1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 74

Определить эксцентриситет е и угол з между полярной осью и фокусной линией конического сече- К чаааче бьаз ния *). сз 1ка, Ответ: е = 1+ —,Ь, 15(фо — з) =, где е = И 1 — гчlр = гьпз сов Во — интеграл площадей, Ь = ез — 2п/г — интеграл энергии. 51.21(50.21). Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траектории. Радиус планеты гс'. Указание. Воспользоваться ответом к предыдущей задаче. Ответ: При эо ( пз траектория — эллипс, ппи по —— оз — парабола, пРи по) пз — гипеРбола, где ез= ч/2 — =1/2 о~— Екз Гг+ гг' *) За положительное направление фокальной оси конического сечения при вимяется направление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечения, к ближайшей вершине. зэь параболическая скорость на высоте Н (о~ — круговая скорость)., 51.22.

Какую нужно сообщить начальную скорость па= аз материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы. Ответ: в,= аз= э'+ 'гз(1/2 — !) 16,7 км/с, где г' -" = 30 км/с — круговая скорость Земли, оэ — вторая космическая скорость.

51.23(50.22 и 50.23). В момент отделения космического аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке Ма на высоте Н = 230 км от поверхности Земли и имел начальную ско- рость ээ — — 8,0 км/с, причем вектор Грвнольноя скорости иэ составлял с линией го- Ф,г жь) '5 , ризонта (касательной, проведенной Р ~~ в точке Мэ к окружности радиуса гэ) угол йо = 0,02 рад. ую ~~~~~4 Определить постоянную площа,а й ~ дей с, параметр р траектории, по- стоянную энергии й, направление 6~Ф большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траектории; апогей (Н „) и перик задаче м.ы гей (Н„ы) и период Т обращения спутника. Ответ: с = '52790 кмэ/с, р = 7002 км, Ь = — 56,6 кмэ/сэ, е = = уэ — 0,335 рад, где ~ро†начальный полярный угол радиус-вектора г;, а=0,0649, Ниах = 1120 км, Нты=210 км, Т=98,5 мин.

51.24(50.24). При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса Й вне зависимости от величины начальной скорости? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки. 51.25(50.25). При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Н от поверхности планеты радиуса Р, не пересечет ее поверхностиу эян Р Ответ: 1) э',> п~ (ь+ г !' з,э — дд соз00) д ! Н, где и,— круговая скорость для данной планеты на высоте Н.

2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки. 51.26(50.26). Найти зависимость между периодами Тг обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а~ их эллиптических. траекторий. эз "3 1 2 Ответ: †, = †, для любых планет (третий закон Кеплера). 51.27(50.27). Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер— 392 Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20 23000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет.

Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли). Ответ: Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца. 51.28(50.28). Под средним значением 1г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина„ г 1 1" опРеделЯемаЯ Равенством (г1 = — о1 г Е/, где Т вЂ” пеРиод обРа- о щения. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если а — большая полуось, а в — эксцентриситет ее эллиптической траектории. Ответ: 1г1 = а (1 + '/о ео). 51.29(50.29). Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна из которых — круговая радиуса го, а другая — эллиптическая с расстояниями перигея и апогея го и 8го соответственно.

Полагая, что спутники пу- с тем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их Фвиов орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты. 49 Ответ: г, = 2з го К задаче 61.ОО 51.30(50.30). Определить связь между истинной ф и эксцентри- ческой Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентрисятета е. Е /1 — е ф Ответ: 1п — = сг — 1п —. 2 '~/1+е 2 51.31(50.31). Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.

/я /1+есооЕ Ответ: в =.1/ — ~/ Ч о с/ 1 — есооЕ ' 51.32(50.32). Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее. Ответи Е = ~п/2 (точки расположены на концах малой оси эллипса). 51.33(50.33).

Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра: г = в„г=а(1 — есозЕ)е„ 1+есооф где в,— орт радиус-вектора г, проведенного из центра притяжения, ф — истинная, а Š— эксцентрическая аномалии, найти выражения 393 Ответ: и= ~~( ~/3 + — ~1/ — "~ ). 51АО(50.40). Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с иее путем получения касательного импульса скорости и выйти иа гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности о . При каком радиусе гз начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей? Ответ: гз —— 2р/оз.

$52. Рази(ее задачи 52.1(51.1). Две свободные точки, массы которых равны т1 и тз, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй. Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром 13 = 1(т + тз). 52.2(5!.2). Какой вид примет зависимость между периодами Т1 обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а3 их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты? а, а М+33, з 3 О где ть тз, М вЂ” массы планет и Т2, Т2 М+щ2 Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 5!.26). 52.3(51.3). Два однородных шара радиусов Йт и !?2 начали дви- гаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяже- ния.

Определить, с какой относительной скоростью о, столкнутся шары, если первоначальное расстояние между их центрами равня- лось 3., а массы шаров равны т3 н тз. 1 1Х Ответ: о, = л/213( — — 1, где в=1(т1+т,). 1 + ~2 52.4(51.4). Две точки, массы которых равны т1 и тз, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного при- тяжения. Определить время Т, через которое столкнутся точки, если первоначальное расстояние между ними равнялось Е. а /13 Ответ: т = — ~/ — .

где 13 = 1 (т, + т,). 3 3/ 233 52.5(51.5). Две свободные точки, массы которых равны т3 и тм движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения точек относительно их центра масс С. Ответ: Движение по отношению к центру масс происходит по тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными „33 „33 параметрами 132=1 (, +,2 и р2=1(, +ам)* 52.6(51.6). Проекция центральной силы на радиус-вектор равна гв 'ел — ( —,+ —,, 1, где р > 0 н ч — некоторые постоянные.

Определить траекторию движущейся точки. Ответ: 1) ч < с~, г = 1 + е сов Ь (~р — е) где с =геф=сопз1. се — э э Р= , не= 1 — —, е и з — произвольные постоянные )с се ' е 2) ч=се, — = — ' ~ +С~<р+С„С, и Сз — постоянные интег- г сг 2 рирования; 3) ч)с~, г= 1+есь Ь(в — в) ' И ' с' , где р= —, й'= —,— 1, в и е — произвольные постоянные. 52.7(51.7). Космический аппарат массы т приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр.

Йа какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна ос, гравитационный параметр планеты )с, ее радиус )?; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь. Ответ: з Гв се ~з Н= — ~ — +Т(г + — ' ~- ( — + Тй+ — ) — 4рТ вЂ” )г; знак 2Т ь)? 2 ~)? )— плюс, если Т ) )с/)?з, и знак минус, если Т ( р/)?з. 52.8(51.8).

Определить полезную работу, которую должен совершить двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту Н над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте круговую н параболическую космические скорости. МасДе са космического аппарата на поверхности планеты равна М, радиус планеты Я; сопротивлением атмосферы пренебречь. Вычислить эту работу для .второй космической скорости для Земли, если М = 5000 кг.

Р+ 2Н Ответ: А~=МдР +, Аз=Ма)г, Аз = 31,85 ° 10г кН ° м. 52.9(51.9). Космический аппарат вращается с угловой скоростью йь Определить, какую полную работу должен соверц1ить двигатель маховика М, чтобы остановить вращение космического аппарата, считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; 7 и ?с — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения. В начальный момент угловая скорость маховика равна угловой скорости аппарата.

Отеет: А =— уо (уо — у) 2 У Оо. 52.10(51.10). Считая, что статор электромотора системы. описанной в задаче 52.9, создает вращающий момент М,р = Мо — хы, где Ме и х — некоторые положительные постоянные, ы — относительная угловая скорость маховика,. найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения. у (у.

— 1) умо О: Ме)х — а, Т= „!п 52.11(51.11). Определить угол 0; на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оио осуществляется способами, описанными в задачах 52.9 и 52.10. Ответ: 0 = ' й — .,', (МеУ вЂ” ОхУе) !п,',, кто амок' УМ вЂ” кУ и 52.12(51.12). Для поворота корпуса космического аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид м + в/Т = и, где ы— относительная угловая скорость маховика, Т вЂ” его постоянная времени, и — управляющее напряжение, принимающее значения ~им Определить длительность 11 разгона (и = ие) и торможения 12(и = — ие) маховика, если первоначально неврашаюшийся корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол <р и остановить.

Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно обшей оси вращения соответственно равны У и Ум а %1= 4.ткП.~~~ — ", ~,=т~ 11-~~~— уо'Р где т= — „ Уи,Т ГЛАВА Х111 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИИ, устОйчиВОсть движения $ 53. Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия 53.1(52.1). Ось вращения АВ прямоугольной пластины наклонена под углом а к вертикали.