Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 13

Поступая таким образом, мы избегаем многих трудностей; это имеег свои преимущества, но и свои недостатки. П.4. Тензорные пронзвевеннн гнпьбертовых пространств В 2 П.1 и 11.2 мы описали некоторые способы построения новых гильбертовых пространств из данных. Теперь мы опишем тензорное произведение М, ®Ю, двух гильбертовых пространств Я~, и М,. Мы приведем хотя и не самую красивую, зато очень ясную конструкцию, и читатель сможет без труда строить тензорные произведения М', ®М, ® -..

®М, любого конечного числа гильбертовых пространств. Пусть Я~, и Я~,— гильбертовы пространства, Для любых ~рЯй2', и НЯМ, обозначим через ~р,®~р сопряженную билинейную форму, действующую на Ю,хЯ®Г, так: (Р ®та) (<ф ° фз)) = (ф 'р ) (ф„<Рз) Пусть 4' — множество конечных линейных комбинаций таких сопряженных билинейных форм; определим внутреннее произведение (, *) на 8, полагая (р®ф ч®р)=(ю» ч)(ф. р) н продолжая это равенство по линейности. Предложение 1. (, ° ) корректно определено и положительно определено. Доказалмльслмо. Убедимся, что (А, А') не зависит от того, при помощи каких линейных комбинаций выражены Х и А'. Для этого достаточно показать, что если р — конечная сумма, с помощью которой выражена нулевая форма, то (11, р)=0 для всех 4.

Тессаорссссе ссрссссасеЭесссса ссс ссбгрссмеви ссррссссрсснсрссс 66 с)К,йс. Положим и= ~ сс(сус®фс); тогда с=с ( ° р) =,Х ~с ( З ), р = Х сср((срс, фс))- -О, поскольку р — нулевая форма. Значит, ( °, ° ) определено корректно. Предположим теперь, что Х= ~ да(с)„®р„).

Тогда (с)„Я'с с н ()саЯ'с порождают подпространства М, с Яс н М, с Я, соответственно. Пусть (срс)с='с н Щ~ ',— ортонормнрованные базисы для М, н М,; тогда каждое с)а можно выразить через ср~, а каждое р„через ф,. Получим сс„ссс, :Е ср(ьйфс)- с с.с Но (Х, Х) фс~,(ср~®фс), ~~~,'сс„(у;®ф„)) = = Хс,ссс„(ср„«рс)(фс, ф ) =~~с~с ~*; у,с отсюда видно, что если (Х, Х) О, то все с~с=О н Х вЂ” нулевая форма.

Следовательно, форма (, .) положительно определена. ° Овределемае. Пусть Яс ЭМ,— пополнение сз. по определенному выше внутреннему пройзведейию (-, ° ); ррс®Ю, называется тензорным произведеннем М, и М,. Предлозсенае 2. Если (срссГ н (фс) — ортонормнрованные базисы в Мс н М, соответственно, то (сра®фс) есть ортонормнрованный базис в Рс,®Р~с. Докашиеаьаиао.

Для упрощения обозначений рассмотрим случай, когда оба РГс н зср, бесконечномерны н сепарабельны (в осталь'- ных случаях ничего не меняется). Ясно, что множество (ра®фс) ортонормировано, н, значит, достаточно показать, что 4' содержится в замкнутом пространстве 5, натянутом на семейство (ср» «Ц. Пусть ср ®ф Е о-. Так как (~рД н фс) — базисы> то ср= ссср„н ф=;~;сссфс, причем ~~с,~'< асс н ~сссС*(се. Значит, ~~сфс~' ( ссо.

Следовательно, по теореме 11.6 в 3 сущест- 11. Гссссайертавсс»ростррссет»а вует вектор р = ~~~~ ~с»с(сф»® срс. Прямое вычисление показывает, что ». с ~~ ср ®Ф —,Я с»Й,ф„®с)сс ~) О с<»с при М, ссс- ао. ° Покажем, каким образом естественно возникают тензорные произведения; для этого обратимся к тем гильбертовым пространствам, с которыми читатель уже знаком. Пусть сначала <М„ )сс> и <М„)с,) — пространства с мерой. Предположим, что 1Р (М„4»с) и Ь (М„4»,) сепарабельны (см. задачи 24 и 25 к этой главе и задачу 43 гл. 1У). Пусть (ф»(х)) и (срс(у)) — базисы в Е* (М„4сс,) и в ( (М„4с,) соответственно.

Тогда (ср» (х) срс (у))— ортонормированное множество в Е (М, х М„с()сс®4»,). Покажем, что на самом деле это базис. Допустим, что. ~(х, у) ~Е'(МсхМ„ 4»,®сс)с,) н что К 1 ( , У) ф (х) срс Ы Ф.(х) 4»,(У) = О м,хм, для'всех й и с. По теореме Фубини получаем ~ ~ ~ ~(х, у) ср»(х)д)сс (х)) сРс(у)4» (у) О. м, ~м, Так.ккк ٠— базис в Ь*(М„4»,), то ~ ~ (х, у) ф„(х) с()с, (х) = 0 м| всюду, кроме множества Я»с= М„для которого (»,(5») =О. Значит, если у ( () Я», то ) ~ (х, у) ф» (х) 4ссс (х) = 0 при всех й, откуда м~ видно, что ~(х, у)= 0 п.

в. по мере )с,. Следовательно, ~(х, у)=0 п. в. по мере р, ®(с,. Таким образом, (ф» (х) срс (у)) — базис в Ь'(МсхМ» 4»с®4»»). Определим тепе®рь отображение (~: ф»®срс~ ф»(х)с(сс(у) Оио переводит ортонормированный базис пространства С*(М,,И)с )®с.* (М„4»,) в ортонормированный базис пространства 1'(сстсх М„4»,®4»,) и однозначно продолжается до унитарного отображения Е'(М„4»с) ®с. (М„4с,) на й*(Мсх М„4»с ®йр,).

Е. Тенворныв обои»о«овнов еивооертовых нооооцюнотв б7 Заметим, что если 1цЕ (М„4«,), д~Е (М„с1)с«), то и У®у)=и(Хож»ЭХАфс)=и йсФс в®ф)- в,с = ~ч~~овс(рв (х) ф, (у) = 1 (х) д (у). Из-за этого свойства часто говорят, что Е (М,хМ«4«с®4««) и Е'(М„4»,) ®Е*(М„4»,) «естественно» изоморфны. Пусть М;= Г«н (с; — мера Лебега; тогда мы показали, что Е'(Г««) естественно изоморфно Е (~) ®Е (К).

Вернемся теперь к примеру 6 $11.1: <М, )с> — пространство с мерой и Ж' — сепарабельное гильбертово пространство с базисом (срв». В задаче 12 от читателя требуется показать, что каждый элемент у ~ Е*(М, 4»1 Ж') есть предел л(х) =' 1ип,Я (~ро, у(х))се'~р» Н-~в Я=! конечных линейных комбинаций векторов вида 1» (х) ср„где 1»(х) ЕЕ*(М, 4«). ОпРеделим тепеРь отобРажение м м (1: Х 1о(х) Всрв Х 1 (х) ж ° Оно корректно определено и отображает плотное множество в Е*(М,4»)®ЯГ' на плотное множество в Е*(М,4«; аз'), сохраняя норму; следовательно, 0 однозначно продолжается до нитарного оператора из Е (М,4»)®Яо' на Е (М,4«; Уо'). аметим, что при этом У(1(х)®ср)=1(х)~р для всех ~р~Я".

В этом смысле У называется естественным изоморфизмом между Е*(М, с()с)®ус' и Е*(М, 4«; М'), Подытожим это обсуждение в следующей теореме: Теорема И.10. Пусть <М„)с,> и <М„(с,> — пространства с мерой, такие, что Е*(М„4»,) н Е (М„4»«) сепарабельны. Тогда: (а) Существует единственный изоморфизм между Е* (М„4»с)® ®Е'(М„с1)с«) и' Е*(М«хМ„4»,®с(1с,), такой, что 1®у 1у.

(Ь) Если лк' — сепарабельное гильбертово пространство, то с~ществует единственный изоморфизм между Е (М„с(р,) ®Й' и е (м„с()с,; Я"), такой, что 1(х) ®час (х) <р. (с) Существчет единственный ®изоморфизм между Е~(М,х М„ 4«, ®4»») и Ев(М„, д(с,; Е (М„с1(с«)), такой, что 1(х, у) переводится в функцию х 1(х, ). Пример 1. Гильбертовым пространством состояний при квантово-механическом описании одной шредннгеровой частицы со спином 1/2 является Е' (Г«', йх; С ), т. е. множество пар 1фс (х), ф,(х)1 квадратично интегрируемых функций (с(х — мера Лебега). з» П.

Гэлабвртовы»растра»сева В сил~ установленного выше, С~(К', Нх; С ) естественно изомор- фно Ь (й') ®С*. Пример 2 (пространства Фока). Пусть Я' — гильбертово прост- ранство; обозначим через Ю* и-кратное тензорное произведение М'"=Я'®М'®...®М'. Положим ЯГ'=С и К(ЯР) = Я М'". » э У (Я) называется пространством Фока над ЯК; оно сепарабельно, если сепарабельно Я'. Йапример, если М=Ь'(К), то элемент .фб У (Яг,) есть последовательность функций ф= (ф„ф, (х,), ф, (х„х,), ф, (х,, х„х,),...1, такая, что ~ ф» 1~+ Х ~ 1 ф» (лг ° ° ° ° э л») !~ ах~...пх» < ее, »»4 и» Обычно в квантовой теории поля употребляется не само К (М), а два его подпространства.

Эти подпространства строятся так. Пусть Є— группа перестановок я элементов, и пусть фри — базис в Я'. Для каждого одаб»„определим оператор (будем обозначать его тоже о) на базисных элементах М'», полагая (~р», ®'рм ®... ®'рэ») = 'рэапо ®~э»оз ®' ' ® ~рэ»(»г Оператор а по линейности продолжается до ограниченного (с еди- 1»- ° пичной нормой) оператора на Я'", и можно положить Я„= —, > о. э1 2» »»Я»» Легко показать (задача 23), что Я= Я„и Я„"=Я„, так что 5„— ортогональный проектор (читатель.

незнакомый с сопряженными операторами и с ортогональными проекторами, пусть поищет их определения и элементарные свойства в гл. Ч1). Область значений оператора Я„называется и-кратным симметричным тензорным пронзведенйем Я'. Если М=Ь'(К) и М"'=С*(К) ®... ...®1.'(Р) = Ь*(К»), то Я„Я"' есть подпространство в ХР (К»), состоящее из всех функций, инвариаитных относительно любых перестановок их аргументов. Положим теперь Т,(Я~)= ЯЗ„Я'". У;(ЯГ) называется симметричным пространством Фока над Ю, или бозонным пространством Фока иад Я'.

Пусть а( ) — функция из Р„в 11, — 11, равная 1 на четных и — 1 на нечетных перестановках. Положим А„= — „, ~ в(о)й; 1» э»У» д. Эреодинескаа теория. Введение 69 тогда А„есть ортогональный проектор в Яи. Его область значений А„,Жи называется и-кратным антисимметричным тензорным произведением М'. Если ЯГ=1.е(ее), то А„Я' есть подпространство в 1е(ри), состоящее из функций, нечетных относительно перестановки двух координат. Подпространство 1г (Я) Я А Я'и и=о называется антисимметричиым пространством Фока над Яз, или фермионным пространством Фона над,Ж. !1Л. Эргоднческая теория. Введение В этом разделе мы кратко обсудим эргодическую теорию.

Для этого потребуются некоторые понятия, которые мы строго определим только в гл. т'1: сопряженные операторы, проекторы, ядро и область значений оператора. Читатели, еще не знакомые с этими понятиями, должны заглянуть в гл. Ъ'1.

Но мы хотим привести это обсуждение именно здесь, так как эргодическая теория хорошо иллюстрирует силу и слабость методов гильбертова пространства и дает прекрасный пример взаимосвязи функционального анализа и математической физики †главн темы всего нашего курса. Как мы увидим, вопрос о том, почему макроскопическая система стремится к равновесию, очень удобно формулировать иа языке абстрактных пространств, но за это приходится платить: естественный вопрос в абстрактной постановке слегка отличен от исходного, и может возникнуть соблазн удовлетвориться более слабыми результатами. Утверждение «любая система приближается к равновесному состоянию» называют иногда нулевым началом термодинамики.