х. у) б И: х = О. 0 ( г, у < 1) отображается на множество тз = ((С, 0) б Иг: О ( 0 ( 1, 0 = 1), а множество зл = ((х, у) б И: О < х ( 1г у = О) — иа множество т( — — ((б, В) б И: О (» с < 1, ц = О).

Таким образом, край компакта Р отображается в край компактаР'. Осталось показать. что при заданном отображении любая внутренняя точка компакта Р переходит во внутреннюю точку компакта .Р'. Если 0 < х < 1, 0 < у < 1 — х. то 0 < С < 1, 0 < С(1 — О) < 1. откуда следует, чта 0 < 0 ( 1, т.е, что тачка (с, О) б Р' — внутренняя. в зг.9. Пусть функция (х, у) л- у(х, у) непрерывна на компакте Р. край которого дР задам уравнемиями ху = 1, ху = 2. у = х, у = 4х (х > О, у > 0).

Посредством залзены переменных свести двойной интеграл ! = // Дх, у) Нх Ну к аднакратнолгу. м Произведем в интеграле ! замему переменных по формулам ху = и, у = ех. Тогда 1 з 1 1 1 < и ( 2, 1 < е < 4. т.е. отображение. определяемое системой х = иг е у, у = иг ег, осуществляет С' — диффеоморфизм квадрата Р' = ((и, е) б Иг: 1 < и ( 2, 1 ( е ( 4) на криволинейный четырехугольник Р.

Согласно формуле замены переменных. имеем г з г ! = 0 у(и) Ни Не = — / Д(и) Ни / — = 1и 2 / у(и) Ни. Ю(х, у) 1 ! ! Нг' 'Р(из) 2( ! е о' 1 1 Заметилд чта якабпан взятого отабражемия легко вычислить по формуле Р(х,у) ('Ю(и,е)з) ( у х ) х 1 'Р(и, е) (,'Р(х, у) / (, — лг —,) 2у 2е Вычислить двойные интегралы 20.