1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Считая в задаче 55.9, что дли- На НИТИ ВЕСЬМа МаЛа ПО СраВНЕНИЮ С дЛИНОй К зад 999 стержня, и пренебрегая квадратом отношения 1/2., определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вра- щения поместить в конце стержня. 9 Ответ: 1 — — —. 1б Е,' 55.12(54.12).
Определить частоты главных колебаний двойного математического маятника при условии, что массы грузов Мз и М2 соответственно равны в2з и в22, ОМз — — (п МзМ2 = 12, а к грузу М, присоединена пружина, массой которой можно пренебречь. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна !9, жесткость пружины с. Ответ: lг2,= п~ + ю2 ~ (п~ — ва) + 4й~йат~2 2 (1 — уз~2) (вз, + дзз) ха + 91з (дзз + дза! 1, П'= —, у' = д взз дз, + дзз К задаче 99З2 К задаче %43 55ЛЗ(54.13).
Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня Оз02 длины 2а и веса Рп вращаюшегося вокруг неподвижной горизонтальной оси Оь и из однородного прямолинейного стержня АВ веса Р2, шарнирно соединенного в своем центре масс с концом 02 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень 0,02 отклонен на угол фе от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость 929.
149 Ответ: 1р=1ресоз —, — г'; чР=эеГ, где чр — угол, об- 3 Р,+2Рз 4 Р~+ЗРз а разуемый стержнем АВ с вертикальным направлением. 55.14(54А4). Стержень АВ веса Р подвешен за концы А н В к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а. К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины Ь балка СР веса Я.
Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь. П1 + П2 ~ "ч1(Л1 — Л2) + 4Л1П2т12 2 я 2 е 2 (1 — тге) 0 з!2 Р+ Я 55.15(54.15). Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средней вертикальной плоскости, если вес подрессоренной У с К задаче ез.!е К задаче М.12 части вагона Я, расстояния центра масс от вертикальных плоскостей, проведенных через оси, 11 = 12= 1; радиус инерции относительно центральной осн, параллельной осям вагона, р; жесткость рессор для обеих осей одинакова: с1 = с, = с.
Ответ: х=Аз1п(й11+а), чР=Вз1п(й21+(3), где х — вертикальное смещение центра масс вагона, чг — угол, образуемый полом вагона с горизонтом; А, В, а, 6 — постоянные интегрирования; п1 с Л/2сдД, йа = 1/2сдР(ЯР'). А зт 55.16(54.16). Исследовать малые Ф свободные колебания груженой платформы веса Р, опирающейся в точках А и В на две рессоры одинаковой жесткости с. Центр масс С платфор- К задаче М.16 мы с грузом . находится на прямой АВ, причем АС= а и СВ =Ь.
Платформа выведена из положения равновесия путем сообщения центру масс начальной скорости ие, направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен Хс = 55.19(54.19). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны р1 и рд. Ответ: Й,= 1/д/р,, йд= уК!Рм 55.20(54.20). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью га вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку.
Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке р~ и рь Ответ: Частоты малых колебаний являются корнями уравнения йд — ~2ге'+ ~ + ~ ~ йе + (сед — ~ ) (гад — ~ ) = О. 55.21(54.21). Круглый однородный диск радиуса г и массы г)4 связан шарниром со стержнем ОА длины 1, могущим поворачи- ваться около неподвижной горизонтальной а) оси. На окружности диска закреплена мате- ! риальная точка В массы и. Определить ча- стоты свободных колебаний системы.
Массой 2 стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня ОА. 1 Ответ: Частоты свободных колебаний яв- лаются корнями уравнения л "чг- М+т 1 + т г+(1 е 'у М+ЗтЕ М г 1( 2т(м+ т) са К задаче Мл! М(М+ Зт) 5б.22(54.22). На проволочную окружность радиуса Р, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединенные пружиной жесткости с, имеющей в ненапряженном состоянии л длину 1е. Определить движение колечек, приняв их за материальные точки массы гп. Принять, что в начальный момент ~р1 =О, а колечко В отклонено от своего равновесного положения на величину дуги, равную 2)гр. Начальные скорости колечек равны нулю. Ответ: <р, = 9 (1 — соз гс(), <ре = 2а + +() (1+ сов М), и=агсз1п 2", й= ~~/ — сов~.
(а . 12с 55.23(54.23). Определить малые колебания математического маятника длины 1 и веса Рь подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Рь прикрепленному к пружине жесткости с. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропор- 422 циональное его скорости (Ь вЂ” коэффициент пропорциональности).
Найти условия, при которых в случае Ь = 0 главные частоты данной системы будут равны между собой. Ответ: 1) х=А,е "ез!п(1/lг2 — Ь2/+е,), ар=А з(п(Ь2/+з2), Ья з А. А„ч,,— е р а А=--~ — ее~. 2) Главные частоты будут одинаковы (при Ь = 0), если Р,+Р, с= 55.24(54.24). Два одинаковых жестких стержня длины Р имеют общую точку подвеса О. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга.
К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и Аэ массы п2 1' В А К аадаче Гй.24 К заааче 2223 К задаче 56.22 каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.
Ответ: Ь = 2г — сова, Ь2= ~( — созьа+ — сова, где /и /2с 2 и а = агсз1п —. 2АЧ ' 55.25(54.25). К движущейся по заданному закону я = $(/) платформе подвешена на пружине жесткости се механическая система, состоящая из массы ть к которой жестко присоединен в точке В поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна т2, опирается на пружину жесткости с2, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; р — коэффициент сопротивления.
Составить уравнения движения системы. 423 Ответ: пггхг + йхз — 5 ха + (с, + сз) хг — сзхз = сД (1), агзхз — () хз+ + бхз — сгхз + сзхз = О. 55.26. Тяжелый однородный стержень длины ! и массы пг, нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении е помощью пружины жесткости с. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии а, подвешен на нити длины г груз М массы тз. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могут совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
о,,:,> „, (,„~-азз — (,„,„<-~р„) (лз,1+ 2лзза) 2 2 Ь2 аз~1 +З а + сг,с„0, где аи = ', азг = лггггт, алг = агзг, сп = з = с!2- (лчз1+ 2лзза) 2 2 , см=агзйт. К залаче Зг.зз К залаче 55.25 К залаче 55.Ж 55.27. Однородная балка АВ длины 1, массы вгз опирается в точке В на пружину жесткости с, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке Е балки на расстоянии а от шарнира А на стержне длины т с помощью шарнира подвешен груз М массы пгз. В положении равновесия балка АВ горизонтальна.
Найти уравнение малых колебаний балки н груза. Массой стержня пренебречь. Ответ: зр а, з(п (йз1 + зз), зт = аз з(п (в21 + 52), где й, = ~/ 1,+з, й,= ~/ —, а ап аз, е,, 52 — постоянн е ни- 'з/ лз з 12 + Злзз тегрирования. 55.28(54.27). Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют величины 71 875 105 кг смз, Уз =560 105 кг смз, гз — — 3020 кг смг, 12 = 105 кг смз, передаточное число /г = х~/аз =5; жесткости валов при кручении сз = 316Х 10' Н.см, сз — — 115.102 Н см; массами валов пренебречь.
Ответ: !гг = 54,8с-', йз — — 2,38 105с-'. 55.29(54.28). Определить, пренебрегая массой зубчатых колес, частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче. Ответ: й = 58,7 с '. 55.30(54.29). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины 1, свободно лежащей на двух опорах и наг груженной в точках х = 3 1 и х= 3 1 двумя равными грузами веса Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
