Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 8

(по мере р). Наконец, теорема Лебега о разложении имеет следующую абстрактную форму;. Теорема 1.ЛО (теорема Лебега о разложении). Пусть р, т †д меры на измеримом пространстве (М, М). Тогда т можыо однозначно предстгавить в виде т= т„+та,, где )х и те, взаимно сингулярны, а т„ абсолютно непрерывна относительйо р. Последний вопрос из теории меры, который мы должны рассмотреть, касается изменения порядка иытегрирования в повторном интеграле. Сначала выясним, какие функции можно повторыо интегрировать.

4. Абстрактная теория мера Олредееземие. Пусть <М, Я>, <се', У> — два множества с соот- ветствующими о-полями. Тогда а-поле Я ® У подмножеств в М х У определяется как наименьшее о-поле, содержащее (е< х Р ~ Р Е Я, Р~У). Заметим, что если функция ~: Мх ре к измерима (по отно- шению к Я®У), то для любого и ЕМ функция л~ ~(и, л) измерима (по отношению к К). Если т — мера на р(, такая, что ) ~(и, л) Нт(л) существует для всех и, то можно показать, что функция и ) ~(и, л)сЬ (л) измерима (поотношениюк Я).

Втео- рии интегрирования существует прямой аналог свойства абсо- лютно сходящихся рядов не менять суммы при перегруппировке членов ряда. Теорема 1.31 (теорема Фубини). Пусть )' — измеримая функция на Мх Ф, Пусть (я — мера на М, а т — мера на У. Тогда $ ( ) [ ~ (и, л) ~ ест (л) ) с((я (и) к, ао м ч в том н только том случае, когда ) (~ ~ ~ (и, л) ~ с(р (и) ) с(т (л) ( ао, и если один (и, следовательно, оба) из этих интегралов коне- чен, то ) (~ ~ (и, л) с()е (и)) сет (л) = $ ( $ ) (и, л) с(т (л) ) с(р (и). Из задачи 25.

читатель увидит, что решающую роль здесь играет конечность интеграла от абсолютного значения. Новые возможности использования теоремы Фубини откры- вщотся после введения понятия меры-произведения: Теорема е.Лй. Пусть и-конечная мера р задана на <М, М>, а о-конечная мера т — на <У, ее>. Тогда существует единствен- ная мера р®т иа <МхУ, Я®К>, обладающая таким свой- ством: (р ® т) (й х Р) = И (Р) у (Р) (где 0 ао = О).

Если ~ — измеримая функция на Мхй(, то ) ( $ ~ ~ (и, л) ~ с(т (л) ) сХр, (и) < ая м ч тогда и только тогда, когда 11И(р® )< мхи Ю. Яеа лраема да«а»алке»стел а«адама«ма Таким образом, осталось доказать, что 7 непрерывна, или, выражаясь иначе, что «равномерный предел непрерывных функций — непрерывнаяфункцня». Фиксируем х~(а, Ь1 и е > О. Нужно найти такое б, что )х — у! (б влечет за собой )~(х) — 1(у) ) (е.

Выберем п таким, чтобы !!1,— ~))„(е/3. Теперь, поскольку 1„ непрерывны, подберем такое 6, чтобы из ~х — у~ < б следовало )~„(х) — 1,(у)~ <е/3. Тогда из.!х — у! < б вытекает / ~ (х) — !' (у)~ ( / ~ (х) — 1, (х) ! + / ~ (х) — 7„(у) ! + / ~„(у) — 1 (у) ! < ! ! ! ( — е + — е+ — е. з з з Следовательно, 1 непрерывна. ° В чем суть е/3-приемку Нам задано семейство сходящихся последовательностей (1„(х) — 1 (х)) и равномерная оленка скорости сходимосии, т, е, оценка, не зависящая от х, параметризующего семейство.

Мы располагаем также некоторыми сведениями о поведении 7,(х) при изменении параметра х н фиксированном п, но эта ин4ормация не обязалильно равкомерна по л. То, что мы проделали, наглядно изображено на рис. 1.7; е73-прием !Ул( )-Ру)1 и(у)-Ъ)( (~ю-уг )) Р и«, !.7. е/»-арнем.

можно назвать еще доказательством «вверх, через и вокруг», В следующем разделе мы увидим, что происходит, когда нет равномерной информации о скорости сходимости, но зато можно следить (равномерно по и) за тем, как ведет себя 1„(х) при изменении х; е/З-прием, как мы увидим, работает и в этом случае. Дальнейшие примеры е/3-приема см. в задачах 27, 29. Другой прием, который мы назовем «методом диагональной последовательности», иллюстрируется следующей теоремой.

Теорема «.2А Пусть 7,(т) — равномерно ограниченная последовательность функций на множестве положительных целых чисел, т. е. ~~ (аг) ~ <С для всех л», к. Тогда существует такая подпоследовательность (1„- ю (т))," „что ~як1(т) сходится при Е аа для каждого фиксированного т. Докажилельсимо. Рассмотрим последовательность 1„(!).

Это ограниченное множество чисел, поэтому можно найти подпоследова- 1. Предеарштильнем оледенил тельность /„, ю, такую, что /„, ю (1) /„(1) для некоторого числа /„(1). Далее рассмотрим последовательность /„, ю (2). Можно найти йодпоследовательность /,,ю(2) — /„(2) при 1 — оо. Действуя по индукции, можно найти идущие одна за другой подпоследовательности /„ь и,, такие, что (а) / „, 1о — подпоследовательность в /„аи1 и (Ь) /лью(й) /„(й) при 1 оо. Таким образом, в частности, /ль„>(/) /„(/) при 1- оо для / 1, 2, .„й. Для того чтобы получить подпоследовательность /ацц сходящуюся для каждого /, можно попытаться взять предел горизонтальной последовательности (см.

рис. 1.8, а), но это не обязательно приведет а 6 Р и с. 1.З. Диагоиадьиыа метод. к цели (ибо может случиться, что л„(1) — оо). Простейший выход — взять предел диагональной последовательности л (Й) = ла (й). Тогда /я1м, /а<а+и, ...— подпоследовательность / и1, поэтому /,-,л (А)- /„(Ф) при 1- оо для любого й. ° 1.6.

Равнаастепанная непрерывнесть Мы уже видели, что можно следить за зависимостью Ит /„(х) л -м со от х, если иметь равномерную по х информацию о законе приближения к пределу. Здесь мы изучим, что случится, когда вместо этого известна информация, равномерная по л; мы увидим, что можно не только получить сведения о зависимости предела отх, но и значительно расширить скудные исходные знания о законе приближения к пределу.

Сначала уточним, что значит аследить за поведением по х равномерно по пэ. Оиредилаиан. Пусть У' — семейство функций из метрического пространства <Х, р) в другое метрическое пространство <У, е(). Семейство аг называют равнестепенно непрерывным, если (те)(Ухй Х)(И6)(У/бУ') р(х, х') < 6 влечет за собой е1 (/(х), /(х')) < е.

Е. Равиосавмнная неэрэрьоэость Говорят, что У' — равномерно равыостепеыио непрерывное семейство, если (Уе)(36)(УхйХ)(У/~У)р(х, х') < 6 влечет за собой Ы(/(х), /(х')) < е. Для сравнения заметим, что утверждение о непрерывыосты всех~~У означает,чгоесли(Уе)(УхбХ)(У~~У)(66)р(х, х') <6, то б(/(х), /(х')) <е. Таким образом, в случае простой непрерывности 6 может зависеть от / н х (так же как н от е), тогда как равыостепенная непрерывность говорит о независимости б от /; наконец, равномерная равностепенная непрерывыость говорит о зависимости б только от е. Как обещано выше, легко превратить данные о /„(х), равномерные по а, в информацию о пределе: Теорема У.ла. Пусть /„ †так последовательность функций нз одного метрического пространства в другое, что семейство (/„) равностепенно непрерывно.

Предположим, что /„(х) — /(х) поточечыо для любого х. Тогда / непрерывна. Докаэательсглео. По заданным е н х выберем такое б, чтобы нз р (х, х') < б следовало д (/„(х), /„(х')) < е/2 для всех а. Поскольку метрика И непрерывна, Н(/(х), /(х')) =!|шит(/,(х), /„(х')), так что л « р(х, х') < б влечет за собой 4(/(х), /(х')) < е/2 < е. ° Из доказательства ясно, что в случае, когда (/„) — равно- степенно непрерывное семейство ы 1пп/„, мэ/ существует для ««« каждого т, семейство (/„) равностепеныо непрерывно. Равностепенная непрерывность приводит к важному следствию, которое, как мы увидим, хорошо сочетается с методом диагональной последовательности.. Теорема ЛЖ.

Пусть (/„) — равностепеыно непрерывное семейство функций ыз метрического пространства '(Х, р> в полное метрыческое пространство (У, а>, Предположим, что /„(х) сходится для всех х ыз некоторого плотного в Х множества Б.

Тогда /,(х) сходится для всех хбХ. (Заметьте, что тогда по теореме 1.25 предельная функция непрерывна.) Докашпельство: см. задачу 29. ° Теорема 1.26 говорит, что в общем случае сходымость на плотном множестве в сочетанны с равностепенной непрерывностью приводит к поточечной сходымости всюду. Еще более эффектный результат состоит в том, что для последовательности функций на 10, 11 (см. задачу 30) нз равномерной равностепенной непрерывности н поточечной сходнмости следует раенолврыая сходи- мОФпь и предварительные «еед«ния Теорема 7.27.

Пусть (/„) — равномерно равностепенно непрерывное семейство функций на [О, Ц. Предположим, что /„(х) — /(х) для каждого х нз [О, Ц. Тогда /„(х)- /(х) равномерно по х. Доказаажвотво. Пусть е задано. Выберем такое б, чтобы из (х — у ~ < 6 вытекапо ~ ~ (х) — / (у) ~ < е/3 для всех л.