Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 7

~ — функция; ~ — класс эквивалентности функций), который непрерывен. Тогда ни один другой представитель класса ~ не является непрерывной функцией, так что естественно писать у(х) вместо у (х). Важнейший факт о пространстве 1.' устанавливает следующая Теорелиэ А12 (Рисс — Фишер). 1.' полно. Доказеипелэсепео. Пусть ~„— последовательность Коши в 1.'. Достаточно доказать сходнмость какой-нибудь ее подпоследовательности (см. задачу 3), поэтому перейдем к подпоследовательности (также обозначаемой через ~„) со свойством й~„— ~,+,~~(2-н. Положим а (х) =,Я ( ~„(х) — ~ +, (х) ~.

Пусть л„— сумма бесконечного ряда (которая может равняться ао). Тогда л„,» а„н ~ ~й„~е(хг ,'Я~ ((~„— ~„, ~((1, так что по теон=! реме о монотонной сходимосги у„Е 1.'. Таким образом, ~ йе„(х) ~ < ао и. в. В результате т-1 (х) = у, (х) — ~~.', (~„(х) — )'„,, (х)) сходится поточечно и. в. к некоторой функции ~(х).

Более того, ~ ~„(х) ~ е;; ( ), (х) ~ + а„(х) ~ 1.', так что ~„~ в Е' в силу теоремы о мажорированной сходимости. ° 32 С Предеариеельнаи амдекия Из этого доказательства вытекает (см. задачу 17) такое Следспиае. Если ~ 1 в С', то некоторая аодаоследовагпельяосив 1„, сходится поточечно п. в. к ~. Наконец, сформулируем результат, который возвращает нас к нашей исходной идее. Предложемае. Пространство С[а, Ь] плотно (по ~НЦ) в Е,'[а, Ь1, т. е. С' есть пополнение С. Дохазалмльсглао. См.

задачу 18. Мы определили Ь' [а, Ь1 как пространство веществениозначных функций. Часто удобно иметь дело с комплексиозначными функциями, чьи вещественные и мнимые части лежат в Е.'[а, Ь1. Когда не возникает недоразумения, мы обозначаем это пространство с нормой ь ~(~ ~[, ) ~ ~ ~ Ых также через Ь'[а, Ь). Интеграл от комплекснозначной функции определяется соотношением ) ~ Их = ~ це Ц) дх+1 ~ 1т ф дх.

1.4. Абстрактная таарня мары Один из наиболее важных инструментов, который в сочетании с абстрактным функциональным анализом служит изучению различных конкрегных моделей,— это «общая» теория меры, т. е. ' теория, которой мы занимались в предыдущем разделе, но расширенная до более абстрактных рамок.

Простейший способ обобщения лебегова интеграла состоит в том, чтобы обобщить используемую меру, задавая ее по-прежнему на борелевых множествах вещественной прямой; мы рассмотрим этот специальный случай абстрактной теории меры первым. Напомним, что интеграл Лебега был построен следующим способом.

Мы начали с понятия размера интервала, р ((а, Ь)) = Ь вЂ” а, и однозначным образом расширили его на произвольные борелевы множества. Вооружившись понятием размера борелевых множеств, мы получили интеграл от борелевых функций, измеряя множества нида 1-' [(а, Ь)1. Мы нашли, что векторное пространство ЕР [О, Ц, построенное в предыдущем разделе, есть в точностя пополнение ! С[0, Ц по метрике д,Д, я) =~ Д1(х) — я(х)~дх, где для определения д, нужен только интеграл Римана. 4. Абещеаитная теорие мери к мере Лебега и равна нулю п.

в. Теперь мы можем построить меру 1«„. Поскольку а непрерывна, р ((р))= О для любого одноточечного множества (р). Тем не менее)«исосредоточена на множестве С в том смысле, что )« (10, Ц " С) = )«„(8) = О. С другой стороны, лебегова мера С равна нулю. Таким образом,)а и мера Лебега «прожнваютр на совершенно разных множествах. е 1 а Р и о.

1.6. Функция Каитора. Рассмотренные три примера моделируют (в смысле, который мы сейчас уточним) основные типы наиболее общих мер Лебега— Стнльтьеса. Предположим, что р — мера Бореля на 1«. Прежде всего пусть Р= (х~)а ((х)) чьО), т. е. Р— множество чистых точек меры)а. Поскольку )« — борелева мера ~р(С) < оо для любого компактного С1, Р— счетное множество. Положим по определению Ррр (Х)= Я~ 11 ((х)) — )1 (Р П Х) ««РЛХ Тогда р, — мера и разность )«„„= р — )«положительна.

При этом р„„обладает свойством )« „((р))=пи для всех р, т. е. не имеет чйстых точек, а р имеет только чистые точки в том смысле, что р, (Х) = ~и~~ ~р, ((х)). е«х Оиредееаниае. Борелева мера р на е«называется непрерывной, если она не имеет чистых точек. Она называется чисто точечной мерой, если )а(Х)= ч~, 'р(х) для любого борелева множества Х. к«Х Таким образом, мы убедились, что справедлива Теорема 1.13.

Любую борелеву меру можно единственным образом разложить в сумму )а=)а +)« „, где )а „вЂ” непрерывная, а р, — чисто точечная меры. де д Предеаритеяыиие саеденил В итоге мы обобщили пример 2, введя в рассмотрение суммы мер Дирака. Существуют ли обобщения примеров ! и Зг Определимая. Мы говорим, что р абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, если существует функция 1, локально ь принадлежащая Ь' (т. е. ) ~~(х) ~сЬ < ао для любого конечного Ф интервала (а, Ь)), такая, что 1КФ= 1Ибх для любой борелевой функции я из ~1(К, бр). В таком случае мы пишем Ыр = ! Ых. Это определение обобщает пример 1; несколько ниже мы дадим другое (но эквивалентное!) определение абсолютной непрерывности.

Оггределемие. Мы говорим, что р сингулярна относительно меры Лебега, тогда и только тогда, когда р(5)=0 для некоторого множества Я, такого, что К",Я имеет нулевую лебегову меру. В число фундаментальных результатов входит следующая Теорема 1;14 (теорема Лебега.о разложении). Пусгь р — боре- лева мера. Тогда р единственным образом представима в виде р = р„+р„„, где мера р„ абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры, а цв„ сийгулярна относительно лебеговой меры. Итак, теоремы 1.13 и 1.14 говорят нам, что любая мера р на К обладает каноническим разложением р=р„+р„+ри,, где рр чисто точечна и сингулярна относительйо меры Лебега, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а )г,ы — неарерыана и сияауляряа относительно меры Лебега. К такому же разложению приходят в квантовой механике, где любое состояние представляет собой сумму связанных состояний, состояний рассеяния и состояний, не имеющих физической интерпретации (в дальнейшем ценой значительных усилий мы продемонстрируем, что состояния последнего типа в квантовой механике не встречаются, т.

е. что для некоторых определенных мер р,„„=0 (см. гл. Х1!1)). Это завершает наше изучение мер на К. Следующий уровень обобщения включает в себя меры на множествах с некоторой заданной на них топологической структурой; мы вернемся к изучению такого промежуточного случая в $1Ч.4. А сейчас обсудим наиболее общий подход, позволяющий иметь дело с произвольными множествами.

Прежде всего нам понадобится обобщение борелевых множеств. 4. Абра!раюлиая теория мери Оннэеде еенне. Непустое семейство М подмножеств некоторого множества М называется п-кольцом, если (а) А! й М, ! = 1, 2, ..., влечет за собой () А! Е М; ! ! (Ь) если А, В Е М, то А '~, В й М. Если М ц М, мы говорим, что М есть и-поле. Определение меры очевидно! Определение.

Мера на множестве М с о-кольцом М есть отображение р: М [О, ао1 со свойствами: (а) р(О)=0; (Ь) р (1 Ас~= Др(А!), если А!ПАг — — Я для всех 1~1'. ! / 1=! Мы часто будем говорить о пространстве с мерой <М, р> без явного упоминания М, но это о-кольцо †важнейш элемент определения. Иногда мы будем писать <М,М, р>. Лля некоторых патологически абольшихъ пространств хотелось бы использовать понятие о-кольца, а не о-поля, но для простоты мы будем рассматривать меры на и-полях и будем предполагать, что все пространство не слишком велико в смысле'следующего определения: Овределенне.

Мера р на и-поле бг называется о-конечной тогда и только тогда, когда М= (1 А;, где р(А!) < ао прн всех !. ! 1 Мы предполагаем, что все наши меры о-конечны. Онределенце. Пусть М, Ф вЂ” множества с а-полями М и У. Отображение Т! М вЂ” л1 называется измеримым (относительно М и У), если (УА~У') Т-!1А1бМ. Огображение 1: М вЂ” К называется измеримым, если оно измеримо по отношению к М и борелевым множествам на К. Имея меру р на пространстве с мерой М, можно определить ) 1!(р для любой положительной вещественнозначной измеримой функции на М и образовать.У!(М, Ыр) — множество интегрируемых функций н 1.'(М, Йр) — множество-классов эквивалентности равных и.

в. по мере р функций из .У!(М, !(р). Так же как в случае <М, !(р>= <к, дх>, справедливы следующие важнейшие теоремы: Теорема 1.1о (теорема о монотонной сход имости). Если ~„с Я! (М, 4а), 0 ( Г! (х) ( Г, (х) ~...

и Г (х) = 1пп 1' (х), то ! с Я" тогда и только тогда, когда 1пп 111,11!<ао, и в этом случае !пп 11 1 — 1, 11! = 0 и 1!т 11 ! 11! = 1! ! !1!. д Предварительные сведен»» Теорема 1.1Б (теорема о мажорированной сходимости). Если 1„~Ь'(М, 4в), Вш 1,(х) =1(х) п. в. по мере р и существует » -»» функция О~.У, такая, что ~1„(х) ~~(6(х) п. в. по мере )х для всех л, то 161Р и (пп 1!1 — 1»11~=0. »-~ » Теорема 1.17 (лемма Фату). Если 1„Е.У', каждое 1„(х) ) О и!ип~~1„~~г(оо, то1(х) =Бгп1„(х) лежит в.У' н ~~1Ц~~Нпч~~1„~~,.

Залзчалие. В лемме Фату ничего не говорится о Ит й1 — 1„~)о » ~ 4Ф Теорема 1.18 (теорема Рисса — Фишера). Пространство 1.' (М, л)х) полно. Понятие сингулярности также обобщается. Определение. Пусть р, т †д меры на пространстве М с а-полем Я. Говорят, что р и т взаимно сннгуляриы, если существует множество А ~ Я, для которого )э (А) = 0 и т (М',А) = О.

Полезно ввести более слабое на вид определеыие абсолютной непрерывности, которая по существу противоположна свойству сингулярностн: Определение. Говорят, что т абсолютно непрерывна относительно р, если р (А)= О влечет за собой т(А)= О. Эквивалентность этого определения даныому ранЬе вытекает из следующей теоремы: Теорема !.19 (теорема Радона — Никодима). Мера т абсолютно непрерывна относительно р, тогда и только тогда, когда существует измеримая функция 1, такая, что т(А)»» $ 1(х))(а(х)др(х) для любого измеримого множества А. Фуыкция 1 определяется однозначно п. в.