Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 13

образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале ( — зг, гг), со скалярным произведением (и,о) = / и(х) о(х) дх. — л ЗИ. Триеонолеетрический рлд Фурье функции Г(х) на ( — л,л) 97 Функция Г принадлежит этому пространству тогда и только тогда, когда (Г, Г) = Г(х) дх < со. — л При этом искомое разложение функции у = Г(х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — к, к) имеет вид Г(х) = ао + ьь (ал сое пх + Ьи яп пх), (2) где коэффициенты ао, ам.,,, Ьм Ьг,... определяются по формулам Эйлера — Фурье; л (Г1) — 1 / ( Дх) е1х о= ' =, = — 1 Г(х)" (1 1) ) г 2к,/ 1г лх — л — л — — среднее значение функции Г на интервале ( — к, к), ) Д(х) сое ах сЬ: (Г, сов пх) а 1 à — / Г(х)совпхдх, и е Ы, (сов ах, сов пх) соег пх Их ) Г (х) яп пт.

дх (Гешпх) л 1 Г Ь„= — —, — — — = — ~ Дх) вш пх дх, и Е 1ч. (яппх,ешпх) л . г к,/ яп ахи 1. Проверяем, что л ф(х)'е1х < оо 7 В.И. Афанасьев и др. 2. Вычисляем коэффициенты ао, ам,.,, Ьм Ьг,... по формулам Эйлера-Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, ам..., Ьм Ьг,... в (2) и записываем ответ.

1'л. 3. Рлдьг Фурье 98 Замечания. 1. Если 1" (х) ограничена на ( — х, я), то условие (1) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. 2. Если ог(х) = ог( — х) пРи х Е ( — х, г ), то Ьг = О, Ьз = О,... 3. Если 1 (х) = 1 ( — х) при х Е ( — гг, х), то ао = О, аг = О,... 4. При вычислении интегралов в формулах Эйлера — Фурье иногда полезны методы, изложенные в разделе 1.17 (с. 60).

5. Если 1"(х) тригонометрический многочлен относительно соо йх и ош йх, т.е. 1"(х) = ~~г (аьсоойх+ЯЯпйх), ь=о то коэффициенты ряда Фурье г'(х) определяются формулами: аь = оь, Ьь = 1Зь при й = О, 1,..., п и аь = О, Ьь = О при всех й ) и. К этому случаю с помощью формул понижения степени сводится задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида 1(х) = = Р(ош х, соо х), где Р(и, о) — многочлев.

Пример. Разложить функцию у = х+ 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — хг х). РЕ1ПЕИИЕ. 1. Проверяем, что 1" (х) г1х ( гю. — л 1 ао = — / (х+ 1) г1х = 1, 2./ -е 1 1' а„= — / (х+ 1) соопхг1х 1 Р Ь„= — / (х+ Ц яппхг1х — л = — 2 = — 2 совпя ( — 1)" п и Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на ( — х,х). 2. Вычисляем коэффициенты ао, аг,..., Ьг, Ьз,...

по формулам Эйлера — Фурье. Имеем 3.1. Триеонометрический ряд Фурье функции 1'(х) на ( — к,к) 99 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ав, аг, .. ч Ьг, Ь2,... в (2). Получаем ( Цп — 1 х + 1 = 1 4- 2 ~~1 ягп пх. ( Цп — 1 Ответ. х+ 1 = 1+ 2~~ яшпх, х Е ( — к,к). п=1 7. 21)( — х) ф хг)(х) = гг+4 1 ч ( — Цп — 1 = — — + — ху — — — соя пх 4 к пя (к — 2)( — Ц" + 2 — — — — — — — — — я1п пх.

и Цг)(х) = 1 ь 2((-Цп — Ц + п2 п=1 8. — хг)( — х) + (х ф к+1 1 — ( — Цп соя пх + — — — — яш пт,. п О Единичная функция Хааисайда О(х) — Н 1 при х > О и ц(х) = =О при и < О. УслОвин 3АдАч. Разложить функцию у = )(х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — г, г). 1. 1"(х) = 2х — 3. 2. 1(х) = х — 1. 3.

1(х) = х2. 4. 1(х) = е*. 5. 1(х) = ~х~ + х. 6. 1(х) = О при х < О и 1(х) = 1 при х ) О. 7.1(х) = 2прих < Ои1(х) = хприх ) О. 8.1(х) = — х при х < О и ф(х) = х+ 1 при х ) О. 9. 1"(х) = ч'З,Г(2+ соях). 10. ф(х) = — 1п(2~ яшх~). Ответы ') . ~= ( — цп 1. 2х — 3 = — 3 — 4 2 ягппх. и=1 (-Цп 2, з: — 1= — 1 — 2 у яшпх. и п=1 „2 с" ( 1)п 3. х2 = —, +4~ сояпх. 3 и Ел е — л Ел Е-л ( Цп П( Цп 4.

ех = + у соя ггх — ягп пх. 2к к ~- 112+ 1 из+ 1 п=1 гг ~ ( — Ц" — 2 ( — Ц" 5. х~ + х = — + 2 У вЂ” соя пх — — яшпх. 2 х- пзк и и=-1 ( Цп 6. г)(х) = — + — У яшах. 2'1г.п и=-1 Рл.3. Ряды Фурье 100 ,ГЗ ~ (-1)ь 9. = 1+ 2У совгвх.

2 + сов х л- (2 + у'3)" 1 10. — 1п(2~вшх~) = ~~ — сов2пх. и в=ь 3.2. Тригонометрический ряЛ ~РуРье функции ~(х) на интервале ( — 1,1) Постяновкл задачи. Разложить функцию у = у(х) в тригонометпраческий ряд Фурье на интервале ( — 1,1). План ркшкния. Триеонометрическим рядом Фурье на интервале ( — 1,1) называется ряд ав + ~ (а„сов и — х + Ь„в1п и — х) . 1 " 1 п=1 (и,и) = / и(х) и(х) дх. Функция 1'принадлежит этому пространству тогда и только тогда,когда (1, 1) = / 1(х) дх < оо.

При этом искомое разложение функции у = 1(х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — 1, 1) имеет вид 1(х) = ав+ ~ (а„совп — х+ Ь„в1пп — х), в=1 (2) где коэффициенты ав, аы..., Ьы Ьз,... определяются по формулам Функции 1, сов(кх11), сов(2кхЯ,..., сов(пкх(1),..., в1п(кх11), вш(2кх11),..., вш(пух)1),... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале ( — 1,1), со скалярньпл про- изведением 3.2.

Триеоноиетричеекий ряд Фурье функции ф(х) но ( — 1,П 101 Эйлера — Фурье: ) ф(х) Нх ао = = — = — / Дх) нх (ф1) ~ 1 (1, 1) ~ 21 / 1 1г с~х среднее значение Т' на интервале ( — 1,ь), ф(х) соз и — х Их (Т, соя п — х) а и ( — -) к 7Г сов п — х, соя п — х) / соз и — хдх 1 я = — / Дх) соя п — хе)х, ~/ Дх) вши — хНх — ! и = 1,2,..., (3) (Т,япп — х) зш — чяшп — х) ( -""- г яп и — хйх = — / Дх) япп — хНх, и = 1,2,... (3') 1. Проверяем, что ф(х) Нх < оо. 2. Вычисляем коэффициенты ао, ам..., Ьм Ьг;,.

по формулам Эйлера-Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, ам..., Ьм Ьг,... в (2) и записываем ответ. Замечания. 1. Если ф(х) ограничена на ( — 1,1), то условие (1) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. Рл.З. Ряды Фурье 102 2. Если У(х) = 1"( — х) при х е ( — 1,1), то Ьо = О, Ьг — — О, ... 3. Если 1(х) =1( — х) прих С ( — 1,1), то ао = О, аг =О, ... 4. При вычислении интегралов (3) — (3') иногда полезны методы, изложенные в разделе 1.17 (с. 60).

5. Если 1(х) многочлен относительно сов 6 — х и яп 6 — х, т.е. 1 1(х) = 'г (оь соо 6 — х + Я яп 6 — х), 1 у=о то коэффициенты ряда Фурье 1 (х) определяются формулами: аь = ою Ьь = (дь при /е = О, 1,..., и и аь = О, Ьь = О при всех 6 ) п. К этому случаю с помощью формул понижения степени сводится задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида г" (х) = = Р(вшх,соох), где Р(и,о) — многочлен. П1'НМНВ. Разложить функцию у = х+ 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — 2, 2).

Ргннинин. 1. Проверяем, что г У( )'д ( — г Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на ( — 2,2). 2. Вычисляем коэффициенты ао, ам,,., Ьм Ьг,... по формулам Эйлера — Фурье. Имеем г 1 Р ао = / (х+ 1) дх = 1, 2 2/ — г г 1 Р и а„= — / (х е 1) соя и — х йх = О, 2,/ 2 г 1 1 ге сов пге ( — 1)" ( — 1)" 6„= — / (х+ 1) япп — хе1х — — 4 — — 4 — 4 2„/ 2 пя пя пп — г 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, аы..., Ьы Ьг,... в (2).

Получаем ( 1)и — 1 х+ 1 = 1+ ~~~ 4 япп — т.. пи 2 и —.-1 3.2. Триеоноиетричеекий ряд Фурье функции т"(х) на ( — 1,1) 103 ( 1)п — 1 Ответ. х+ 1 = 1+ — т япп — х, х Е ( — 2,2). тг ~--' и 2 ««=1 Ответы. 4 ( Цп 1. 2х — 3 = — 3 — — ~~ яппкх, х Е ( — 1 Ц. г п п=1 ьь ( «и 2. х — 1 = — 1 — — ~ яп2нкх, х Е ( — 112,112). к а п=г 1 4 ( — Цп 3. х = —, + — ~ ~совптгх, х е ( — 1,«.

3; 2 2 п=.1 и совнкх — тькяппкх 4. е* = вЬ 1 + 2 вЬ 1 ~( — Цп хЕ( — 1,«. 1+ пг„г п=1 4 5. ~х~ + х = 1 + — ~~1 =1 х Е ( — 2,2). ( — Ц" — 1 к ( — Ц", тг сов и — х— вшп — х, нгк 2 и 2 1 1 1 — ( — Ц', тг 6. тт(х) = — + — ~~ япп — х, х Е ( — 2,2). 2 тг п, 2 п=1 7 1 кь 3(( — Цп — Ц тг 7. 29( — х) + хц(х) = — + — У, сов п — х— 4 тг ~ — пгк 3 п=1 ( — Цп+ 2, тг — вшп —,х, х Е ( — 3,3).

н 3 1 2(( — Цп — Ц 8, — хтг( — х) + (х т Цтт(х) = 1+ — ~~~ совпкх+ 112к п=1 1 — ( — Ц" + яптгкх, х Е ( — 1, Ц. Условия задлч. Разложикть функцию у = 7(х) а триеоноягетрический ряд Фурье на цнтаервале ( — 1,1). 1. 7"(х) = 2х — 3 на ( — 1, Ц. 2. 7"(х) = х — 1 на ( — 1т2,1т2). 3. 7(х) = хг на (-1,«. 4. Д(х) = е' на (-1,«. 5. 7(х) = ~х + х на ( — 2,2). 6.

2(х) = О при — 2 < х < О и т'(х) = 1 при О < х < 2. 7. 2(х) = 2 при — 3 < х < О и т(х) = х при О < х < 3. 8. тт(х) = — х при — 1 < х < О и 7(х) = х-~-1 при О < х < 1. 9. 7(х) = ктЗт«(2+сов 22) на ( — кт«2, кт«2). 10. 7(х) = — 1п(2~ яп Зх~) на ( — к,г3, кт«3). 1л.3. Ряды Фурье 104 ,ГЗ (-1)" 9. = 1 + 2 ) соь2пх, х Е (--кгг2,к,Г2).

2+ сов2х, (2+ 1,'33)п 1 10. — 1п(2~япЗх~) = ~ — совбггх, х Е ( — к/З,к/3). и п.=1 3.3. Тригонометрический ряд <Рурье функции ~(х) на интервале (а, 6) Постановка задачи. Ра лохсить функцию у = 1'(х) в триеонометрический ряд Фурье на интервале (а, 6). План гаВШВВИН. Триеонометрическим рядом Фурье на интервале (а, 6) называется ряд / 21г 2к ао + ~ ( а„сввп х + Ьп япп х1 .

Ь вЂ” а Ь вЂ” а п=1 2к 21г 21г 2к Функции 1, сов х, сов2 т,, совп х, ..., в1п х, 6 — а Ь--а 6 — а Ь вЂ” а 21г 2к яп2 х,..., япп х,... образуют ортогональный базис в цро6 — а Ь вЂ” а странстве функций, заданных в интервале (а, 6), со скалярным произведением (и, и) = / и(х) и(х) Нх. Функция г" принадлежит этому пространству тогда и только тогда,когда ь ((~) /~( )1 г < (1) а При этом искомое разложение функции у = 1'(х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале (а, 6) имеет вид / 2к 21г г(е=,гЬ („.

*гг. *), (г) п=1 где коэффициенты ао, аг,..., 61, Ья,,. определяются по формулам З.З. Тригонометрический рлд Фурье функции Дх) на Га,ь) 105 Эйлера — Фурье: ИО~. /1з дх — г а среднее значение Т"на интервале (а,Ь), 2к 2я 1(х) совп хНх Т, сов п х~ д Ь вЂ” а Ь вЂ” а ) 2н 2л совп х,совп х Ь вЂ” а Ь-а у г 2к сов и х агх Ь вЂ” а а 2 Т 2к - / г"(х) совп хагх, п = 1,2,..., Ь вЂ” а Ь вЂ” а а ь ܄— 2к 2к 1(х) выл п х г1х Т,япп х Ь вЂ” а Ь вЂ” а ) 2к , 2к в1пп х,вьпп х) Т, г 27Г Ь вЂ” а Ь вЂ” а ) яп и хдх Ь вЂ” а а 2 Т . 2к / )'гх) япп хНх, Ь вЂ” а,/ Ь вЂ” а п=1,2, 1.Проверяем,что ь 1(х) агх ( оо.