1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 71

49.8(49.18). Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины ! к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ы (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения, Массу стержня не учитывать. Ответ: 1) Н = — — — — а з!и ~р — ту!соыр' ! вг»гр 2»г1» 2 2) ф= !г, р=т(гвггяпшсоз9 — тд1яп~р.

49.9(49.11). Вертикальное положение оси симметрии волчка, вращающегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяется углами а и 5. Исключив циклическую координату 4р (угол собственного вращения), составить для углов а и р функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна т, расстояние от его центра масс до точки О равно 1, момент инерции относительно оси симметрии г равен С, а относительно осей х и д равен А.

Ответ: 14 = — А(созз Раз+ ф)— К вЂ” Си з(п ба+ тй1 созасоз0, 48 7 где и = ф — сйп ра = сопз1. (Здесь и в дальнейшем символы Р, Рз и т. п. означают обоб- К задаче 49.9 щепные импульсы.) 49.10(49.12). Пользуясь результатами, полученными прн решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения. Ответ: а= — (Р +Си(1), Р,=тра, и= — Рз, 1 1 Рз= — — „" (Р +СФ)+ 96. 49.11(49.13).

Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяется углами Эйлера, углом прецессии 4) и углом мутации О. Составить функцию Гамильтона для углов 4), 0 и 1р (угол собственного вращения) 4 и соответствующих импульсов, если т— масса волчка, 1 — расстояние от его центра Ф масс до точки О, С вЂ” момент инерции относительно оси г, А — момент инерции от- )8 носительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О. )з 1 Г (Ро — Ро сов 0)2 У у у' 2 К задаче 49.11 + с Ро + тц1 соз О.

49.12(49.14). В условиях предыдущей задачи составить канонические уравнения движения волчка. РŠ— Р, созО Отнетс ф= .',, Р9= 0, А амза Р . (Р созΠ— РЗ)(Ресове — Р ) 0= —. А А 91940 + д(з(п0 3 Р,— Р сове Р А 188 0 + 378 49.13(49.15). Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). Ответ: — + — ( — ) + — ( — „) + 8|у=0, дУ ! дУ » ! дУ У = Ь|! + Ь,х Ь. — ( — 29у — 2Ь! — Ь~~) + С, ! зе где Ь|, Ьт и С вЂ” произвольные постоянные. Знак «+» следует брать при подъеме, знак « †» при спуске. 49.14(49.16).

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. дУ ! 2 Ответ: — = ! + — — 2ду — 2Ь, — Ь, = а, дЬ! е ! дУ Ь! / 2 дЬ| е — = х + — ~/ — 29у — 2Ь! — Ь» — — а,, дУ . дУ ./ 2 — =Ь,=х, — = ч — 2ду — 2Ь,— Ье=у дх ' ду Ф где а|, аь Ь~ и Ьз — произвольные постоянные. 49.15(49.17). Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси.

Момент инерции маятника относительно атой оси равен 1, расстояние от центра масс маятника до оси равно 1. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). дУ 1 тдрх! Ответ: 1) — + — ~ — т! — М|т( соз |р = 0; д| 2У ~дч3 2) У=И ~ ~/2Х ~.!/Ма(сов!у — Ь|(|р; з|с ~ ~! — ' "' =а *ч'В~|мв ~ — ь=||, "т ма~ ь — ь где а и Ь вЂ” произвольные постоянные интегрирования.

49.16(49.18). Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера |р, 6 и |р. Пользуясь результатами решения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. Отевт: 1) д! + 2Л .,В (д — д се»В) + 2Л ( |В ) + дУ ! дУ дУ з ! дУ + —,(д ) +в|я(соз9=01 |! зта 2) )г=б!г+Ьзчр+Ьзч+ Лаз (99 ьзсоаа) .~. ( 9? — заь, — — — ' ' — за а! Ваа.

с мп а 49.17(49.19). Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно й Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны. к е Предполагается, что колебания происходят ~ аз в одной вертикальной плоскости ху и что на струну действуют только силы на- )у тяжения, линейная плотность струны рав- К задаче 49ЛГ на р. и г Ответ: Я= — ' ~ ~[Р (д",) — Т( д"„) 19(хг(з, где У=У(х Г)- ! ,Ъ К заааче 49З9 3?? Ь 9 49.18(49.20).

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны. д*д д'у , т Ответ. '— =а' —, где па= —; граничные условия: у(0, ?)= д99 дхз' р ' =у(1, ?)=0. 49.19(49.21). Абсолютно гибкая однородная и не- д — -у растяжимая нить длины 1 подвешена за один конец в точке О. Определить действие по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходящих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна р.

! ь с 1 Ответ: Я= ~ ~ ~ ~( дг ) — Ы(1 — х) (д" ) ~ахз(г, Ь 9 гле у = у(х, г) . 49.20(49.22). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити. Ответ: — = д — ~(1 — х) — ~; граничные условия: дзу д Г дуз дГз дх ~ дх.)' 1) у(0, Г)=0, 2)у(1, Г)' д ~ и де! Конечны 49.21.

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой зп на другом конце, и получить граничные условия. Плотность материала стержня р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Р, длина й — — „,, где и(х, 1) — перемещение в направлении продольной оси, а = ~/Е1р! граничные условия: дки! ди ) и)»,=0, и —,~ = — ЕР— ~ дц ~, дк!» ! 49.22. Составить дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом конце.

Плотность материала стержня р, модуль сдвига О, поперечное сечение — круг радиуса г, длина стержня 1. Момент инерции диска 1. дЧ> д'Ф Ответ: —,=ах — „,, где О(х, 1) — угол поворота поперечного дкд сечения, а= 1/О/р; граничные условия: Ф)к о=О, 1 —, ~ д44 !к ! дб ~ = — 61 — ~, где 1р —— яг4/2. кдх)к Г 49.23. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шарнирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плотность материала балки р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Р, момент инерции поперечного сечения.

1, длина балки Е дко х д4о /й Ответ: — + ох — =О, где о(х, г) — прогиб балки, с= ~~ —, дц дх4 'Чог' д*о ! д*о гРаничные Условии: о )к о = О, —,~ = О, о ), = О, 49.24. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, получить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях консольной балки длины Ответ: о(, о=О,— до =О, = О.

к С 49.25. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, составить урав- К кака»Е 4О.Ы пения малых колебаний системы, состоя- щей из консольной балки длины 4 и груза массы и, прикрепленного к балке н к основанию пружинами жесткости с. Плотность материала балки р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Р, момент инерции поперечного сечения 1. дко х д4о ГЕГ до Ответ: др +с д, — — О, где с=,у —, о )к,= О, дх !к-а дзо Е1 —, ~ =с(о !к-! — и), тй = с(о !к„! — 2и). зтв 0 50. Системы с качением. Неголономные связи 50.1.

Показать, что условие качения диска без проскальзывания по заданной кривой на поверхности выражается в виде конеч. ного соотношения между обобщенными координатами. Ответ: з = гф, где в — путь, пройденный точкой контакта вдоль кривой, г — радиус диска, ф — угол поворота вокруг оси, ортогональной плоскости диска (ф = 0 при в = О). К аадаче аол к задаче ао.а 50.2. Получить условие качения без скольжения тела, поверхность которого является цилиндрической поверхностью, по плоскости.

У к а а а н и е. Считать заданным уравнение направляющей — кривой, которая получается в плоскости поперечного сечения ннлиндрнческой поверхности в системе координат, жестко скрепленной с телом. В качестве параметров, опредегяющих положение сечения тела на плоскости, принять к, у — координаты поноса А, угол 8 поворота системы координат АЩ, скрепленной с телом, Ответ: х — ($кз!пО+т)ксозО)0 = 0, у+(зксозΠ— т(кзйпО)8 = О, где $к, ч)к — координаты точки соприкосновения. 50.3.

Решить предыдущую задачу в случае, когда направляющая ци- у лнндрической поверхности является элл ип сом. Ответ: х+(алз!пай+ЬтсозтО)ьО= т) (аа — Ье! 8 а!и а сова Г у (о' а!па 8+ Ьа сода 8!'~* где х, у в координаты центра эллипса, а †больш, Ь вЂ” малая полуоси эллипса. В частном случае Ь = а полу- ю чаем известное условие х+ аО = О, у = 0 качения кругового цилиндра по К аадаче Ее.е плоскости. 50.4. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является параболой.