1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 75

Определить момент сил М относительно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее поворота на угол О. Вес пластины Р, расстояние от центра масс О пластины до оси АВ равно а. Ответ: М = Ра з!п а з!п О. 53,2(52.2). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести равных однородных стержней веса р каждый, расположен в верти- 397 кальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через середину АВ.

Определить, какую вертикальную силу 9 надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии. Ответ: ь/ = Зр. К задаче ЯЗ К задаче Я.з 53.3(52.3). К однородному стержню АВ длины 2а и веса ее, подвешенному на двух нитях длины / каждая, приложена пара сил с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной горизонтали, находятся на расстоянии 2Ь друг от друга.

Найти угол 6, определяющий положение равновесия стержня. Ответ: В положении авновесия угол д находится из уравнения М т//з — (а — Ь)з — 4аЬ з1па (6/2) = ЯаЬ з! и д. 53.4(52.4). Прямолинейный однородный стержень АВ длины 21 упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ьь (4 К задаче Яя К задаче Я.З К задаче ЯЛ ней угол ьр. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Определить угол ~р в положении равновесия стержня. Ответ: з1п ~р= ~/а/1.

53.5(52.5). На гладкий цилиндр радиуса т опираются два однородных тяжелых стержня, соединенных шарниром А. Длина каждого стержня равна 2а. Определить угол 26 раствора стержней, соответствующий положению равновесия, Ответ: Угол 6 определяется из уравнения а(изб — г(цтб— — г = О. 53.6. Система состоит из двух однородных стержней ОА и АВ длины а и массы т, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром.

В точке Π— неподвижный шарнир. В точке В стержень АВ соединен шарниром с телом С массы вт!, которое может перемещаться по вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней ОА и АВ соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии 1о ( а. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой пружины пренебречь. Ответ: При 2(т+ т!)д ) с(а — 1о) одно устойчивое состояние равновесия !р! =О, при 2(т+ '„ + вт!)к ( с(а — 1о) два состояния равновесия —, д неустойчивое тр! = 0 и устойчивое 2 (т+ т,) В + с1о ~р, = агссоз са К задаче Вз.а 53.7(52.7). Концы однородного тяжелого стержня длины 1 могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением Г(х, у)=0. Определить положении равновесия стержня. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.> Ответ: Координаты концов стержня, отвечающие положениям равновесия, будут решениями системы (х, — х!)'+ (у, — у,)' — Р = О, 1(х„у!) = О, 1(х„уе) = О, д1 д1 Г д1 д1 д1 д1 1 2 (уе — у!) — — = (хо — х,) ( — — + — — 1.

дх1 дхт ( дх~ дут ду, дхт ) ', Второе положение равновесия определяется с)!й= ~/2 по формулам ! х= — — ее, ! из уравнения 1 ! у,= — е '*-, х,= — ео, у = — ее!. 4а ' 2а ' э 4а 53.9(52.9). Решить задачу 53.7 в предположении, что кривая является эллипсом (Пх, у) = —, + —,, — 1=01. а длина стержня удовлетворяет условию 1( 2а. Определить возможные положения равновесия стержня.

Указание. Вместо декартовых координат следует ввести координату ю (эксцентрическую аномалию) с помощью соотношений х = а соа Чь у = Ь Мл Ч 53.8(52.8). Однородный тяжелый стержень длины 1 может скользить своими концами без трения по параболе у = ахв. Определить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.) Ответ: Первое положение равновесия: хв = — х! = 1/2, у! = ух = аР/4. Ответ: Положения равновесия отвечают значениям эксцентрических аномалий, определяемым из уравнений /7 а) ф,=п — фг, созфг= х/ — (существует при 1(2а); вует при а) Ь и 1< 2Ь).

53.10(52.10). По гладкому проволочному кольцу радиуса А', расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз массы тк другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С другой груз О массы тг. Определить положения равновесия колечка А и исследовать, какие из них устойчивы, какие нет. Указание. Положение колечка А следует характеризовать центральным углом ф = дззОЛ. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верхней и нижней полуокружиостих.

К задаче яла К задаче охп Ответ: На верхней полуокружности (О (.ф ( и) при любых значениях тг/лгз существует положение неустойчивого равновесия фо 11 тг / г тг зйп — = — ~ ~ —, +8 — —, причем 0( фо (и/2. На ниж- 2 4 ~ ~1/ тг1 т1,г' ней полуокружности (и «р (2п) при гпг/лгз ( 1 существует по- то ~ ложение устойчивого равновесия з1п — = — ~а~/ — г + 8+ — !. 2 4 ~Я тг1 оз1 Зи причем и < фо < 2 53Л1(52.11). Однородная квадратная пластинка может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны'а.

К углу А пластинки нрнвязана нить длины й перекинутая через малый блок В, отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз 400 веса О = — Р. Определить положения равновесия системы и ис2 следовать их устойчивость. Ответ: Положения равновесия отвечают следующим значениям угла чр: чр4 = О, чр»=п/б, зр»=п/2, з)4 =3п/2. Первое и третье положения равновесия устойчивы. 53.12(52.12). Однородный тяжелый стержень АВ длины 2а опи- рается на криволинейную направляющую, имеющую форму полу- окружности радиуса А'.

Определить, пренебрегая трением, положе- ние равновесия и исследовать его устойчивость. Ответ: В положении рав- в , ! новесия стержень наклонен — ч4- в А к горизонтальной линии под Углом еуе, опРеДелЯемым из .й' — — в а Г р уравнения Яв соз ер = — [а + 1/аз + 32Я~) к задаче езде О ззЧ К задаче 63ЛЗ (предполагается, что 1/'/зВ < а < 244) Это положение равнове- сия устойчиво. 53.13(52.13). Подъемный мост ОА схематически изображен на рисунке в виде однородной пластины веса Р и длины 2а. К сере- дине края пластины прикреплен канат длины 1, перекинутый через малый блок, лежащий на вертинали на расстоянии 2а над точкой О.

Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим без трекия по криволинейной направляющей. Определить форму этой направляющей и вес противовеса Я так, чтобы система нахо- дилась в безразличном . равновесии. При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой дз, ОВ. д Ответ: Я = Р/ 4/2; уравнение на- зз правляющей в полярных координа- в зв тах г, 6: те =2(1 — 2 4/2асозб)г + зь д + 4 1/2 а1 — Р— 8а'. 2» 53.14(52.14). Исследовать устойчид вость вертикального положения равновесия «обращенного» двойного маятника, изображенного на рисунке. Ма- « "Даче ятник может быть схематизирован в виде двух материальных точек масс т4 и ть связанных стерж- нями длин 14 и 14.

В вертикальном положении равновесия пружины (жесткости их се и се) не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид с414 ) тгд, 1Лс + с ) 1 — (т + т ) в]~ с 1 — т д1 > сЧ 1 . 53.15(52.15). Исследовать устойчивость вертикального положе- ния равновесия системы маятников, изображенной на рисунке; длина стержня первого маятника 4/4, второго 3/4 и третьего 2Ь. К задаче ЯДЗ Массы всех маятников н жесткости пружин одинаковы и соответственно равны пя и с.

Расстояния точек прикрепления пружин от центров масс равны й. Массой стержней пренебречь, а массы вя рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид 13сйа — 4тд17 О, 49сЧяя — 59тдс176 + 12тхах176 ) О 36с'17ь — 153лядсх166 + 130тзйзсЬя — 24игзйз166 ) О. 53.16(52.16). В маятнике паллографа груз М подвешен на стержне ОМ, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АО1, вращающимся около оси 01. Длина коромысла г, расстояние от центра масс груза до шар- 1 пира А равно 1, расстояние 001=5. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника, Размерами груза и массой стержней пренебречь.

Ответ: При т/г1 ) Ь вЂ” г — положение равно- весия устойчиво; при 1/г1 < Ь вЂ” г — неустойчиво. к залаче 66.16 53.17(52А7). Прямолинейный проводник, по ко- торому течет ток силы 11, притягивает параллельный ему провод АВ, по которому течет ток силы !х. Провод АВ имеет массу вя; к нему присоединена пружина жесткости с; длина каждого из проводов 1.

При отсутствии в проводе АВ тока расстояние между проводами равно а. Определить положения равно- весия системы и исследовать их устойчи+ Вость. Указ а ни е. Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами 71 и 16 длияы 7, отстоящих на расстоянии 17 друг от друга, с 1 271 6 ! определяется по формуле р = — !. 17 271!а! пз ! ! ! ° Ответ: При а= ' < — имеются с 4 ! !66 два положения равновесия: х, = л и Л 1 в = — — з~/ 4 а И Х = — + 2 ч/ 4 х 2 К задаче М.17 К задаче 66.16 / ПЗ + '~/ 4 — а! хя ОтВЕЧает Устойчивому положению равновесия, хх — неустойчивому.

При а ) аз/4 положений равновесия нет. При а=ах/4 имеем единственное положение равновесия, которое неустойчиво. 53.18. Стержень ОА длины а может свободно вращаться вокруг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен стержень АВ длины а, на другом конце которого закреплен груз В массы лх. Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапря- женном состоянии равна а. Найти положения равновесия, считая, что система расположена в вертикальной плоскости.