Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 9

Далее выберем такие у„..., у„, чтобы любая точка из [О, Ц была в б-окрестности некоторой точки у;. Поскольку (у„..., у ) — конечное множество, можно найти такое /)/, чтобы из и> А/ вытекало / (Уг) — /(У;) ~ < з/3' 1=1, 2, ..., т. Тогда е/3-прием дает ~ / — /3„< е для всех л > А/. ° Каждое равностепенно непрерывное семейство функций на [О, Ц является равномерно равностепенно непрерывным (задача 31).

Теоремы о сходимости (теоремы 1.26 и 1.27), диагональный метод й 1.5 и сделанное только что замечание (задача 3!) позволяют доказать следующий красивый результат. Теоремв I.М (теорема Асколн). Пусть /„— равномерно ограниченное равностепенно непрерывное семейство функций на [О,Ц. Тогда некоторая подпоследовательность /„,а сходится на [О,Ц равномерно. Доказательство. Пусть о„д„... — нумерация рациональных чисел. Поскольку /, равномерно ограничены, ~ /, (д„) ~ < С для всех т и и. С помощью диагонального метода можно найти подпоследовательность, для которой /„<о(о„) сходятся при 1 оо для каждого т. Тогда, по теореме 1.2б, /„,о сходятся поточечно всюду, а по теореме 1.27 они сходятся равномерно.

° Здесь мы ие будем подробно обсуждать описанных методов, однако упомянем два примера, к которым мы еще вернемся и которые демонстрируют разнообразие применений. В $ ЧЛ определяется метрика на множестве бо всех функций, аналитических в некоторой области В. В теореме Ч,25 мы используем равностепенную непрерывность для доказательства того, что некоторое подмножество в бр компактно. В гл. ХХ обсуждается предел плотности свободной энергии «решеточного газа» в ящике при стремлении объема ящика к бесконечности. Наше доказательство существования такого предела для широкого класса взаимодействий проводится в три этапа.

(1) Множество взаимодействий снабжается метрикой и доказывается, что взаимодействия со строго конечной областью действия в втой метрике плотны во множестве всех «допустимых» взаимодействий. (2) Плотность свободной энергии Ра при фиксированном объеме Л рассматривается как функция на метрическом пространстве допустимых взаимодействий, и доказывается, что семейство (Ра) равностепенно непрерывно, (3) Доказывается, что [пп Рл(Ф) существует, если Ф вЂ” взаимодейстл- а вие с конечной областью действия, Тогда из соображений, связанных с равностепенной непрерывностью, следует, что предел [ппРл(Ф) существует для всех допустимых взаимодействий Ф л (и непрерывен по Ф).

ЗАМЕЧАНИЯ Ю АА Обсуждение тонкостей, связанных с леммой Церна, аксиомой выбора и т, д., доступное новичяам, можыо найти в кинге Халмоша: Р. Д. На1шоз, На[те™5е! ТЬеогу. Уап Ь[оз(гапб-Ие!пьо16, Рг[псе[оп, Ь[.2., 1960. 6 А2. Дополнительное обсуждение понятий, относящихся к метрическому пространству. см, в книгах: А. О!ек«оп, 1п1гобнсноп 1о АЬ«(гас! Апа1уз!з.

Абб!зоп-ЦГш!еу, Иеа«нпя, Мию., 1966, или А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, «Науказ, М., !968. По поводу ыормированных линейных пространств (н в частности, приведенного нами оппсания рнманова интеграла) см. )Кс Дьедонне, Основы современного анализа, «Мир«, М., !964, или Ь. 1.оошм апб 5. 51егпЬеги, Абтапсеб Са[сн!пз, Абб[зоп-'йс«п!еу, [[еаб[йб. Маш., 1968. АЗ, А4. Обсуждение интегрирования по Лебегу см. в книгах: 2.

!У[!!!аюзов', п(гобпс1(оп 1о 1Ье [.еьезапе 1п[еяга1, Ной, Не«« Уогй, 1962, или У. Рудин, Основы современного анализа, изд. 2-е, стереотип., «Мир«, М., 1976. При изучении абстрактной теории йеры мы особенно рекомендуем книги: 5. К. ВегЬенап, Меазпге апб 1п[ейганоп, Масш[11ап, Ь[еи Уогй, 1965. Н. йоубеп, йеа! Апа[тзм, Маспииап. [Чем Тоги, !968 г. См.

также П. Халмош, Теория меры, ИЛ, М., 1963; Н. Данфорд н Дж. Шварц, Линейные операторы, т. 1. Общая теория. ИЛ. М., !962, гл. 111. Обсуждение парадокса Бенаха — Тарского см. в работах: й. [«озепЫпш, Е1ешеп(з о( Ма(ьегпа([са! [.он[с, ЕГотег, 5[ем Тога. !950, р. 150, илн К. КоЬ[пзоп, Рипа.

Ма1Ь., 84 (194Т), 246. Отметим, что борелевы множества можно построить следующим образом. Начнем с открытых множеств н нх дополнений — замкнутых мыожеств. Добавим к ннм счетные объединения замкнутых множеств, называемые Ро-множествами, и их доволнення (счетные пересечения открытых множеств). называемые бз-множествами.

Затем возьмем счетные объединения бз-множеств, называемые бес-множествами. и их дополнения Рое-множества. Затем добавим бгоз и т. и. Посл« счетного числа шагов дело гще иг сделано, ибо объединение одного бо, одного Роо, одного бооз ° .. может не войти в построенную совокупность.

Дл» завершения нужна трансфинитная ындукция до первою несчетного порядкового числа. Как видно из задач, борелевы функции образуют наименьшее семейство, замкнутое отяосительно поточечного предельного перехода и содержащее все непрерывные функции. Как н в случае борелевых множеств, для ею построения требуется трансфиннтная индукцня.

Однако заметим, что при любой борелевой мере )«любая борелева функция равна почти всюду относительно 1« поточечному пределу непрерывных функций (задачи 18 и !9). Отбрасывая средние трети на отрезке [О, 1[, можно построить замкнутое множество положительной меры с пустой внутренностью. Подход к мерам на топологнческих пространствах (а не на абстрактных множествах), который мы обсуждаем. в 5 1У.4, моден у французской школы. См. Н. Бурбаки, Интегрирование. Меры, интегрирование мер, «Науяа», 1. 17 рвдвари на«ънмв омдвнил М., 1967; Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара, свертка н представления, «Науяав М., !970, илн (красивое и краткое обсуждение) ! . Ыасьь!и, Тйе Наэг 1п1ейга1, Уап йоз(гапб-Ке(пьо!б, Рг!псе(оп, ?).

Ю., 565, С(г. 1. у 1.б. Теорему Асколи естественно форкулировать для функций на произвольиок компактном квтрическом пространстве илн, более общо, на равномернок пространстве с первой аксиомой счвтностн (которое на самок деле всегда метрнзуемо), например на компактной топологической группе. Идея использовать равностепеиную непрерывность ирн доказательстве существования теркодннамичвсиого предела восходит по крайней мере к работе: И. В.

Сг!И!!!ш, А Ргоо) !Лв! !)се Ргее Япегйу о1 а $рсп 5ув(есп !в Ях(епв!че, 1. Масд, РЛув., 5 (!964),!215 — !222. Доказательство, которое мы наметили для решеточных газов н которое обсуждается в гл. ХХ, принадлежит Галлавотти и Мираклю: С. 0а!!ачо11! апб 5. М!гас!е, 5!а1!в!!са1 Месйап!сз о1 (.а!!!се 5ув1епм, Сошлии«. Масд. РЛув., 5 (1967), 3!7 — 324. В теории аналитических функций равностепенная непрерывность ленскт по существу в основе одного ив доказательств теоремы Римана; см., например, 1..

АЛИогз. Сошр!ех Апа!ув!в, Мсбгзчс-Н!!1. Ыечс Тот[с, 1953, где множества равностепенно непрерывных функций называются «иоркальнымн свмействамиз. ЗАДАЧИ 1. Найдите коитрпрнкер к утверждению: каждое симметричное траивитивное отношение рефлексивно. Что неправильно в доказательстве: «из «)?у и у)?х в силу транзвтивности вытекает х)?хв? 72. Проверьте, что кандидаты в метрики ив примеров 1 — 3 $1.2 на самом деле метрики. 8. Пусть («з1 — последовательность Коан в кетрическом пространстве <Х, р>. с «Ф Предположик, что х„сц — «„для некоторой подпоследовательности «„сс[.

Докажите; что хэ — ьх . 4. Пусть (хз) — последовательность в некотором квтрическом простраксгве, н пусть «„— заданный элемент. Предположим, что каждая подпоследовательность из «„имеет подпоследовательность, сходящуюся к х . Докажите, что х„— х . !Ю. Проведите в деталях доказательство теоремы 1.3. )'б. Докажите теоремы 1.4 и 1.5. !7. Докажите теореку 1.6.

8. Докажвте: если х„— х„в матрическок пространстве <Х, б>, то !пп б(х, «„) =с((«, х ) для любого х. )У. Завершите доказательство теоремы 1.7. (10. Докажите, что 8(а, Ь) плотно в РС [а, Ь) по норме [[ )) Н. (а) Пусть и — функция на (О, 1). Бе называют функцией ограниченной вариации, если существует такое С, что в-1 ;Я [сх (хс +в) — а (хс)[ ~ С с ° с для любой вокупяостя О~х«~хе~... ~к ц; !.

Дока~~~, что любая монотонная функция имеет ограниченную варныцпо, (Ь) Определим 1е на Я [О, Ц равенством 1 з 'ъ з 1а~Я з;)(! ~=~~~~ з! [а(хг) — а(х!»/). ! ! !»! Докажите, что /е — ограниченное линейное преобразовакие тогда н только тогда, когда ц имеет ограниченную вариацию. (с) Пусть а — функция ограничениоА вариации иа [О, !). Постройте интеграл Римана — Стнльтьеса //бс«.

,112. Докажите свойства )Ьп и Вш. сформулнрованиме в дополнении к $ !чк И. Построим следующим способом множество У (множество Ввтали). Назовем два числа к, у~[0, !) эквивалентными, если разность к — у рациональна. Вяли»«им в У ровно по одному числу пз каждого класса эквивалентности. Докажите, что У неизмеримо по Лебегу. [Ухазализ: докажите,что [О, !) есть дизъюнктное объединение «трансляций» множества У.) (14. (а) Пусть / — борелева фуияция. Дояажнте, что / » [В) Е46 для любого Вц«О. (Ь) Пусть / и й — борелевы функции. Докажпте, что /«я борелева.

1Ю. (а) Пусть )Ьп г„= г. где гю г вещественны. Докажите, что » =зпр (и! г„, (Ь) Докажите, что если/„— последовательность функций н /(х) = !п1/„(х), то ч Ю / »[[а, е»))= П /и [[а, о»)), / »На, с»)) [) [ э[[а+(/ю. «о)[. з 1 ж=! Выведите отсюда. что точная нижняя грань любой последовательности борелевых функций — борелева функция. (с) Докажите с помощью (а) и (Ь), что любой поточечиый предел последовательности борелевых функций есть борелева функция. (6) Выведите с помощью (а) теорему о мажоряровзнной сходимости из теоремы о монотониоА сходнмости. «16.