Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 11

Всякое пространство У с внутренним произведе- нием есть нормированное линейное пространство с нормой(~х'(' =' = (х, х)ы*. Дохазательслмо. Так как У вЂ” векторное пространство, нам надо только показать, что ~( Й обладает всеми свойствами нормы. Все эти свойства, за исключением лишь неравенства треугольника, непосредственно следуют из свойств (1) †(!ч) внутреннего произ- ведения.

Пусть х, убей Тогда в силу неравенства Шварца Цх(-уЦ*=(х, х)+(х, у)+(у, х)+(у, у)= =(х, х)+2Ке(х, у)+(у, у)( <(х, х)+2~(х, у) ~+(у, у)( ~(х, х)+2(х, х)ы*(у, у)ы*+(у, у). Следовательно, ~~ х+ у ~~* ( (~~ х ~~ + ~~ у ~~)*, что доказывает неравенство треугольника. ° Эга теорема показывает, что в У имеется естественная метрика д(х, у) =)~(х — у, х — у).

Тем самым мы получаем понятия сходимости, полноты и нлотности, определенные для метрических пространств в 5 1.2. В частности„мы всегда можем пополнить У до нормированного линейного пространства У, в которое У изометрически вложено как 1.

Гевмвтрия гиабераааа «рзсгщюис~ива плотное подмножество. При этом г' — также пространство с внутренним произведением, поскольку внутреннее произведение может быть продолжено с г' на Р по непрерывности (задача 1). Ов!ридилямае. Полное пространство с внутренним произведением называется гильбертовым пространством. Пространства с внутренним произведением называют иногда предгильбертовыми пространствами. О!зрздн.ммае. Говорят, что два гильбертовых пространства Ж, и Я', нзоморфны, если существует линейный оператор У из Я', на ЯГ„такой, что (Ух, Уу)!з,=(х, у)!зт для всех х, убей,. Такой оператор называется унитарным. Мы разовьем введенные понятия в ряде примеров н попутно познакомим читателя с разными типами гильбертовых пространств, которые- ему могут встретиться. 11~замзр 2(опять.Р). Определим Е* [а, Ь1 как множество комплекснозначных измеримых на конечном интервале [а, Ь)функций, удовлеть воряющих условию 1(1(х) !'с(х < ао.

Определим внутреннее про- О наведение формулой ь (1, и) = ) 1(х) й!(х) Их. О Заметим, что такое внутреннее произведение имеет смысл, поскольку !1(х)и(х)(«ь,— ~1(х)(*+ — (а (х)(', так что 1(х) й(х) принадлежит Е! [а, Ь1. Доказательство, анало- гичное доказательству теоремы Рисса — Фишера (теорема 1.12), позволяет убедиться в том, что 1Р[а, Ь1 полно и есть, таким образом, гильбертово пространство. Не так трудно показать (задача 2), что Ь'[а, Ь1 есть пополнение С[а, Ь1 по норме ь 1/й !!!-(1~пи ) . Пр!кмер 3 (1,).

Определим 1, как множество последовательностей (х,)", комплексных чисел, удовлетворяющих условию ~ ~ х„~'< ео, з=! с внутренним произведением ((х„»„" „(у„)„!) = ~ х„у„, е ! Ы. Гильбертови лросэчюнсева В $ П.З мы увидим, что всякое гильбертово пространство, имеющее счетное плотное множество и не являющееся конечномерным, изоморфно 1,. В этом смысле 1, есть канонический пример гильбертова пространства. Л»замер 4 (Ь' (К", 4в)). Пусть р,— мера Бореля в Р'. Рассмотрим множество 1.'(К", Ыр) комплекснозначных измеримых функций на Е", удовлетворяющих условию ~ !1(х) !* ар< со. Тогда Ь' (Р', йр) Кв есть гильбертово пространство с внутренним произведением (1, и) = ) 1" (х) л(х) др. на Л)вя.нар Я (прямая сумма). Пусть Ж, и Я~,— гильбертовы пространства.

Тогда множество пар <х, у>, где хЕМ'„убЯ'„есть гильбертово пространство с внутренним првизведением (<х„, у,>, <х„у,>) (х„х,) и, + (у~, у,) м,. Это пространство называется прямой суммой пространств Я1~ н Яг, н обозначается Я',®Я',. Если пг и р,— взаимно сингулярнйемерыБореля на К й р и,+п„то 1,Ь(К, бр) естественным образом изоморфно ~,п(й, Ыр,)ЩЬ'(К, 4а,) (задача 3). Можно также следующим образом построить счетную прямую сумму.

Пусть (зк,»„" — последовательность гильбертовых пространств. Обозначим через Я' множество последовательностей (х„»„", где х„~ Я~„удовлетворяющих условию Х !»х !»*м,(я . Тогда ЯГ есть гильбертово пространство с естественным внутренним произведением; оно записывается в виде ЯГ= Я Я'„. д»зп.мер 6 (векторнозначные функции). Пусть <Х, р> есть пространство с мерой и М" †некотор гильбертово пространство. Пусть Ь*(Х, Щ Яз') есть множество измеримых функций иа Х со значениями в Я", удовлетворяющих условию 1 »У(х)»»*м 4 (х) <-.

х Это множество является гильбертовым пространством с внутренним произведением (~, я) = $ (1 (х), и (х)), сКр (х). 4 2. Лемма Рисса зз Разумеется, следует еще сказать, что понимается под измеримостью для векторнозначных функций. Соответствующее определение и другие родственные вопросы обсуждаются в задаче!2 и в дополнении к 5 1Ч.5.

11.2. Лемма рисса В примерах $ 11.1 мы показали несколько различных путей построения новых гильбертовых пространств из данных. Еще один способ получается, если рассмотреть какое-нибудь замкнутое подпространство М данного гильбертова пространства ЯГ. С тем естественным внутренним произведением, которое оно наследует из Ж М есть гильбертово пространство. Обозначим через М ь множество векторов в я, ортогональных к ееу; М~- называется ортогональным дополнением М. Из линейности внутреннего произведения следует, что М~- есть линейное подпространство в ЯГ, и элементарное рассуждение (задача 6) показывает, что еФ~- замкнуто. Следовательно, М~ — также гильбертово пространство.

Подпространства М и Мь имеют единственный общий элемент— нулевой. Теорема, которая приводится ниже, утверждает, что для любого замкнутого собственного подпространства существуют перпендикулярные к нему векторы. На самом деле их столько, что У =М+М1=(х+у~хбеей, уев. Это важное геометрическое свойство — одна из главных причин, благодаря которым гильбертовы пространства проще в обращении, чем банаховы (гл. П1). При доказательстве следующих леммы и теоремы читатель должен иметь в виду конечномерный пример (см. рис. 11.1). Ряс, П.1.

Проехцая я яа м$. П. Гильбертаем пространства Лемма. Пусть М' — гильбертово пространство, М вЂ” его замкнутое подпространство, и пусть х~Ж. Тогда в М существует единственный элемент х, ближайший к х. Доказалельство; Пусть й= 1п( ~~х — у~[. Выберем последователь- УЕФА ность (у,), у„ЕМ, такую, что ~1х — д.~1- А Тогда ~~ у„— у й* = й (у — х) — (у, — х) ~~*= = 2 ~~у„— х[~'+2йд — х~~' — ~~ — 2х+у„+у„~~'= =2~~у .— х~~'+2[~у — х~~* — 4~~х — Ч,(у„+у ) ~~'», ( 2 ~~ у„— х ~~*+~~ у„,— х1~' — АР 2сР+2ср — Ы'=О. Второе равенство вытекает из тождества параллелограмма; неравенство следует из того, что Ч,(у,,+у ) баФ. Таким образом, (у„) — последовательность Коши й, так как М замкнуто; (у„) сходится к некоторому элементу х из Ф.

Отсюда непосредственно- следует, чта ~~ х — г ~~ = И. Доказательство единственности мы оставляем читателю в качестве упражнения. ° Теорема 1ЬЗ (теорема о проекции). Пусть М вЂ” гильбертово про- ' странство, аФ вЂ” его замкнутое подпространство. Тогда любой элемент х йМ' однозначно записывается в- виде х =з+ю, где «беФ, а, ш~заФ1. Доказппмльстзо. Пусть х Е,рр.

Тогда в силу леммы существует единственный элемент г Е М, ближайший к х. Положим в=х — г; тогда мы, очевидно, имеем х=г+и. Пусть убМ и гбк. Если Ы=зх — зз, а*х.,~~ х — (э+ ~у) ~~*= ~~ш — ануй* = =ср — 2~Ее(ш, у)+Р~~у~)*. Значит,— 21Ке(в, у)+С*(~у~~* чО при всех Ф, откуда следует, что Ке(в, у) = О. Подобное рассуждение с заменой г на (г по- - казывает, что 1т(в, у)=О. Следовательно, шЕМ~.. Единствен- ность мы предлагаем читателю доказать самостоятельно. $ Теорема о проекции устанавливает естественный изоморфизм между МЯМ~ и Я'. (г, иО~ з+ю. Мы часто будем опускать этот изоморфизм и писать просто ф= М®аФх. к. Лемма Раева В $1.2 мы уже определили, что подразумевается под ограниченным линейным преобразованием из одного гильбертова пространства М в другое М'.

Обозначим множество таких преобразований через .У (Ж, М'). Очевидно, что.У (Я', Я") есть векторное пространство; оно становится банаховым пространством, если ввести норму !! Т !! зпр !! Тх !!я'. вка Ж Доказательство этого факта мы отложим до гл. 111. Оно не Р удно, но там мы сможем сделать это с большей общностью. ока нас интересует тот специальный случай; когда М' = 6.

Оцредееэение. Пространство .У(ЯГ, С) называется сопряженным пространством к М и обозначается Я~ . Элементы ЯГ называются непрерывными линейными функционалами. Следующая важная теорема, характеризующая Я", установлена Ф. Риссом и М. Фреше, Теорема Н.4 (лемма Рисса). Для всякого ТЕЖв существует единственный элемент уг~Я, такой, что Т(х)= (ут, х) для всех х Е Я~. Кроме того, !! уг (!м = !! Т !!1ев. Дохазаимльаяао. Пусть М' — множество таких х б М, что Т (х) = О. В силу непрерывности Т множество 4Г есть замкнутое подпространство. Если вл =Ж, то Т(х)=0= (О, х) для всех х идоказательство закончено. Поэтому допустим,что вя' не совпадает сЯГ, Тогда, в яилу теоремы о проекции, в 4'~- есть ненулевой вектор х,.

Положим уг= Т (х,) !! х, !!-*х,. Покажем, что уг обладает нужными свойствами. Во-первых, еслй хб.я, то Т(х) 0=(уг, х). Далее, если х=ах„то Т(х)' Т(пх,) саТ(х,)=(Т(х,)!!х,!! 'Х„ах,)=(Уг, ах~). Так как функции Т(-) и (уг, ) линейны и совпадают на ва'их„ онц, должны совпадать и на пространстве, натянутом на вя' их,, Н<~ М' и х, порождают все Я', так как каждый элемент у бЯ мо ет быть записан в виде .У=(у — х (+ — х.

т (у) ~ т (д) Т (хв) в ) Т (хв) в Значит, Т (х) = (уг х) для всех х Е Я~. Для доказательства равенства !!Т!!взв !!уг!!и заметим, что (! Т!!= 5пр ! Т (х) (= зпр !(рг, х) !( яки~! цкв~! :ц: зпвР,!!Уг!!!!х(!=!!Уг!! и ~) Т ~~ = зцр ~ Т (х) ~ > ~ Т (-Г"— г — ) ~ = (у„-~"— ' — ) = ~! уг ц'. ° Заметим, что из неравенства Шварца следует утверждение, обратное к лемме Рисса. Именно, всякий элемент у~М определяет непрерывный линейный функционал Т„на ЯГ: Т„(х)=(у,х).

Лемма Рисса имеет' следующее важное для приложений Следспипе. Пусть В(, ) — функция из Я~хуу в С, удовлет- воряющая условиям (1) В (х, ау +()г) =г«В (х, у) +1$В (х, г), (И) В(ах+ру, г)=пВ(х, г)+рВ(у, г), (Ш) ~ В (х, у) [ < С й х ~~ ~~ у Й для всех х, у, г~у~, а, )) ~С. Тогда существует единственное ограниченное линейное преобразование А из Я в Яг, такое, что В (х, у)= (Ах, у) для всех х, у~Я'. Нормой А является наименьшая константа С, такая, что выпол- няется (Ш). Доказатегьаиво. Фиксируем х; тогда (И) и (ш) показывают, что В(х, ) — непрерывный линейный функционал на Я~. Следова- тельно, в силу леммы Рисса, существует х'~Я~, такой, что В(х, у) =(х', у) для всех у~М. Положим Ах = х'.