Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 12

Нетрудно показать, что А — непрерывный линейный оператор с требуемыми свойствами (задача 8). ° Функция В(, ) на ЯГ, удовлетворяющая условиям (1) и (И), называется полуторалинейной форвюй, П.З. Ортомормироваиныо базисы Мы уже определили, что понимается под ортонормированным множеством векторов. В этом разделе мы разовьем дальше эту идею; в частности, мы распространим понятие «базиса», столь полезное в случае конечномерных векторных пространств, на полные пространства с внутренним произведением.

Если Я есть ортонормированное множество в гильбертовом пространстве М и не существует другого ортонормированного множества, содержащего Я как собственное подмножество, то В называется ортонормированным базисом (или полной ортоиормированной системой) пространства Ж. 8. Оотонормиоооаоэао бооиои Tеорелгез 11.б. Всякое гильбертово пространство М имеет орто- нормированный базис. Следующая теорема показывает, что, как н в конечномерном случае, всякий элемент гильбертова пространства может быть представлен в вмде линейной комбинации (возможно, бесконечной) элементов базиса.

Теорема 1об. Пусть М вЂ” гильбертово пространство н 5 = (х )аеА — его ортонормированный базис. Тогда для каждого у~ЯГ у- 2; (х., у)ха аеА (П.1) Цуце= ~ ~(х, у) ~е. (И.2) Равенство в (11.1) означает, что сумма в правой части сходится (незавнснмо от порядка) к у в Ж. И обратно — если ~ ~ с )е < оа, аеА са ~ С, то Х саха сходится к некоторому элементу нз Яг. аеА Дохааилельслмо. Мы уже убедились в $ 11.1 (неравенство Бесселя), что для любого конечного подмножества А' щ А выполняется неравенство,Я ~ (х„, у) ~е а ~~ у ~~е. Следовательно, (х, у)~0 аЕА для не более чем счетного множества индексов а нз А, которые мы упорядочнм каким-либо образом: ее,, а„ а„ ....

Далее, и поскольку ~~.'„~ (х, у) ~е монотонно возрастает н ограничена, она 1=! Доказаслельаизо. Рассмотрим набор М ортонормированных множеств в ЯГ. Упорядочнм Ж по включению, т. е. будем считать, что 5,(Я„если Я, <-5е. С таким определением отношения ( множество Ж становйтся частично упорядоченным; оно не пусто, так как если о — любой элемент нз ЯГ, то множество, состоящее нз единственного вектора оу'~~о)), уже есть ортонормнрованное МНОжЕСтВО. Пуе'ГЬ тЕПЕрЬ (Яа) ЕА — ЛвбОЕ ЛИНЕФНО уПОрядОЧЕННОЕ подмножество нз й'.

Тогда 0 8 есть ортонормированное мно- аеА жество, содержащее каждое 5 н являющееся, таким образом, верхней гранью для (Ю ) еА. Поскольку всякое лннейно упорядоченное подмножество нз Ж имеет верхнюю грань, мы можем применить лемму Цорна (теорема 1.2) н заключить, что 1х имеет максимальный элемент, т. е. такую ортоиормнрованную систему, которая не содержится как собственное подмножество нн в одной другой ортонормнрованной системе. ° !!. Гшвбереоеы щедра!!егьа сходится к конечному пределу, когда М вЂ” ао.

Пусть у„= л =. ~ (х „у)х„, Тогда при п>л! с=! л !!а л !1ул У,,!! Х (хв!, У)хв! = Х ~(хе!~ У)! . Следовательно, (у,) есть последовательность Коши, и она схо- дится к злементу у' из ~. Заметим, что л (ц ц хц~) = (пп у Х (х~! ~ у) ха!~ ха! -а л-+ м ~ ~м! -(у, и,;) — (у, „,)=О. А если а~я! для какого-либо 1, то (у — у'., х )= 1пп (у — ~ (х,, у)х, х =О.

л-~ р ч !ж! Следовательно, у — у' ортогонален ко всем хв из В. Так как 5 †полн ортонормированная система, должно быть у — у' О. Итак, л у= !!и!,Я (х„, у)х !-~~о !=! и (11.1) выполняется. Далее, О= 1пп у — ~~.", (х р у)х ! = '!1ш ~~~у!~' — Х !(х р у) !' л-ьв ~ !ю! = !! у ф — ~~~~~ ~ (х, у) !', так что (11.2) тоже выполнено. Простое доказательство обратного утверждения мы опускаем'. ° Заметим, что (11.2) называется равенством Парсеваля.

Козффициенты (х„, у) часто называ!от коэффициентами Фурье элемента у относительно базиса (х!). Причина такой терминологии скоро выяснится. Опишем теперь процесс построения ортонормированного множества из произвольной последовательности независимых векторов (ортогонализация Грама — Шмидта).

Пусть даны независимые з! д. Орпвнермиоееаннме баэиеи векторы и», и„...; положим о» = »о»Л»о» 1! о, =»о,/1~ »о, 1~, !о,=и„ »о,=и,— (о„и,) о», е-1 »о„=и — ~~~~~ (о, и„)о», е ! о„= !о„,г'~~ »о„(~. Семейство (о») есть ортонормированное множество, причем оно обладает тем свойством, что для каждого щ множества (иД» и (о!Ц', порождают одно и то же пространство. В частности, множество конечных линейных комбинаций всех о то же, что и множество конечных линейных комбинаций всех»(» (см. рис. 11.2).

Ряс. 11.2. Ортогояеяязецяя Греме — Шмидта. Заметим, что пол»аномы Лежандра (с точностью до постоянных множителей) пойучаются применением процедуры Грама— Шмидта к функциям 1, х, х*, х', ... на интервале ! — 1, 1] с обычным внутренним произведением в Ь'. Овределнм»»е. Метрическое пространство, имеющее счетное плотное подмножество, называется сепарабельиым. е Большинство гильбертовых пространств, с которыми приходится практически сталкиваться, сепарабельны. Следующая теорема характеризует их с точностью до изоморфизма. Теорема П.Т. Гильбертово пространство Я~ сепарабельно тогда н только тогда, когда оно имеет счетный ортонормированный базис Я.

Если Я содержит У < со элементов, то Яо изоморфно С'". Если Я содержит счетное число злементов, то Яо иэоморфно 1, (пример 3 $ П.1). П. Гшабертовн щюалраисева 62 Дояазэлмльапао. Допустим, что Я~ сепарабельно и 1х„) — счетное плотное множество. Выкидывая некоторые из х„мы можем получить подмножество независимых векторов, оболочка которых (совокупность конечных линейных комбинаций) содержит 1х„) и, следовательно, плотна. Применяя процедуру Грама — Шмидта к этому подмножеству, мы получим счетную полную ортонормированную систему, Обратно, если (у,) есть полная ортонормированная система в гильбертовом пространстве Ж, то из теоремы 11.6 следует, что множество конечных линейных комбинаций у„ с рациональными коэффициентами плотно в Я~.

Так как это множество счетно, Я~ — сепарабельно. Предположим, что М сепарабельно и что (у„)„", †полн ортонормированная система. Определим отображением: Я~ . 1, формулой Я: х- 1(У„, х))~7,. Теорема П.6 показывает, что это отображение корректно определено и сюръективно. Легко показать, что оно унитарно. Доказательство того, что Ж изоморфно С'~, если 3 состоит из У элементов, аналогично. ° Заметим, что 'в сепарабельном случае процедура Грама,. Шмидта позволяет построить ортонормированный базис без обращения к лемме Цорна. В заключение этого раздела приведем пример, показывающий, как гильбертовы пространства естественно возникают в задачах классического анализа. Если 1'(х) — интегрируемая функцйя в интервале 10, 2п1, то мы можем определить числа Формальный ряд — ~ с е'"" называется рядом Фурье для 1. 1 Классическая задача состоит в том, для каких ( и в каком смысле ряд Фурье для ( сходится к (.

Эта задача, зародившаяся у Фурье в 1811 г., имеет богатую событиями историю. Целая область современной математики — абстрактный гармонический анализ — выросла из этой задачи. Некоторые из самых красивых результатов, относящихся к классическому случаю, были доказаны совсем недавно (см. Замечания). Как пример классического результата приведем следующую теорему (задачи 14 и 15): А Ортонорниааванные базисы Теорема И.В. Пусть 1(х) — периодическая с периодом 2п непрем рывно дифференцируемая функция. Тогда функции ~ч~' „с»ем" ' -м равномерно сходятся к 1(х) при М- аа. Эта теорема дает достаточные условия равномерной сходи- мости ряда Фурье.

Но найти точный класс функций, ряды Фурье которых сходятся равномерно или поточечно, оказалось очень трудно. Однако можно получить простой и красивый ответ на этот вопрос, если изменить самое понятие «сходимости»; тут мы и придем к гильбертову пространству. Набор функций (2я)-ы«ерыл)~„образует ортонормированное множество в1«[0,2«с]. ли бы мы знали, что это полное ортонормнрованное множество, то теорема 11.6 позволяла бы заключить, что для всех функций в Е'[О, 2п] 1(х)= Нгп ~ч~, '(2п)-зме,е' в смысле сходимости по норме Е«. Докажем, что система !(2п)-име'""!" в самом деле полна, опираясь на приведенную выше классическую теорему. м Теорема И.В.

Если 1~Е»[0, 2п], то,3 с (2я)-'lзе'лл сходится к 1 по норме Е' при М вЂ” ао. Докамижвство. Мы должны установить, что множество С' [0,2п] периодических непрерывно дифференцируемых функций плотно в Е»[0, 2п]. В задаче 2 от читателя требуется показать, что в Е»[0, 2п] плотны ступенчатые функции. Но ступенчатую функцию можно аппроксимировать (в Е«) функцией из Ср[0, 2п], если сгладить ее углы и изменить значение на одном конце, чтобы она стала периодической. Читатель должен убедиться, что при этом можно получить функцию, сколь угодно близкую к ступенчатой по норме Ез. Убедимся в том, что ((2п)-м»е'лл)"„есть полное множество; достаточно показать, что из (ем", я)=0 прн всех н следует В=О. Предположим, что 1Е С' [О, 2п]; тогда в силу теоремы 11.8 4. сл (2я)-з~леслл равномерно, а значит, и в смысле Е'. Следовательно, (~, и)= !!т ( Х сл(2п)-м»если, В =О, М Ф М П.

Гильбертоем лрлсералслмэ если (е' ", я) 0 при всех и. Но тогда я ортогональна ко всем 1 из плотного множества С~р[0, 2п1, откуда вытекает, что а=О. Итак, ((2п)-м' е' "1 „есть полное ортонормированиое множество, и из теоремы. 11.6 следует, что ряд Фурье любой функции из 1.'10, 2п] сходится к этой функции по норме Е.'. ° Эта теорема показывает, что естественное понятие сходнмости рядов Фурье — это сходимость в ЕР, и иллюстрирует один из основных принципов функционального анализа: следует выбирать абстрактное пространство и понятие сходимости, подходящие для данной задачи,— такое пространство, в котором можно доказать хорошие теоремы.