1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 72

Ответ: 2х+ рО з!и 0150 = О, 2у — рО(2+ !па О)з!п О =О, где х, у — координаты вершины параболы $а=2ргь 50.5. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилиндрической поверхности является ветвью гиперболы. Ответ: х — (азсоз'Π— Ьз з(пзО)ж8 =0, (аз+ Ьз) 0 з!и 8 созе у =О, (а*сод'0 — Ьз з(дз 8)уз где х, у — координаты точки пересечения асимптот гиперболы 515/аз — зз/Ьз = 1. К задаче 50Л К задаче 50.5 50.0. Получить условие качения без скольжения тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверхности.

В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять з, О, где з — длина дуги вдоль направляющей опорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки до точки К соприкосновения двух направляющих, О в угол между осью А$ системы координат А$5), скрепленной с сечением тела, и касательной в точке К.

Ответ: езз=)( ее / +( ее /1 5(0, где 8», ч)» — координаты точки К в системе координат А$5). 50.7. Решить предыдущую задачу в случае, когда по круговому цилиндру радиуса г катится без скольжения цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) парабола, 3) ветвь гиперболы. Ответ: 1) г«Ц=азЬз(азз(пзО+ЬзсоззО) '5(0, 2) «5(чь=рсоз 505(0, 3) «5(чр=азйз(азсоззй-Ьзз(пзО) ЬЫО. Смысл параметров такой же, как в задачах 50.3, 50А, 50,5..

50.8, В вариаторе угловой скорости (см, рисунок) расстояние диска радиуса г от оси горизонтального абсолютно шероховатого диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь между углами поворота зр и чр дисков. 380 Ответ: гдф = хе1ер. Это соотношение в общем случае не интегрируется. 50.9.

Два шероховатых круговых конуса, оси которых параллельны, соприкасаются прн помощи колесика. Ось колесика параллельна образующим конусов. Колесико может перемешаться вдоль своей оси по произвольному закону. Найти связь между угловыми скоростями вращения конусов, если а — угол между осью и образующей конуса, Ь вЂ” высота конуса. Ответ: хф=( — — х)ф где а г соз а х — расстояние колесика от верши- К заазче 00.0 ны верхнего конуса.

50.10. Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном направлении. Ответ: хяп0 — усов 0 = О, где х, у — координаты точки соприкосновения конька со льдом, 0 — угол между прямой пересечения плоскости конька с плоскостью льда и осью Ох.

50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении диска радиуса а по абсолютно шероховатой плоскости, приняв в качестве параметров, определяющих положение диска, Ю х зт К задаче З!.!! К задаче БОЛЗ 1) координаты хс,ус,гс центра диска и углы Эйлера О, ф,зр, 2) координаты х, у точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера О, ф, чр. Ответ: 1) хс — а0 соз 0 зш ф — аф з! и 0 соз ф — аф соз ф = О, ус+аОсозбсозф — абаз)пбяпф — афяпф=О, ге+ обяп0=0. Последнее уравнение сводится к конечному соотношению хс = =асоз0. 2) х = афсозчр, у = азряпзр.

50.12. Решить предыдущую задачу для диска с острым краем, когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направлении. Ответ: 1) х япф — у сов!у — айсоз0=0, хс=асоз0, 2) х яп ф — у соз чр = О. 30.13. Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня) катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна плоскости. Найти уравнение кинематической связи. Указание. Поперечная насечка не препятствует скольжению колеса в направлении осн собственною вращения.

Ответ: х яп 0 — у соз Π— аф = О. 50.14. Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой поверхности. Найти уравнения кннематической связи в случаях, к зчааче аолч когда поверхность представляет собой 1) плоскость, 2) цилиндр радиуса )т, 3) сферическую чашку радиуса гс Я ) а), 4) конус с углом а между осью и образуюшей.

У к а а а н и е. В качестве обобщенных координат выбрать координаты точки соприкосновения шара с поверхностью и углы Эйлера. Ответ: 1) х — ай яп ф + аф яп О соз ф = О, у +аО соя ф+аф япО яп чу =О; 2) ()с — а)ф+а(ф созО+0) =О, г — ай сои(ф — т) — афз'.пйяп(ф — у) О; 3) Я вЂ” а) ф, яп О, + аф соз О, з1 п (ф — ф) + аф яп О, + + аф (саз О яп О, — яп О соз О, соз (ф — ф1)] = О, (Я вЂ” а) 01 + ай соз (ф — ф,) + аф з)п О з)п (ф — ф,) О; 4) АЬ яп а+а8сова з!п(ф — о)+афз!па+ + аф [соз О сов а — яп О соз а сов (ф — о)) = О, Л вЂ” аО сов (ф — о) + аф з!п 0 яп (ф — о) = О. 50.15.

Эллипсоид вращения (а — большая полуось, Ь вЂ” малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные координаты х, у, 6, ф, ф, где х, у — координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, О, ф, ф †уг Эйлера. Ответ: (х яп ф — у сов ф) (ае сове 8 + Ьз з!пз 0)а — азЬ00 = О, (х сов еь + у з!п ф) (ае сове О + Ь' яп'8) Ь + Ьзф яп 0 = О. К заааче аю6 К задаче 60эз 50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой плоскости, Ь вЂ” радиус кривизны меридиана тора на экваторе, а + Ь вЂ” радиус экваториальной окружности тора.

Найти уравнения кинематической связи, приняв за обобщенные координаты х, у, О, ф, ф, где х, у — координаты точки соприкосновения тора с пло- У 10~1) скостью, О в угол наклона тора, ф — угол между следом средней плоскости тора и осью Ох, ф †уг жу собственного вращения тора. Е Ответ: х + ф (а + Ь сов 0) сов ф + +Ьйзп р=о, ~(уэ у + ф (а+Ь соз 0) яп ф — ЬО соз ф = О. ' е 50.17. Определить число обоб- Ю шенных координат и число степеней К задаче Ееэт свободы двухколесной тележки. Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой катаются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на обшей оси, г — радиус колес, 1 — длина полуоси.

Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, «рь 6, которые связаны двумя неинтегрируемыми соотношениями хсовй+у яп 0 — гф, — 10=0, х япΠ— у соз0=0, Система обладает двумя степенями свободы. 883 50.18. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обеспечивают качение без скольжения лишь в продольном направлении; г — радиус опорных колес, 21 — ширина колеи.

Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, <рь О, которые связаны одним неиитегрируемым соотношением хсоз О+ у яп О— — пр, — 10 = О. Система имеет три степени свободы. К задаче 50Л9 К задаче 5088 50.19. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы буера. Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, О, ф, которые связаны двумя неинтегрируемыми соотношениями (хсозО+уяпО)19ф — а0=0, хз)пΠ— усо50=0.

Система имеет две степени свободы. 50.20. Абсолютно шероховатый диск радиуса г катится по прямой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той же прямой. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из диска и стержня.

К задаче 50.9! К задаче 50Х0 Ответ: Одна обобщенная координата, за которую можно принять угол О между стержнем и прямой. Остальные параметры, определяющие положение стержня и диска, выражаются через угол О при помощи конечных соотношений $ = гс15(0/2), х= = — 2г(с1д(О/2) + О/2) + сь ф + с15(О/2) + 0 = се. 50.21.

Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров. Два одинаковых цилиндра радиуса г катаются по горизонтальной плоскости, а третий цилиндр радиуса )1 катается по этим двум цилиндрам. Ответ: Шесть обобщенных координат х, у, О, зр, срь ерт, которые удовлетворяют четырем дифференциальным уравнениям: х — гф в!п  — 0(.р, — у) =О, у+)1ф зВ+В(.р,— у)с(дв — 2гф,=О, х яп(0 — а) — Яф зшв в!п(0 — а)+2гф в!па яп(0 — а)— — 0 (г!рх + х вш а — у соз а) в!п 0 = О, у яп(0 — а)+Яфсовв в!п(0 — а) — 2гф,сазан!п(0 — а)+ + 0 (газ + х яп а — у соз а) сов 0 = О.

Система имеет две степени свободы. 50.22. Составить уравнения движения гусеничного трактора, описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, передаваемый от двигателя на левую гусеницу, равен Мз(1), а на правую гусеницу — Мт(1), пг — масса трактора. Массой гусениц и колес К задаче ззап пренебречь; Х вЂ” момент инерции трактора относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.

Ответ: тгх=(М,+Ма)совв, тгу=(М,+Мз)яп8, Угв =1(Мт — Мз), гфз —— х сов 8+ у яп 0 — 10. 50.23. Показать, что железнодорожная колесная пара (скат] при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень свободы. Ук аз а н не. За модель колесной пары принять тело, состояпзее нз двух одинаковых конусов, склеенных основаниями, рельсы считать геометрическими прямымн. Рассмотреть случай малых отклонепнй от прямолинейного движения.

тв и, в. мещерек а Ввести неподвижную систему координат Охух и две подвижных системы Ах'у'г' и С$Ч~, определяемые таблицами косинусов углов между осями х' у' х' 5 Ч $ ч х 1 сов  — з!и В 0 х' 1 сов ф 0 -з!п ф х у 3!п В соз В 0 у' О 1 О у и 0 0 1 х' з!пф 0 созф х где В, ф — углы Крылова; за обобщенные координаты принять у, В, ф, ф, где у — ордината центра масс С, ф — угол поворота тела вокруг оси колесной пары. Ответ: Условия качения бев скольжения имеют вид Π— фф=о, ф+ фО!ь — — !на) !да=о, у=фЯ вЂ” 1!иа1, / !! они интегрируются; колесная пара имеет одну степень свободы. 50.24. Однородный диск радиуса а и массы лт катится без скольжения по горизонтальной плоскости.

Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, О, ф, ф, где хс, ус — координаты центра масс диска, О, ф, ф — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ф, где х, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, О, ф, ф †уг Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в кваэикоординатах р, д, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции; А, С в главные центральные моменты инерции диска. д дЬ д дЛ Ответ: 1) — —.=Л!, д" с 'д! дус Ы дЬ дЬ вЂ” —.— — = — а(л, ып ф — Л,совф)совО, д! дВ д — —.= — а(Л, созф+Л яп ф) в!пО, дЬ д! дф — —. = — а (Л, соз ф + Лз в!п ф), дЕ д! дф хс — аО сов 0 в(п ф — аф в!и О соз ф — аф сов ф = О, ус + аО сов 0 сов ф — аф ып 0 яп ф — аф яп ф = О, где Ль Лз — неопределенные множители, Š— функция Лагранжа, Ь = — пз (ха + уз + азОз в!из 6) + — А (Оз + фзсозз 0) + 2 + — С(ф в!п О+ ф) — взда созО; 1 Н дЕ Н дЕ д дЬ дЬ Ы дЬ 2) — — = ˄— — = Л, — —.