1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 78

Момент инерции маховичка относительно оси вращения /. Исследовать вынужденные колебания маховичка торсиографа. Ответ: Угол относительного поворота Ч>заза МаХОВИЧКа ЗГ = 7 з З1П ОЗе. К задаче ЗФЗ! 54.42(53.45). Для гашения колебаний коленчатого вала авиационного мотора в противовесе коленчатого вала делается желоб в форме дуги окружности радиуса г с центром, смещенным на АВ=1 от оси вращения; по желобу может свободно двигаться дополнительный противовес, схематизируемый в виде материальной точки. Угловая 414 скорость вращения вала равна со. Пренебрегая влиянием силы тяжести, определить частоту малых колебаний дополнительнога противовеса.

Ответ: /с = оо т/1/г 54.43(53.46). К грузу веса Р, висящему на пружине жесткости с, в начальный момент времени приложена постоянная сила Р, действие которой прекращается по прошествии времени т. Определить движение груза. Ответ: При 0(1(т х = — [1 — соз ~/+ при т(1 х = — [соз .тт — (/ — т) — соз т/ — /~.

с" Г /св /св 1 'Ч Р 'Чр 1 54.44(53.47). Определить максимальное отклонение от положения равновесия системы, описанной в предыдущей задаче, в К эеоеее ое.ео случае действия сил различной продолжительности: 1) т = О, 1ппРт= о (удар); 2) т = Т/4; 3) т= Т/2, е-е о где Т вЂ” период свободных. колебаний системы. Ответ: 1) х =,~/' ~~Р 8; 2) х,„= т/2 — = т/2 х„; 3) х,„ Р =2 — =2х„. с 54.45(53.46). Найти закон движения маятника, состоящего из материальной точки, висящей на нерастяжимой нити длины 1, Точка подвеса маятника движется по заданному закону $ = $(г) по горизонтальной прямой.

Ответ: Угол отклонения маятника от вертикали ~р изменяется по закон у оо = с, з1п /с/ + со соз вг — — + — ~ ~$(т) з1п /с (/ — т) е(т, 1(0 'ь г о где /с= т/дЛ. 54.46(53.49). На материальную точку массы и, подвешенную на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, заданная условиями: при /<О; и ри 0 ~( / ( (т; при /) т. 415 Определить движение точки и найти амплитуду колебаний при 1) т. с'с Г 2 г тх .

етч /с Ответ: х = — !ь1 — — соз й ~1 — †) з(п — ~; й = ,~/ †; с ь ьт ~ 2) 2 м 2Ро ° ес А = — з!и —. ьст 2 54.47(53.50). На груз массы т, висящий на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, изменяющаяся по закону Я(1)= = Р~з!псе!~. Определить колебания системы, имеющие частоту возмущающей силы. Ответ: При 0(1(я/св — с!— д г. ья 1 Р ссл(сс — вс) ь 2в 1 т(в' — л) /с = ~/с/вс. 54.48(53.51). Определить критическую угловую скорость (относительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине диск веса Р.

Рассмотреть следующие случаи: 1) вал на обоих концах опирается на длинные подшипники (концы можно считать заделанными); 2) на одном конце вал опирается на длинный подшипник (конец заделан), а на другом — на короткий подшипник (конец оперт). Жесткость вала на изгиб Е/, длина вала 1. /192еУу /768е/е 54.49(53.52).

Определить критическую скорость вращения легкого вала длины 1, если вал лежит на двух коротких подшипниках и на выступающем конце длиной а несет диск веса Р. Жесткость вала на изгиб Е/. / зе/в Ответ: св„с= т/ 54.50(53.53). Определить критическую скорость вращения тяжелого вала, лежащего одним концом в коротком подшипнике, а другим — в длинном; длина вала 1, жесткость вала на изгиб Е/, вес единицы длины вала д. Ответ: се„р= 15,4 т/ —,.

/Е3д Ч ч!' ф 55. Малые колебания систем с несколькими степенямн свободы 55.1(54.1). Для экспериментального исследования процесса регулирования гидравлических турбин сконструирована установка, состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции относительно оси вращения /~ — — 50 кг сме,маховика с моментом инерции Уе = 1500 кг смт и упругого вала С, соединяющего ротор турбины с маховиком; вал имеет длину 1= 1552 мм, диаметр с! = =-25,4 мм, модуль сдвига материала вала О =8800 кН/смз.

Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков, найти то сечение ти вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период Т свободных У колебаний системы. з ~ а Ответ:а=50 мм, Т= 1ра =0,09 с, В5В И:В ', йй1 йВВ 55.2(54.2). Определить ча- мп — вцв ' е' ми ща стоты свободных кр утильных и колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на од- К задаче 55Л ном конце, с насаженными посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инерции каждого диска относительно оси вала 1; жесткость иа кручение участков вала с1 = с, = с. Массон вала пренебречь. Ответ: й, = 0,62 1/с/1, ла = 1,62 1/с/1.

55.3(54.3). Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одинаковыми дисками. Два диска закреплены на р концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала 1; жесткость на кручение участков вала с~ = = сд = с. Массой вала пренебречь. Ответ: йч = 5/е/1, Йд = ч/3с/1.

55.4(54.4). Два одинаковых маятника длины а и массы вр каждый соединены на уровне + + й упругой пружиной жесткости с, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоско- К задаче 55.4 сти равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на угол а от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников н массой пружины пренебречь. й, + й, йа — й, Ответ: ф,=асов ' ' 1соз 2 2 й~ + йа ф =аып ' ' 151п 2 2 где ф1 и фа — углы отклонения маятников от вертикали и й = т/ —. Й = т/ — + —. 1Е !я 2сйз 'Ч1 ' ' '~/1 тм К задаче %.5 55.5(54.5). Диск массы М может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу.

К центру диска шарнирно прикреплен стержень длины й на конце которого находится точечный груз массы т. Найти период малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь. 14 И. в. Мещерский 417 Ответ: Т = 2я зм ЗМ+ 2ги 55.6(54.6). Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс дугой окружности радиуса )т, найти частоты малых колебаний рассматриваемой системы. Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения ЗМ Йе — ( — 2(М+ из) д е ) вз 2(М+ из) Ез = 0 ЗМ+2т 1 (ЗМ+2ги) (й — г) ) 1 (ЗМ+2из) (гч — г) ( «задаче зз.я « задаче Заг 55.7(54.7).

Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т, соединенного с ползуном стержнем длины 1, могущим вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жесткости с, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы. Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения 55.8(54.8). Два одинаковых физических маятника подвешены на параллельных геризонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников.

Пренебрегая сопротивлением движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждого маятника Р; радиус инерции его относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса, р; жесткость пружины с, расстояния от центра масс маятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равны соответственно 1 и й.

(См. рисунок к задаче 55.4.) д) (Р( -)- 2еьз) е Ащ Ам' Ответ: йз= й2— — =1, — '= — ). ! 3 ) (2 ' з р(2„) (2) ' ло> ' л(я 55.9(54.9). Однородный стержень АВ длины Е подвешен прн помощи нити длины 1=0,5Е к неподвижной точке. Пренебрегая массой нити, определить частоты главных колебаний системы н ем в найти отношение отклонений стержня н нити от вертикали при первом н втором главных колебаниях. Ответ: й, = 0,677ЧЩ в2 = 2,558 ~Щ в первом главном ко- лебании фз = 0,847ф2, во втором фз = — 1,180фь где фз и ф2— амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.

е 55.10(54.10). Предполагая в предыдущей у, задаче, что длина нити весьма велика по срав- нению с длиной стержня, и пренебрегая ква- дратом отношения а./1, определить отношение низшей частоты свободных колебаний систе! ч 1 мы к частоте колебаний математического маятника длины 1. ~' 4! 1 5 Ответ: 1 — — —. 4 1 55.11(54Л1).