1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Массой стержней АВ и ОА пренебречь. Ответ: Четыре состояния равновесия %=0, ч)1=0; чзг=п, ч)г=п; Ч>= ~ чрз чр= ~ чрзю та+ са где соз фз — †с чрз = гса При взд ) са устойчиво состояние равновесия ~р1 = О, ч)1 = О. При пгя ( са устойчивы состояния равновесия чр = =т.чрз, чр = '+чрз Состояние равновесия ~рг = и, чрг = и всегда неустойчиво. 2 54. Малые колебания системы с одной степенью свободы 54.1(53.1). Жесткий стержень ОВ длины 1 может свободно качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса О на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины Ь.
Расстояние ОА = а, Если шарик оттянуть перпендикулярно плоскости рисунка и затем отпустить, то система начнет колебаться. Пренебрегая массой стержня, определить период малых коле. баний системы. /и Ответ: Т = 2п зг —. ч вл' К залаче Бчз К зазвче 54.г 54.2(53.2). Определить период малых колебаний астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы.
Маятник состоит из жесткого стержня длины 1, несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня пренебречь, и считать пружины в положении равновесия ненапряженными. 2п О. з:т= —, ~~/2 — — -й. т 54.3(53.3). Маятник состоит из жесткого стержня длины 1, несущего массу вз на своем конце.
К стержню прикреплены две пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; проти- воположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника. Ответ: Т= 54.4(53.4). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса вс расположена выше точки полвеса, определить условие, при котором вертикальное положение К задаче 44.4 К задаче 44.4 равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника. заф чд Ответ: ае ) — .
Т = 2с ' /2саз В ' 54.5(53.5). Цилиндр диаметра с/ и массы в4 может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра. Ответ: Т= а 4/3 /юи 1+ 2а/И 4/ с К задаче 44Л К задаче М.д 54.6(53.6). Определить период малых колебаний метронома, со,стоящего из маятника н добавочного подвижного груза О массы вс. Момент инерции всей системы относительно горизонтальной оси вращения изменяется путем смещения подвижного груза О.
Масса маятника М; расстояние центра масс маятника от осн вра- щения О равно зз, расстояние ОО = з; момент инерции маятника относительно оси вращения Уо. за+ вззз Ответ: Т = 2п (Мза — мз) Ы ' 54.7(53.7). Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях длины 1 каждая, расстояние между которыми 2а, закручивается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости ни- тей и равноудаленной от них (бифилярный подвес)., Радиус инерции тела относительно оси вращения р. Найти период малых колебаний. ! Ответ: Т=2п — тг —. р l~ ! а зl д еа 54.8(53.8). Круглый обруч подвешен к трем не- жодвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжи- мыми нитями длины 1, так, что плоскость обруча 1 горизонтальна.
Нити в положении равновесия обру- к „,„, мз ча вертикальны и делят окружность обруча на трн равные части. Найти период малых колебаний обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча. Ответ: Т = 2п тЩ 54.9(53.9). Тяжелая квадратная платформа АВС17 массы М езодвешена на четырех упругих канатах, жесткости с каждый, к !о неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии 1 по К аааача ааЛО К зааача за.з ,вертикали от центра Е платформы.
Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы. 1 аз (аз+ 41з) 1 Ответ: Т = 2п а ~ЕИ, Мд~з 1еааз 54.10(63.10). Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин 1 и 21 с,углом между стержнями 90', может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний уголка около положения равновесия.
405 Ответ: Т= 2п, ~/ — =7,53 ~/ —. Я /1 /1 54.11(53.11). Определить период малых свободных колебаний маятника массы М, ось вращения которого образует угол 5 с горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси вращения Х, расстояние центра масс от оси вращения з. У Ответ: Т=2я Мез сов р 54.12(53.12). В приборе для регистрации вертикальных колебаний фундаментов машин груз Я массы вг, закрепленный на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой еь шарнирно соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполненной в виде ломаного рычага с моментом инерции а относительно оси вращения О и отжимаемой к равновесному положению горизонтальной пружиной с коэффициентом жесткости сь Определить период свободных колебаний стрелки около ее вертикального равновесного К аааача ЗЧЛ2 К аааача ачза положения, если ОА = а н ОВ = Ь. Размерами груза и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь. I + яаоа Ответ: Т=йп а+ Ьа ° с,а'+ саЬ 54.13(53ЛЗ).
Амортизационное устройство может быть схематизировано в виде материальной точки массы вг, соединенной и пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус окружности, описанной около многоугольника Ь. Определить частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной плоскости. Указание. Для вычисления потенциальной энергии с точностью до величин второго порядка малости включительно следует определить удлинение пру. жин с той же степенью точности. l пс ЗЬ вЂ” а Ответ: й = у — = '~~ йю Ь 54.14(53.14). В предыдущей задаче определить частоту колебаний, перпендикулярных плоскости многоугольника. Массами пружин пренебречь.
/ ас (Ь вЂ” а) Ответ: й= ~( 54.15(53.15). Определить частоту малых вертикальных колебаний материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной на рисунке. Масса материальной точки т. Расстояния р ''Е К вадаче ббвб К аадаче бб.!б АВ = ВС и РЕ =ЕЕ; жесткости пружин с!, сь сз, сб заданы. Бруски АС н РЕ считать жесткими, не имеющими массы. Ответ: й= ! б ! 1 1 1 54.16(53.16). На нерастяжимой нити длины 4а находятся три груза, массы которых соответственно равны т, М, вб.
Нить симметрично подвешена за концы так, что ее начальный и конечный участки образуют углы бб с вертикалью, а средние участки— углы 5. Груз М совершает малые вертикальные колебания. Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза М. Ответ: М б)д (р — а) при этом 2т = 5)а а баб р 54Л7(53.17). Вертикальный сейсмограф Б. Б. Голицина состоит из рамки АОВ, на которой укреплен груз веса Я а 'в К задаче бб!т Рамка может вращаться вокруг горизонтальной оси О. В точке В рамки, отстоящей от О на расстоянии а, прикреплена пружина жесткости с, работающая на растяжение.
В положении равновесия стержень ОА горизонтален. Момент инерции рамки н груза относительно О равен У, высота рамки Ь. Пренебрегая массой пружины и считая, что центр масс груза и рамки находится в точке А, отстоящей от О на расстоянии 1, определить частоту малых колебаний маятника. 407 /се' — Е,Ь и — 511.) 1 Ответ: й= 54 У где РС=Π— — натяжение а пружины в положении равновесия, Š— длина пружины в положении равновесия. 54 18(53.18). В вибрографе, предназначенном для записи колебаний фундаментов, частей машин и т. п., маятник веса О удерживается под углом и к вертикали с помошь4о спиральной пружины жесткости с; момент инерции маятника относительно осн вра1цения О равен У, расстояние центра масс маятника от оси вращения з. Определить период свободных колебаний вибрографа.
1 У Ответ: Т = 2я 05 549 в+ с 54.19(53.19). В вибрографе для записи горик задаче 54 ~5 зонтальных колебаний маЯтник ОА, состоЯ- ший из рычага и груза, может качаться вокруг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статический момент силы тяжести маятника Яа = 45 Н см, момент инерции относительно оси О Т = 0,3 кг см' и жесткость при кручении пружины с = 45 Н-см, определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения. Ответ: Т = 0,364 с.
К задаче 54.З4 К задаче 54Л9 54.20(53.20). Найти, при каком условии верхнее вертикальное положение равновесия маятника является устойчивым, если свободному вращению маятника препятствует спиральная пружина жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном положении маятника она не напряжена. Вес маятника Р. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса равно а. Найти также период малых колебаний маятника, если его момент инерции относительно оси вращения равен Уе. Уз Ответ: с ) Ра, Т = 2я 54.21(53.21).
Показать, что при с ( Ра маятник, рассмотренный в,редыдушей задаче, будет иметь не менее трех положений равновесия. Найти также период малых колебаний. Ответ: При ф = 0 — неустойчивое положение равновесия. Устойчивые положения равновесия будут при ф =фо ) О, ф = с = фо ( О, где фо — корень уравнения з(пор = Р ф. Т=2оо /о%о Ро ооо ~ро Оя фо — 'ро) ~// 54.22(53.22). Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с. В не- напряженном состоянии рессора занимает положение ЕВО известно, что к рессоре нужно приложить силу Ро, направленную по ОВ, чтобы привести ее в положение ЕВо, соответствующее равновесию маятника; ОА = АВ = а; массой стержней пренебрегаем; расстояние центра масс маятника от оси вращения ОС = 1; вес маятника Я.
С целью достижения наилучшего изохронизма (независимость периода колебаний от угла первоначального отклонения) система отрегулирована так, чтобы в уравнении движения маятника ф=/(ф)= — 5ф+ ... первый из отброшенных членов был по- К задаче М.Ю рядка фо. Установить, какая зависимость должна для этого иметь место между постоянными О, Ро, с, а, 1, и вычислить период малых колебаний маятника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
