Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (Рихтмайер - Принципы современной математической физики)

Р РИХТМАЙЕР ПРИНЦИПЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ сРИЗИКИ Группы и теория представлений Многообразия, Римановз геометрия Зарождение турбулентности Перевод с онгпсйсного В. Е. Кондра~ ова, В. Ф. Курякнна, В. Г. Подвального сод реданцией И. Д. Софронова «МИР« МОСКВА Г984 ББК 22.!62 Р56 УДК 5!1.42+510.4+518.0!5 Рихтмайер Р. Продолжение известной книги амернкансиого ученого с тем же названием )Ыл Мир. )999) содержит дальнейшее наложение математического аппарата сааре. мен5ой теоретнчесиой Физики (группы, представления групп, многообразия, риманояа геометрия) н опнсавве его применений в квантовой теории и теории относительности; последние главы посвяпгены зарождена|о турбулентности Для математиков-прикладников, физиков, аепирантоз н студентов !702050000-321 041(01)-84 ББК 22.162 5НЬ2 530.1 Редакция литературы ло математическим наукам )С) 1981 Ьу Брг)пает-'тгег)аа Ыеш Уогу 1пс.

Ан К)6ЫВ Кезегчеб Ао1Ьогмед 1гапз)анап )тот Епа!ЬЬ )апапаае РоЫ)ВЬед Ьу Врг)пает.Чег1аа Бег)!и — Не)ае!Ьега — Ыею Уота 45 Перевод на русский язык, «Мнр», 1984 РБ6 Принципы современной математической физики. 2: Пер. с англ.— М.г Мир, !984.— 381 с., ил от иддкторА переводд Перевод первого тома этой книги на русский язык был выпущен издательством «Мир» в 1982 г.

Во втором томе материал первого тома почти не используется, так что его можно рассматривать как независимое издание. В методологическом же отношении оба тома представляют собой единое целое: наиболее важным моментом автор считает разъяснение смысла вводимых им математических понятий и построений и их значения в физических теориях. Книга предназначена прежде всего для студентов физических факультетов, но удачное сочетание интуитивного подхода с научной строгостью делает ее полезной для гораздо более широкого круга читателей— прежде всего для специалистов по прикладной математике и для преподавателей вузов.

И. Д. СоФронов ПРЕДИСЛОВИЕ Первые одиннадцать глав этого тома (с 18-й по 28-ю) содержат материал, который излагается на последнем году трехгодичного курса по математической физике в Университете штата Колорадо. Основные вопросы — это теория групп, теория многообразий и диф. ференцнальная геометрия, Мне хочется поблагодарить профессоров Весли Вриттпна и Рассела Дубиша за всестороннее обсуждение этого материала и профессора Вольфа Вейглбека за советы и предложения, касающиеся общего плана книги и материала по представлениям > рупи. Материал последних трех глав, тесно примыкающий к современным работам по дифференцируемым динамическим системам, был предметом обсуждения в спецкурсах по гидродинамической устойчивости и на семинарах по математической физике.

Эти вопросы изложены менее тщательно по сравнению с остальными и включены по той причине. что рассматриваемые в них концепции могут в дальнейшем играть важную роль в физике. Роберт Д. Рихтмайер Боулдер Август !уд! г, Глава 48 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП Аксиомы группы; абелева группа; циклическая группа; подгруппа; порядок' изоморфизм; гомоморфнзм; автоморфизм; перестановка; симметрическая группа', цикл; транспозиция; четность; знакопеременвая группа; ядро гомоморфизма; нормальная подгруппа; простая группа; сопряженные элементы; смежные классы; теорема Лагранжа; факторгруппа; теорема о гомоморфизмак; трансляции; внутренние автоморфнзмы; теорема Кали; сопряженные подгруппы; простота гРУппы и(„ композиционныа РЯд; теоРема ЖоРдана — ГельдеРа; обРазующие; определяющие соотношения; свободная группа; свободная абелсва группа; проблема тождества; пространственные и точечные группы, прямое и полупрямое произведения; симморфные пространственные группы.

Предварительные сведения: элементарная алгебра, Эта глава содержит обзор элементарной теории групп. Для использования в следующих главах самое главное — это теорема о гомоморфизмах и связанные с ней понятия. 18Л. АКСИОМЫ ГРУППЫ. ПРИМЕРЫ Группой 6 называется любое множество элементов (а, Ь, о,..., х, у, г, ...), конечное или бесконечное, если иа нем определена операция, обозначаемая через о и такая, что: !) если а и Ь вЂ” два любых элемента из 6, то а о Ь является также элементом 6; 2) если а, Ь и с — три любых элемента из 6, то (а о Ь) о е = = и о (Ь о с) (закон ассоциативности); 3) если а и Ь вЂ” два любых элемента из 6, то в 6 существуют единственный элемент х и единственный элемент у, такие, что аох Ь и уоа=Ь.

Если элементами являются числа, матрицы, кватернионы и т. п., то результатом операции а о Ь может быть сумма или произведение а и Ь; з приведенных ниже примерах мы будем точно указывать смысл этой операции. В случае отображений, преобразований, вращений, перестановок и т. п. под групповой операциеч понимают обычный закон композиции: если а 'и Ь вЂ” преобразования, то а о Ь представляет собой преобразование, заключающееся в том, что сначала осуществляется Ь, а затем а.

Замечание. В некоторых книгах аксиома 3 заменяется эквивалентной аксиомой: 6 содержит единственный единичный элемент е Гл. лг. Элеллентарнал теарал еруан х'=х сов 4> — уз!п~р, у' = х з)п Чл+ у соз ер. (18.1.1) Если осуществляются последовательно преобразования и )г „ то результатом будет вращение на угол ер, +Чле, т. е. преобразование Ям,ч,. Легко проверить, что множество ()(ч: 0(~р< 2л) всех таких вращений удовлетворяет аксиомам группы. Чтобы описать любое вращение в трехмерном пространстве, можно сначала выбрать некоторое направление, проходящее через начало координат, а затем осуществить вращение на некоторый угол вокруг этого направления как неподвижной оси. Из теоремы Эйлера, которая будетдоказана в 9 !9 2, следует, что результатом двух таких преобразований, выполненных последовательно, будет снова такое же преобразование, т. е.

вращение вокруг некоторой оси на некото. ралй угол. !Это кажется очевидным (поскольку каждый знает, что это верно), пока не делаются попытки доказать это утверждение.! Вследствие этого множество всех вращений в трехмерном пространстве образует группу. Группа всех вращений в и-мерном пространстве обозначается через 50(п) по причинам, которые будут объяснены ниже. В качестве третьего примера возьмем множество всех вращений в трехмерном пространстве, при которых некоторый куб с центром в начале координат остается иивариантным (т, е.

отображается на куб, совпадающий с первоначальным). Такими вращениями будут. повороты на 90, 180 и 270'вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, поворот па 180 вокру~ осн, проходящей через середины противоположных ребер, повороты на 120 или 240'вокруг оси, проходящей через противоположные вери~ины. Легко проверить, что эти преобразования (включая тождественное) образуют группу из 24 элементов. В общем случае множество всех преобразований определенного вида (например, вращений, общих линейных преобразований, движений, конформных отображений), при которых данная фигура остается инвариантной, представляет собой группу, ибо ясно, что фигура инвариантна относительно произведения таких отображений и относительно обратных к ннм.

Движения, при которых инвариантна кристаллическая решетка, образуют пространственную группу кристалла; см. ь" !8.13. и для каждого элемента а из С существует единственный обратный элемент а ' (см. следующий параграф). В качестве первого примера группы С рассмотрим множество всех вращений в плоскости: пусть Я„обозначает преобразование, при котором точки х, у перемещаются в (можно сказать, отображаются на) точки х', у', где 18.1.

Аксиомы груплм. Примера Множество всех перестановок и объектов образует группу; такие группы рассматриваются в 5 18.4. Некоторые множества вещественных или комплексных чисел или кватернионов являются группами относительно сложения илп умножения, например множество всех пелых чисел (положительных, отрицательных и нуля) относительно сложения, множество всех положительных вещественных чисел относительно умножения, целые числа О, 1,..., т — 1 относительно сложения по модулю т, наконец, множество всех ненулевых (вещественных) кватернионов относительно умножения. Когда групповой операцией является сложение, а с Ь обозначают через а+Ь, элемент, обратный элементу а,— через — а, а единицу — через О.

Часто кружок опускается и композиция двух элементов а н Ь записывается просто как произведение аЬ. Конечную группу можно полностью описать при помощи ее таблицы умножения. Например, группа Клейна из четырех э.ьементов, Уьь определяется таблицей с с Ь с в которой имеется в виду, что а с Ь=с и т. д. Каждый элемент группы появляется один раз в любой строке и один раз в любом столбце; более того, все строки (и все столбцы) различны. Любое квадратное размещение букв, обладающее таким свойством, называется латинским квадратом (Эйлер).

Любой латинский квадрат определяет абстрактную группу при условии, что определенная таким образом мультипликативная структура имеет единицу и удовлетворяет закону ассоциативности. Теория абстрактных групп имеет дело с отношениями, показанными в таблице умножения, и совершенно игнорирует внутреннюю природу элементов а, Ь и т. д.