1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 70

Трением пренебречь. К »»лазе 48.60 Ответ: —,[(У1 + — тз(з + з (г) япз О) ф~ = М, — (У(г) О) — з (г) 1р з!п бсозО=Мо+ [шз(г — З ) + тг18» з1п Ф, (та+ т) 1 [шз з г з )+шг (О +ф ззп О) ~вз (тз+т)в»созб» «з ~1 где 1 (г) = тз (гз — грз + — ) + тгз. 48.51(48.50). Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости.

Радиус колеса а, его масса М; С вЂ” момент инерции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости колеса через его центр; А — момент инерции колеса относительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса. Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для неголономных систем. Ответ: — „1 (Аф з1п' Ф) — С (ф + ф соз О) 0 яп 0 = О, (С + таз) — „(ф + ф соз Ф) — Шахбаз яп 0 = О, (А+ та') 0 — Афз яп 0 сов 0+ + (С + та ) (ф + Ф соз О) ф зш Ф = — тва соз О, где »р — угол поворота колеса вокруг оси, перпендикулярной его плоскости; Ф вЂ” угол наклона плоскости колеса к горизонту, ф— азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса н проходящей через точку касания.

48.52(48.51). Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соединенных катушки самоиндукции 1., резистора сопротивления )«и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к источнику питания с постоянной э.д.с. Е, а на пластину конденсатора дей ствует переменная сила Р(1).

Емкость конденсатора в положении равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной пластины конденсатора и. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. Г) Указания. 1. Потенциальная энергия конденсатора равна У = да/(2С)(С в емкость конденсатора, о †зар на его обкладках); электрокннетическая энергия вычисляется по формуле Т 1аЕ1а (Ь вЂ” коэффициент самоиндукции, 1 = — — сила тока в цепи).

де Ю Е 2. За обобщенные координаты принять из- менение заряда конденсатора О и смещение К аалаче еадз пружин нз положения равновесия. Тогда пол- ный заряд будет ее+ д, а полное смещение па+ к; здесь де — заряд конденсатора, а ха — смещение пружин от нейтраль. ного положения в положение равновесия системы, Ответ: их+ сх — — д — — =Р(1), Е да а 2Сеа Еф + )Рд — — х + — — — = О. Е О дх а Се аСа 48.53(48.52). Определить частоты малых свободных колебаний конденсаторного микрофона, описанного в предыдущей задаче.

Сопротивлением резистора пренебречь. 1 Отеег: 1гьз=— чГ2 48.54(48.54). Изображенная на рисунке система отвечает' прин. ципнальной схеме электромагнитного датчика акселерометра. Масса якоря М, общая жесткость пружин р с. Самоиндукция катушки изменяется вследствие изменения воздушного зазора в 1 е магнитопроводе Е = Ь(х) (х — вертикальное смешение якоря из положения, когда пружины не напряжены). К катушке при- К аалаче езда соединена электрическая цепь, состоящая из элемента с заданной э.

д. с. Е, сопротивление цепи равно Р. Составить уравнения движения системы и определить ее положение равновесия. Указание. За обобщенные координаты принять смещение х якоря н заряд д, соответствующий току 1 в цепи (1 = НЕ/дг). Ответ: Уравнения движения: .. дЕ 1дс.з Ьд + ~Ц + дх — = Е; Мх — — — уз + сх = Мй.

дх 2 дх В «положении равновесия» х=хо из=4=го, где зо=Е/)р) 1 гдо'ч сх = М8+ — (ч — ~ (о. 2 чдк!о 370 48.55(48.55). Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче. Указание. За обобщенные координаты взять изменение заряда е и вертикальное перемещение якоря нз положения равновесия 5. Функцию й(х) разложить в ряд й = й(ха+ 5) ьа+ йа5+... и ограничиться в этом ряду первымн двумя членамн. Ответ: )ое + гге + (.,ггл * О; М$ + сй — 7.,!ей = О. 4858(48.56). Основание датчика, описанного в задаче 48.54, совершает малые вертикальные колебания по закону в =воз)пют.

Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи датчика. Ответ: г'= — 'Е,йо(гг(с — Мез) соз еГ + М$0ва + [1.,гою+Цбо(с — Мв )] зш юг), х = ~'" ( — Ыго~Ьою'+(Р'+ 1.ов'(с — Мю')] з1п ет+еХ.',Фсозон), где д = )Рз(с — Мюз)з ~- ш' [).згоз+ Во (с — Маз)]Я.

48.57(48.57). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное прле, и якоря массы М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с катушкой, К задаче азат К аааача аз.оа состоящей из и витков, и с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления р); средний радиус катушки г; ее самоиидукция 1., сопротивление Р, магнитная индукция в зазоре магнита В. К зажимам катушки приложено переменное напряжение Р(г).

Составить уравнения движения системы. Указание. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки н магнита, равны Оа = — 2п гп Вх, 9, = 2пги Вй (Оч — электродвижущая сида, нндуцироианная в электрической цепи, а Π— сила взаимодействия катушки с магнитом). Ответ: г-Ч'+)чд+2пгпВх=)г(Г), Мх+ рх+ ск — 2 В) =О. 48.58(48.58). К основанию сейсмометра с индукционным преобразователем прикреплена катушка из и витков радиуса г, соединенная с электрической регистрирующей системой, схематизируемой цепью с самоиндукцией Ь и сопротивлением зч. Магнитный Зуз сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуемое в зазоре магнитной индукцией В, опирается на основание е помощью пружин общей жесткости с. На сердечник действует также сила сопротивления, пропорциональная его скорости, вызываемая демпфером, создающим силу сопротивления рх.

Составить уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи в случае малых вертикальных колебаний основания сейсмометра по закону $ = $9 з)п в1. Указание Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, дзются формулами Оа = — 2мгзВх и 42 = 2нглВф Ответ: Мх+ Ох+ сх — 2пгпВд=М$звз з)пв1, ~4+ Рз) + 2ягпВх = О. $49.

Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические ' уравнения Гамильтона, уравнения Якоби — Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского 49.1(49.1). Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью в вокруг вертикальной оси С1), составляя с ней угол а.

Ь трубке находится пружина жесткости с, один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трения внутри трубки. В недеформированном состоянии длина пружины равна АО = 1. Приняв за обобщенную координату К задаче 49.9 К задаче 49Л расстояние х от тела М до точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии. Ответ: Т = — лз [хе+ (1+ х)'в' з)па а), ! 2 тхз — т (1 + х)' в' и! пз а + сх' + 2тд соз ах = Ь, где Й вЂ” постоянная интегрирования.

49.2(49.2), Найти первые интегралы движения сферического маятника длины 1, положение которого определяется углами 0 и чр. Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате ф (интеграл моментов количества движения относительно оси а)9 чр З!цз 0 = П' 2) ИНтЕГраЛ ЭНЕРГИИ: 0'+ 4!49 3!П'0 — 2 ~ ССЗ0 = й, ГдЕ а И ! Ь вЂ” постоянные интегрирования. 49.3(49.3). Гироскопический тахометр установлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью и вокруг оси ь.

Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей к, у, г соответственно равны А, В и С, причем В = А; силы трения на осн г собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь. К зазаче 49.4 К задаче 49.5 К задаче 49.3 Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате ~р (интеграл моментов количества движения относительно оси г): ф+из!пй=п; 2) обобщенный интеграл энергии: — 1(Сф'+ А0') — (Саз 3!и'О+ Аи' соз'О)! + — с09 = Ь.

49.4(49.4). Материальная точка М соединена с помощью стержня ОМ длины 1 с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью 99. Определить условие устойчивости нижнего вертикального положения маятника, период его малых колебаний при выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии, Массой стержня пренебречь. Ответ: 1) 499( ~; 2) Т= .АД 499 ' 3) фа — 999 з(пз 4р — 2 ~ соз 4р = Ь. 1 49.5(49.5).

Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения $ равен Хм моменты инерции внутренней рамки относительно главных центральных осей х, у, е равны У,', У„, У,', а соответствующие моменты инерции гироскопа — 1, У„и 1, (У, = 1„). Ответ: 1) Т = — ( [Х + У', + (Х', + 1, — 1,') соз' О) фг + + (У„+ У„') Ог + У, (ф + ф з!п 0)г). 2) интеграл, соответствующий циклической координате гр (интеграл моментов количества движения гироскопа относительно оси е): ф+фяпО=п; О) интеграл, соответствующий цинлической координате гр (интеграл моментов количества движения всей системы относительно оси Ц: [11 + У, + (У, + Х вЂ” У,) соз О) ф + У,п яп О = пб 4) интеграл энергии: [11+ У'.

+ (1.'+ У. — У'.) соз'0[ Ф'+ (1„+ У„') 0'= й. 49.0(49.8). Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг осей $ и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних сил Мг и М». Игнорируя циклическую координату 9, найти 1) дифференциальные уравнения движения для координат ф и О, 2) гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.) Ответ: 1) [11+1»+(1»+1» 1»)соз 0]ф— — 2 (У, + Х, — 1,) соз 0 з!п Ойф + У и соз ОО = Мы (Уе + 1„) 0 + (У„+ Х, — У,) соз 8 з 1п Ь!Р— Х,п сов Огр = М„; 2) У,п соз 80, — У,п соз Оф. 49.7(49.9).

Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы «г и длины 1, положение которого определяется углом ~р отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника. рг Ответ: 1) Н= — —,— гпу!созгр; 2) ф= — г, р= — вгу(з(пф.