1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 83
Текст из файла (страница 83)
направлении, имеют вид ф+2Ьф+ Жр= Ме при ф ) О, ф+ 2Ьф + Ьтф = О при ф < О, где Ь, Ь и Ме — постоянные величины. Считая, что 2Ь/Ь ч.,; 1, Ме/Ьа щ. 1, применить метод медленно меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося движения маятника. Ответ: Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла м на плоскости (~р, ф) равен —,—,, где Т= —.
57ЛЗ(56.13). Применяя в предыдушей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования. Мо ! Ответ: фз= — ° фа=О. йт ! — е ГЛАВА Х!'т' ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Решение приведенных в втой главе веровтвостных задач статики и кинема. тики основывается на использованвн соотношений, связывающих вероитвости выполнения неравенств с параметрамн, которые входят в зти неравенства. Если и — случайная величина, длв которой известны математическое ожидание (среднее значение) ш, и среднее квадратическое отклонение а„ то вероитность а нахождения величины и в интервале ( †, а), т.е. вероятность выполнении неравенства и ( а, определяется следующим образом: < и ) Р ( ь ) ь а„ вде р(й) — иормированнав функции распределении.
для гауссовского распределении значения Р(с) приведены в табл. !. Таблица ! Вероятность того, что выполинетсв неравенство и ) и, определиетсв спввующвм образом: р = р(и > и) 1 — р($). Прн гауссовском распределении дли определенна значений аргумента $, соответствующих заданным звачениим вероятности щ удобно использовать ' табл. й, Таблица 2 Р (В) «~5 0,0005 0,001 0,050 0,100 0,010 — 3,4 — 3,1 — 1,3 — 2,3 0,990 0,900 0,999 0,950 0,500 Р (в) О,'. 995 3,4 3,1 2,3 !,б 1,3 0.0 Вероятность нахождения величины и в интервале (а, Ь) определяется выражением р (а < и < Ь) Р (зз) — Р (3!), $! ", Фз " ° а« о„ Вероятность того, что величина и не попадает в интервал (а, Ь), равна р (и < а) + р (и ) Ь) 1+ Р (3!) — Р (Ы.
Интервал (а, Ь) называется симметричным, если 1 — и р(«<а) р(и) Ы вЂ” () 2 Если случайнаи величина и представляет собой линейную комбинацию взаимно статистически независимых случайных величия и! с известными математическими ожиданиями ти ! и средними квадратическими отклонениями а,щ, и ~си, ! 1 то математическое ожидание ш„и среднее квадратическое отклонение аи слу- чайной величины и определяются следующим образом: ш«- Х с!ш«! «- Х д! «!.
! ! ! 1 Если зависимость и от и! нелинейная, и !р(иь °... и«), ио отклонения величин и! от их математических ожиданий тм малы, то зависи- мость следует линеаризовать. Тогда « !р (ш„н..., ш„„), „~!' ( ~~й-1 чба! lо ! ! При решении задач о колебаниях систем при случайных воздействиях используются основные соотношения теории случайных процессов. Если на линейную динамическую систему, положение которой определяется обобщенной координатой д(!), действует стационарная случайная вынуждающая сила Я(Г), то )становившийся режим вынужденных колебаний характеризуется спектральной плотностью 8д'(е)' обобщенной координаты д(1), котораи определяется следую- щим об азом: Р 8 (е) [А(еЦ28 (а). эдесь 8 (е) спектральная плотность вынуждающей силы 0(г), А(а) — амплио тудно-частотная (резонансная) харантеристика системы.
Квадрат установившегося среднего квадратического отклонения обобщенной координаты определяется как интеграл 18( ° ! 2н Если спектральная плотность 8,(е) представляет собой дробно-рациональную функцию Ь2 2+12 8д(а) = сза +с а +с (1) то ЬОС2+ Ь!СО (2) о 2сесзл/с! + 2сдсз При гауссовском распределении вынуждающей силы среднее число выбросов процесса д(1) за уровень Ь на интервале времени (О, Т) определяется следующим выражением: где шд — математическое ожидание (среднее значение) процесса д0), а т„ среднее квадратическое отклонение производной процесса д(1), определяемое итегралом о - — ~ е 8 (а)Ие. 2 1 2 2н 3 д Ю При подынтегральном выражении вида (1) велвчина а, находится по форму- 2 ле (2). 2 58.
Вероятностные задачи статики 58.1. Каток радиуса тг = 0,5 и и массы т = 800 кг упирается в жесткое препятствие. Высота препятствия й может быть различной; предполагается, что й можно считать случайной величиной с гауссовским распределением, д) причем ее математическое ожидание равно ть = = 0,1 м, а среднее квадратическое отклонение равно оь = 0,02 м. Определить вероятность а! к „л„,шз того, что горизонтальная сила Я! = 4900 Н достаточна для преодоления препятствия. Определить, при каком значении силы Я = Оз вероятность преодоления препятствия равна аз = 0,999. Ответ: а! =0,16, Яз — — 8300 Н. 58.2.
Вертикальная подпорная стенка высоты 6 =5 м постоянного сечения толщины а = 1,1 м нагружена гидростатическим давлением воды, уровень которой может быть различным. Плотность материала стены составляет 2,2 т/мз. Считая высоту Н уровня воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским законом распределения, с математическим ожиданием ти = 3,0 м и средним квадратическим отклонением ои = 0,5 м, определить вероятность опрокидывания стенки. Определить также минимально допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероятность ее опрокидывания не должна превышать 3 10-а, Ответ: 0,001; 1,5 м.
К задаче зз.з К задаче аз.з 58.5. Определить необходимую силу Я затяжки болта, соединяющего две детали, находящиеся под действием растягивающей силы Р, исходя из того, что вероятность проскальзывания должна быть 5 10-'. Сила Р и коэффициент трения ! между деталями могут принимать различные значения; предполагается, что их можно считать независимыми случайными величинами с гауссовским законом распределения, причем их математические ожидания соответственно равны тр = 2000 Н, те=0,1, а средние квадратические отклонения ор = 200 Н, аз = 0,02. Ответ: Я = 63000 Н. 58.4. Груз массы т = 200 кг находится на шероховатой наклонной плоскости. Наклон плоскости и коэффициент трения скольжения могут быть различными.
Угол у наклона плоскости относительно горизонта и коэффициент трения ! считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, их математические ожидания соответственно равны т =0 и т~ =0,2, а средние квадратические отклонения равны от = 3' и вз = 0,04. Определить значение горизонтальной силы 9, достаточной для того, чтобы с вероятностью 0,999 сдвинуть груз по плоскости. указа иие.
Считать соду аа К Ответ: Я= 780 Н. 58.5. В однородном круглом диске радиуса тт' = 1 м на расстоянии ! от центра вырезано круглое отверстие радиуса г. Величины 1 и г могут принимать различные значения, они считаются случайными, независимыми, подчиняющимися гауссовскому распределению. Их математические ожидания соответственно равны т~ = = 0,1 м и т, = 0,05 м, а средние квадратические отклонения равны о~ =0,01 м и в, =0,005 м. Определить такое значение смещения центра масс относительно центра диска, вероятность превышения которого составляет 0,001. В выражении для смешения центра масс пренебречь слагаемыми с произведениями отклонений величин 1 н г вт их математических ожиданий. Ответ: 4,2 10-' м.
58.6. На уравновешенном роторе, масса которого равна 1000 кг, симметрично относительно оси вращения закреплены две однотипные детали А1 и Аь Случайные отклонения ЛМ1 и ЛМз их масс М~ и Мз от номинального значения (математического ожидания) и случайные смещения Ьхь Ьуь Лхз и Луз их дт центров масс относительно точек, ле- "'4 д, жаших на одном диаметре на расстоя- нии 1 = 1 м от оси ротора, приводят — — к тому, что центр масс С ротора вме- Ю Я сте с деталями оказывается смещенным относительно оси. Поэтому координаты хс и ус центра масс являются случайными. Предполагается, что случайные величины Мь Мь Ьх„йуь Лхм Лур независимы н распределены по гауссовскому закону, их математические ожидания соответственно равны тм — — т = !00 кг, и „ = = тд„ вЂ” — шд„ =т „, = О, а средние квадратические отклонения равны вдм вдд, — — 0,5 кг, вд, — — вд„— — вд, — — вд„— — 3 мм.
Определить границы симметричных интервалов для координат хс и ус центра масс ротора вместе с деталями, вероятность нахождения в которых равна а = 0,99. Ответ: ( — 0,91; +0,91) мм. 58.7. Однородная прямоугольная платформа массы 1000 кг подвешена к опоре на четырех тросах одинаковой длины, сходящихся в одной точке. Расстояние платформы до точки подвеса равно Ь 2 м. На платформу установлены четыре груза малых размеров. Массы и расположение грузов случайны. Предполагается, что массы грузов и их прямоугольные координаты х; и уь отсчитываемые от центра платформы, взаимно независимы и имеют гауссовское распределение.
Математические ожидания масс всех четырея грузов одинаковы н равны тм = 100 кг, среднеквадратические отклонения также одинаковы и равны ом — — 20 кг, Координаты гру. зов имеют нулевые математические ожидания, средние квадратические отклонения координат равны в = 0,5 м и в„=0,7 м. Опре. делить границы таких симметричных интервалов для углов наклона О, и й„платформы, находящейся в равновесии при установленных грузам, вероятности нахождения в которых равны 0,99. Углы считать малыми. Отввп ( — 11', +11'), ( — 15', +15').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
