1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 77

! Ответ: Я1 — 2аРо= 12а'с, Т=2п ~/— о( Е ! — 2аРо/(Ф) 54.23(53.23). Показать, что при условии предыдущей задачи увеличение периода колебаний при отклонениях маятника от положения равновесия на угол фо — — 45' не превышает 0,4%. Каково будет при этих условиях изменение периода простого маятника? Ответ: Сохраняя в уравнении движения маятника член ф', по- 4 ч) /! 1 ! 'Ро! лучим Т=2пл(— (1+ — 1; для простого маят- М ~ „/! — 2оР,/О! оч ника при отклонении на угол 45' изменение периода составляет 4%.

54.24(53.24). При условиях задачи 54.22 маятник отрегулирован так, что Я1 = 2аРо Найти период малых колебаний маятника при отклонении его от положения равновесия на угол фо. ! 4! /че Г о(д ! / Ответ: Т = — .у — ) = 5,24 — ~/ —. =.„и.,) „/-,=; — -,. ч., о 54.25(53.25). В маятнике паллографа груз М маятника повешен иа стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О н шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АОь качающимся вокруг неподвижной оси Оь При каком условии вертикальное положение стержня ОМ маятника будет положением устойчивого равновесия? Найти период малых колебаний маятника около этого положения. Размерами груза и массой стержней пренебречь. (Размеры стержней указаны на рисунке к задаче 53.16.) Ответ: г1 — г( тЯ, Т=2п(Ь вЂ” г+1) лl ч 1г) — (а —,)2)е- 54.26(53.26).

Пренебрегая массой стержней найти период малых колебаний маятника, изображенного на рисунке. Центр масс груза находится на продолжении шатуна шарнирного четырехзвенника ОАВО1 в точке С. Е В положении равновесия стержни ОА н ВС вертикальны, стержень 01В горизонтален1 ! . ОА =АВ = а; АС=ж Ответ: Т = 2п а+а 0 )/д (з — а) ве 54.27(53.27). Определить период колебания груза Р массы т, подвешенного на пружине с закрепленным верхним концом, если коэффициент жесткости пружины равен с, масса пружины та. Принять, что отношение отклонений двух точек пружины от своих положений равновесия равно отношению соответствующих расстояний этих точек до закрепленного конца пружины. 1 ~а + — аь 3 Ответ: Т.=2п у 54.28(53.28).

На нижнем конце вертикального цилиндрического упругого стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в своем центре горизонтальный диск с моментом инерции У относительно вертикальной оси, проходящей через центр; момент инерции стержня относительно его оси равен Ум коэффициент жесткости стержня при закручивании, т. е. момент, необходимый для закручивания нижнего конца стержня на один радиан, равен с. Определить период колебаний системы. Ответ: Т = 2п т+ то)з 54.29(53.29). Груз веса Я укреплен посредине балки, свободно опертой на концах; длина балки 1, момент инерции поперечного сечения Х, модуль упругости материала Е.

Определить, пренебрегая массой балки, число колебаний, совершаемых грузом в минуту. Ет Ответ: а=2080 ~у —,, причем за единицу длины принят сантиметр. 54.30(54.33). Двутавровая балка с моментом инерции сечения У = 180 см', длины 1=4 м лежит на двух одинаковых упругих 410 опорных пружинах, жесткость которых-с=1,5 кН/см, и несет посредине груз веса О = 2 кН. Пренебрегая весом балки, опре. делить период свободных колебаний системы. Модуль упругости материала балки Е = 2 10' кН/смз. Ответ: Т=0,238 с. К задаче 34.31 К задаче зч.за 54.31(53.34). В конце В горизонтального стержня АВ длины 1, заделанного другим концом, находится груз веса'О, совершающий колебания с периодом Т.

Момент инерции сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, равен У. Найти модуль упругости материала стержня. 4язята Ответ: Е= з~ тз икта 54.32(53.35). Диск массы М и радиуса г может катиться без скольжения по горизонтальной прямой. К диску жестко прикреплен стержень длины 1, на конце которого находится точечная масса вт, К задаче М.ЭЗ К задаче И.33 Найти период малых колебаний системы. Массой стержня пренебречь.

за "~.~ ! о: т з 54.33(53.36). На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса Р положен призматический брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси цилиндра. Длина бруска 21, высота 2а. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жесткости с. Йредполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колебаний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен Уа. Маз+ Хз 0; т з 413 54.34(53.37). Острота амплитудно-частотной характеристики системы с одной степенью свободы при действии силы трения, пропорциональной скорости, характеризуется «половинной шириной» амплитудно-частотной характеристики.

«Половинная ширина» амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью между двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна половине амплитуды, сответствующей резонансу. Выразить «половинную ширину» амплитудно-частотной характеристики Л через «коэффициент расстройки частот» г = ев/й и через приведенный коэффициент затухания 5 = и/й.,!(ать приближенную формулу для случая 5 «1 (еа — частота вынуждающей силы, Й вЂ” часто!з собственных колебаний; при резонансе г = 1). Ответ: «Половинная ширина» амплитудно-частотной характеристики равна А=ге — х! =1/1 — 2ба+25 чз'3+ ба — 1/! — 25« — 25 !/3+ба, или, если б «1, Л "- 25 ~/3. 54.35(53.38). В вибрографе, употребляемом для записи вертикальных колебаний, стержень ОА, соединенный с пишущим пером прибора, может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень ОА на конце А несет груз Я и удерживается в горизонтальном положении равновесия спиральной пружиной.

Определить относительное движение стержня ОА, если виброграф укреплен на фундаменте, соверша юшем вертикальные колебания по закону з = 0,2 яп 25! см. Жесткость при кручении пружины с = 1 Н см, момент инерции стержня ОА с грузом Я относительно О равен Х = 4 кг сма, 1,!а =!00 Н см. Собственными колебаниями стерж- К задаче М.35 ня пренебречь. Ответ: чр = 0,0051 яп 255 54.36(53.39). В вибрографе, описанном в задаче 54.35, стержень снабжен электромагнитным тормозом в виде алюминиевой пластины, колеблющейся между полюсами неподвижно закрепленных магнитов. Возникающие в пластине вихревые токи создают торможение, пропорциональное первой степени скорости движения пластины и доведенное до границы апериодичности.

Определить вынужденные колебания стрелки прибора, если последний закреплен на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону г = йяпрй 4!2 Ответ: х = а~р = Яда "1'+; 1 2 — р яп (рг — з), 1я в = рз а т г 54.37(53.40). Вертикальный двигатель массы М1 закреплен иа фундаменте, имеющем плошадь основания 8; удельная жесткость грунта равна Х. Длина кривошипа двигателя «, длина шатуна 1, угловая скорость вала ш, масса поршня и неуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, равна Мз, масса фундамента Мз., кривошип считать уравновешенным при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь.

Определить вынужденные колебания фундамента. У к а з а и н е. При расчетах пренебречь всеми членами, содержащими малое отношение «/! в степенях выше первой Ответ: Смешение центра масс фунда- мента от положения равновесия Мзгыз (М, + Ма) (йз — ыз) Г М,гыз + ~м, + м,>~а — м> ЛЯ где Й= ~+М. 54.38(53.41). Рассчитать вес фуида- К задаче зз.зг мента под вертикальный двигатель массы М = 1О' кг таким образом, чтобы амплитуда вынужденных вертикальных колебаний фундамента ие превосходила 0,25 мм. Площадь основания фундамента 5 = 100 мз, удельная жесткость грунта, находящегося под фундаментом, Х = 490 кН/мз.

Длина кривошииа двигателя « = 30 см, длина шатуна 1= 180 см, угловая скорость вала ш =8п рад/с, масса поршня и других иеуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, т =250 кг, кривошип а считать уравновешенным при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь. У к а з а н и е. Воспользоваться ре- ч зультатом решения предыдущей задачи ~~~~ и ограничиться приближенным решением,' отбросив член, содержащий «(й Проверить законность уназанного приближен задаче зе.зз ния Ответ: 6 = 3592,7 кН. 54.39(53.42). Электромотор массы М = 1200 кг установлен иа свободных концах двух горизонтальных параллельных балок, заделанных вторыми концами в стену. Расстояние от оси электромотора до стены 1= 1,5 м.

Якорь электромотора вращается со скоростью п =50п рад/с, масса якоря па =200 кг, центр масс его отстоит от оси вала иа расстоянии « = 0,05 мм. Модуль упругости мягкой стали, из которой сделаны балки, Е = 19,5 10' Н/смз. Определить момент инерции плошади поперечного сечения так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний не превосходила 0,5 мм.

Весом балки пренебречь. Ответ: / ='8740 смз или /=8480 см'. 54.40(53.43). Кулачковый механизм для привода клапана может быть схематизирован в виде массы т, прикрепленной с одной стороны с помощью пружины жесткости с к неподвижной точке и получающей с другой стороны через пружину жесткости сз движение от поступательно движущегося кулачка, профиль которого таков, что вертикальное смешение определяется формулами х,=а11 — гозаг) при 0(1(2я/в, к=0 при Г > 2я/е. Определить движение массы и. Ответ: При 0(1< 2я/Оз *- "' Е а — ° а!+ "' Π— ° аз, где й= При 1) 2я/зз груз совершает а+ с~ свободные колебания К заааче ЗЧАО 54.41(53.44).

Для записи крутильных колебаний употребляется торсиограф, состоящий из легкого алюминиевого шкива А, заклиненного на валу В и тяжелого маховичка Р, который может свободно вращаться относительно вала В. Вал связан с маховичком Р спиральной пружиной жесткости с. Вал В движется по закону у = а1 + Чза з(п Оз1 (равномерное вращение с наложением гармонических колебаний).