1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 81
Текст из файла (страница 81)
55.49(54.49). Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из которых образовано массой и9, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости с. Параллельно с этой пружиной к массе пРисоединена пРУжина жесткости сь свЯзываюшаи массУ иг с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы х= хез)п 999 задан.
Показать, что при значениях аа, лежащих в с~ с т т К ааааче 99Л9 К ааааче 99.99 определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс изменяются с расстоянием по гармоническому закону, Найти соот. ветствуюшие граничные частоты. /с, с|+ 4с Ответ: Полоса пропускания — < 99 < 55.50(54.50). Система большого числа масс 9и, насаженных на расстоянии а друг от друга на струну АВ, натянутую с усилием Т, и поддерживаемых пружинами жесткости с, является полосовым механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить частоты, отвечающие границам полосы пропускания. Ответ: Полоса пропускания определяется неравенством 55.51(54,51). Нить длины и1 подвешена вертмкально за один конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга и материальными точками с массами и9. Составить уравнения движения.
Найти для и = 3 частоты поперечных колебаний нити. Ответ: Уравнения движения имеют вид хь = ~ [(и — lг) х„, — (2и — 25 + 1) хе+ (и — й+ 1) хьа,), 9 где ха — поперечное смешение /с-й частицы (отсчет номеров ведется сверху); сг1=0,646~/дЯ, й9=1,515 ч/а/1, йе — — 2,505~/дф. 55.52(54.52). Определить частоты свободных поперечных колебаний натянутой нити с закрепленными концами, несущей на себе и масс и, отстоящих друг от друга на расстояниях 1.
Натяжение нити Р. 9 р Ответ: 0=2 ~/ — „, з1п —, 1~(з~и — 1, 6 56. Устойчивость движения 56.1(55.1). Двойной маятник, образованный двумя стержнями длины 1 и материальными точками с массами т, подвешен на горизонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси г. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Массой стержней пренебречь. Ответ: При д/((оР) ) 1+1/1/2 вертикальное положение равновесия маятника устойчиво. 56.2(55.2). Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубХ~ 2~ ки, изогнутой по эллипсу -г+ —, = 1 и вращающейся вокруг вертикальной оси Ог с постоянной угловой скоростью а (ось Ог направлена вниз).
Определить положения относительного равновесия шарика и исследовать их чэстойчивость. Ответ: При гоэ ( йс/а два положения равновесия: а) х = О, г с (устойчивое); б) х = О, г — с (неустойчивое). При во)йс/аз существуют три положения равновесия: а) х=О, г = с (неустойчивое); б) х = О, г = — с (неустойчнвое), в) г = = дсо/(оРаэ) (устойчивое). 56.3(55.3). Тяжелый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе хэ = 2рг и вращающейся е постоянной угловой скоростью в вокруг оси Ог.
(Положительное направление оси Ог — вверх.) Определить положение относительного равновесия шарика и исследовать его устойчивость. Ответ: Существует единственное положение опавновесия г = О; оне устойчиво при оР( й/р и неустойчиво при в ) д/р, при оР= = й/р — безразличное равновесие. 56.4(55.4). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью е.
Потенциальная энергия П(з) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой з, отсчитываемой вдоль кривой, г(з) — расстояние точки от осн вращения. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки. геп в г вгч Ответ: ~ — — — ~тг — ~оР) ) О, где зо определяется из в оя ве ) уравнения (-3 — ) =оР (тг — „' ) 56.5(55.5). Показать, что материальная точка массы т под действием центральной силы притяжения г = аг" (а =сопз1, г— расстояние точки до притягивающего центра, п — целое число) может совершать движение по окружности с постоянной скороетью.
Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению к координате г. Ответ: При и( — 3 движение неустойчивое, а при и ) — 3 устойчивое. 56.6(55.6). Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси г/Т, вращающейся вокруг вертикальной оси Ог с угловой скоростью а. Точка О- — центр инерции тела; плоскость 1т*ТО яв- ляется плоскостью симметрии, ось 06 — главной осью инерции. Ось Кь параллельна НТ, ось ЕР проходит через точку 0 и перпендикулярна НТ и 06. Моменты инерции тела относительно осей 06, И, и ЕР равны соответственно С, А и В; й — длина отрезка 06; М вЂ” масса тела.
Определить возможные положения относительного равновесия и исследовать их устойчивость. Ответ: Возможным положением относительного равновесия отвечают следующие значения угла отклонения линии 06 от оси Ог: а) зр = 0 (устойчиво, если В ( С; при В > С оно устойчиво, если озз < Мдй/( — С), и неустойчиво при мз ) Мяй/( — С)6 б) зр = я (неустойчиво, если В > С; при В ( С оно устойчиво, если озз ) Мдй/(С вЂ” В), и неустойчиво при озз < Мдй/(С вЂ” В); в) зр = агссоз [Май/(( — С) озз) ] (существует, если оз' ) ) Мйд/]  — С]; устойчиво при В > С и неустойчиво при В < С), 56.7(55.8).
Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира 0 к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью м; маятник симметричен относительно своей продольной оси; А и С в его мо- 36 менты инерции относительно „ ь главных центральных осей в инерции $, и и ь; й — расстояние центра тяжести маятника от шарнира.
Исследовать Ю устойчивость положений рав- .=-:.= Ф новесия маятника и определить улаф период колебаний около сред- е~~ него положения равновесия. Ответ: Положения равнове- /( Ф СИЯ И ИХ УетОйЧИВОСтЬ ОПРЕДЕ- К задаче 66.6 К задаче 66 7 ляются формулами, данными в ответе к задаче 566 (в них нужно положить В =А+ Мй'). Пв. 1 (л+м»з)(л+м»з — с) риод колебаний Т = 2поз.у (Л + 56.8(55.9). Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса г и веса О может свободно вращаться вокруг точки А.
В точке В она удерживается двумя пружинами. Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости соответственно равны сз и сз, причем сз ) сь Пружины кренятся к оси диска на расстоянии Е от нижней опоры; расстояние диска от нижней опоры 1. Определить угловую скорость оз, которую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вращения. Ответ: При 01(с,Лз система устойчива при любой угловой скорости; при Ф ( сзЕ6 система устойчива, если оз ) оз*, где ~/Е1 ыа + 4!а) а у с,б* 1 е,1.9 система неустойчива при любой угловой скорости.
56.9(55.10). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности кругового пилиндра рак диуса а, ось которого наклонена под углом а к вертикали. Исследовать устой- а чивость движения по нижней (<р =О) и дг верхней (чр = я) образующим. Определить период колебаний при движении по нижней образующей. В а р, Ответ: Движение по верхней образующей неустойчиво; период колебаний при возмущении движения вдоль нижней образующей Т = 2п т/а/(д з!и а).
5610(55.11). Материальная точка вы- нуждена двигаться по внутренней глад— кой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями х = р соз чр, у=рз|п $, г= Ьз1пб, р= а+ Ьсозб (ось а направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоянством угла О, и А исследовать нх устойчивость. Ответ: Значения 0 = д; =сопя( нахо- дятся из уравнения К аадаче бб.б (1+ а соз 61) = — (3 с1Н бь где сб = Ь/а, 6 = у/(аачб), чб = 19 = сопз1.
Это уравнение допускает два существенно различных решения: — и/2 <01 <О, и/2 < 09(п. Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второму в неустойчиво. К аадаче %.9 К задаче 99.19 56.11(55.12). Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью чб по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а, Ответ: Движение устойчиво, если 199 ) у/(4а). 56.12(55.13). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна.
Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении о. Исследовать устойчивость движения. я+а Отает: Движение устойчиво при о ) 4( +4(з) пй 56.13(55.14). Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса а, врашаюшегося вокруг вертикального диаметра с угловой скоростью ю. Нижняя точка обруча соприкасается с горизонтальной плоскостью. Ответ1 Движение устойчиво при озз ) (2/3) (дг/а). 56.14(55.15). На материальную точку массы пт, отклоненную от положения равновесия, действуют сила Го по величине пропорциональная отклонению ОМ = = г = 1/ха + уз из этого полол) 1 жения и направленная к нему; 1 сила 1се, перпендикулярная 1 1 первой (боковая сила), по ве- Р~ личине тожепропорциональная отклонению г: ~)с,~= спг, м ,' ,~~~~.).тд ~зое~ = с„г. Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного положения точки.
1 1 У к а з а н и е. В таких условиях будет находиться точечная масса, закрепленная на свободном конце сжатого и скрученного стержня (с одн- К задаче зз.ы иаковыми главными жесткостями на изгиб), нижний конец которогозаделан. Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Ковффициенты сн, с„зависят от сжимающей силы, скручивающего момента,длины стержня н от жесткостей на изгиб и кручение. Ответ: Равновесие неустойчивое. 56Л5(55.16). При исследовании устойчивости движения точки в предыдушей задаче принять во внимание силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости тт', = — ()х, 1тз = — 61) 9 в коэффициент сопротивления).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
