1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Ответ: Равновесие устойчиво при 5'сп > лтс",;. 56.16(55Л7). Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жесткости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действуюшие на массу т, определяются выражениями Пз = — С11Х+ С1тр, Ря = Ст1Х вЂ” СЗЗН. Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равновесия. Ответ: При (сп — с„)' + 4сшсм ) О равновесие устойчиво. 56.17(55,18). Уравнение движения муфты центробежного регулятора двигателя имеет вид тх+ рх + сх = А (оо — ао), где х — перемещение муфты регулятора, гп — инерционный коэффициент системы, 5 — коэффициент сопротивления, с — жесткость пружин регулятора, го — мгновенная и гоо — средняя угловые скорости машины, А — постоянная.
Уравнение движения машины имеет вид ов 1 — = — Вх и ( — постоянная, 1 — приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя). Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора. Ответ: Система устойчива при АВ ( 1ср/ло (с, 5, 1, А, В считаются положительными). 56Л8(55.19). Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси.
На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М н М' — массы верхнего и нижнего волчков, С н С' — их моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с н с' — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев; Ь вЂ” расстояние между остриями.
Угловые скорости волчков 11 н й'. Вывести условия устойчивости системы. Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой степени (А А~ + МЬо (А Мсо)) о 4 ( (А~С (У + С(1 (А~ + МЬо)) Ьз + + [А (М'с'+ МЬ) я + (А' + МЬ') Мся+ СС'И3') Ьо + +(СИ(М'с'+МЬ)я+С'И'Мед) Х+МС(М'с'+МЬ)й'=9 различны и вещественны. 56.19(55.20). Деталь 1 перемещается поступательно с постоянной скоростью во и через пружину передает движение ползуну 2. Сила трения между ползуном и направляющими 8 зависит от ско. рости ползуна и следующим образом: Н = Но з(дп о — ав + 5во, где Но, а, р — положительные коэффициенты.
Определить, при каких значениях по равномерное движение ползуна является устойчивым. Ответ: в' > а/(Зр). 56.20(55.21). Агрегат, состоящий из двигателя 1 и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент з К задаче %29 К задаче 50.2о инерции Уз, приложен момент М!, зависяший от угловой скорости ротора ф: М! = Мо — р!(Ф вЂ” ооо).
К валу машины, имеющему момент инерции У2, приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала чр! М2 МО Р2(ч)! 020) . Коэффициенты 12! и ро положительны. Определить условия, при КОТОРЫХ ВРаЩЕНИЕ СИСТЕМЫ С УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ 029 ЯВЛЯЕТСЯ УетОйчивым. Ответ: р » " !" с> тает: р! И2,— 7! !з! Р!72 !!271 $57. Нелинейные колебания 57.1(56.1). При испытаниях рессор была получена «треугольная» характеристика изменения упругой силы. При отклонении рессоры от положения статического равновесия имеет место верхняя ветвь (с!) характеристики, К при возвращении — нижняя ветвь (с2) характеристики.
В начальный момент рессора отклонена от положения статического рав- т с - — — †'а '"лз новесия на хо и не имеет начальной скорости. Масса надрессЬрного тела л2, массой рессоры пре- ! небречь; коэффициенты жестко- К задаче 99.1 сти рессоры с! и сд. Написать уравнении свободных колебаний рессоры для яервой половины полного периода колебаний и найти полный период колебаний Т. Ответ: При возврашении рессоры в положение статического равновесия х = хосозй21, при отклонении от положения статического равновесия Йз .
/ я Й \ / 1 ! х= — хо — з!п ~Й21 — — -2-), Т= я1 — + — 1 ° Й! 2 Йз * Йз Йа Л ' Й, = т/с,/т, Йд= у'ср/т. 57.2(56.2). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи свободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и т. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости с1/см соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики.
Ответ: Последовательные значения амплитуд через каждые полпериода колебаний убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем йе/й~,' с1/сз = 3,4. 57.3(56.3). Масса т колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой с. На одинаковых расстояниях Л от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры к х мл происходят с коэффициентом восстановления, рав- ным единице, определить закон движения системы при периодических колебаниях с частотой е. Найти возможные значения е. Ь ° г ях Ответ: х= — 21пй~~ — — ! при 0(4( — ~йз= — ), е)й.
ай ~ 2е! е т и«вЂ” 2е 57.4(56.4). Решить предыдущую задачу в предположении, что имеется только нижний упор. Ь га 2а Ответ: х =— ай е соз ~ — — 4) при 0»(1»( —, й(е(2й. е савв 57.5(56.5). Определить зависимость амплитуды первой гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид тх+ гоз1ип х+ сх = О. 4Ро Ответ: а1= „(а«», ) . 57.6(56.6). Движение системы описывается уравнением х+(хе+ йохз — ат)х+ йзх = О, Определить амплитуду автоколебательного процесса, возникающего в системе; исследовать его устойчивость. Ответ: а = а/й; автоколебания устойчивы в большом.
57.7(56.7). Выявить условия, при которых в системе, рассмотренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к гармоническим колебаниям частоты й = ~/с/т, где с в коэффициент жесткости пружины, т — масса ползуна. Определить прн ближенно амплитуду этих автоколебаний.
«, а о 4 та Ответ: 0 8 — < о' < —, а = — ~ — — о ) . зр о зр й* ~ зр о! ' 438 57.8(56.8). Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 56.19, сила трения Н постоянна и равна Нз при о ~ 0 и равна Н1 при и = 0 («трение покояа), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна вг, а коэффициент жесткости пружины с. 1+ а' (Н, — Нз) й Т=1, + — (1 — сов И1), где а= ла сое в= Ответ г с = чг —, гз — наименьший корень уравнения аз(пИ, =созИ~ — 1. ~/ лз' 57.9(56.9). Масса гп связана с неподвижным основанием пружиной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы сопротивления в котором не зависит от скорости и равна Н.
На одинаковых расстояниях Л от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить значение Н, при котором вынуждающая сила Р сои Ы не может вызвать субгармонических резонансных колебаний, имеющих частоту ез/з (з — целое число).
У к а з а н и е. Определять условия существования периодического режима, близкого к свободным колебаниям системы с частотой ге/з. Ответ: Для четного з Н ) 0; для нечетного в Ответ. а = 2а, Т = — ~!в йи / Зптазч й ~ 2аз г'' 57.12(56.12). Уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном 57.10(56.10). Центр однородного кругового цилиндра, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной вертикали с центром диска, когда диск находится в положении равновесия.
Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с. В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна 1. Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения. а Ответ: Т=41 чг6 — з1 =4т/3 чг — — К~=), где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода. 57.11(56.11). Методом малого параметра определить амплитуду а и период автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением х + йах = р ((аз — хз) х — тхл) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
