Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 11

найти и ображение функции 1(»)з»(»). 1. »(») = »япоз», 2. »(») = »созсо». 3. ((») = »вЬы», 4. ~(») = »сЬвз». б. зз(») = »ге е. 6. зз(») = »гвшсо». 7. зе(») = »гсовьз». 8. зе(») = »ге»зьз». д. з(») = »ге»зео». 16. е(») = » еое Ответы. 1. Г(р) = 2ьзр»'(рг+ьзг)г. 2. Г(р) = (рг — ьзг)»(рг+озг)г. »( г,г)г,» Г( ) ( г + г)»( г г)г 5 Г(р) 2»(р а)з 6 Г(р) = (бьзрг — 2взз),»(рг + взг)з 7 Г(,) (2рз 6 гр)»(рг +яг)з 3 Г(,) (б,г+ 2, з)»(рг а,г)з 9.

Г(р) = (2рз+ 6~Рр))(рг — озг)з, 10, Г(р) = п(,»(р — а)"т'. 2.7. Изображение функции вида ('®,»1 Постлновкл злдлчи. Доказать, что функция 1(»)»» является оригиналом, и найти ее цзображение. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Если функции »(») и »(»)/» являются оригиналами и Г(р) — изображение функции »(»), то по теореме об интегрировании изображения имеем — в в— в / Г(з) с»ж Ф) р В В.И. Афанасьев и др.

Гл. 2. Операционное исчисление 82 1. Если 1"(1) оригинал, то функция /(1)/1 является оригиналом, если она имеет конечный предел щзи 1 — и О + О. 2. Находим изображение Г(р) функции /(1). 3. Вычисляем интеграл ~Г(,) б,. р 4. Находим изображение функции /(1)/1 по формуле (1). Замечание. Можно не проверять существование предела /'(1)/1 при 1 — 1 О+ О, так как если интеграл / г (в) с/в сходится, то функция р Я)/1 заведомо является оригиналом и справедлива формула (1). Пгнмкг. Доказать, что функция (ейп1)/1 является оригиналом, и найти ее изображение. Ркшкник. 1. Функция (в1п1)/1 является оригиналом, так как существует сбп1 1пп = 1.

с-лото 2. Имеем 1 вш1 л — о = К(р). 2 3. Вычисляем интеграл =/. е1в со с/е = / 2 — †нес е = — — агс1$,з Р Так как интеграл сходится, то (вш1)/1 оригинал. 4. Находим изображение функции (вш1),11 по формуле (1) в1н1 и е — 1 — -- агс13р. 2 вш1 н Ответ. ' е — в — — агс13р. 2 Уклокнн задач. Док засов, что функция /(1)ц(1) является ориеинаяоле, и найти ее изобралсенве. 1.

1"(1) = (1 — е ')/К 2. /(1) = вш~1/1. 3. /(1) = е мв1п1/1. 4. 7"(1) = (1 — сов1)/1. 5. 7"(1) = вЫ/1. 6. 7"(1) = (1 — сЬ1)/1. 7. /(1) = = (сов51 — сов31)/1. 8. /(1) = (вйп71. в1п31)/1. 9. 1(1) = (ео~ — ем)/1. 10. /(1) = е 'вш 1/1. 2.8.

Восстановление оригинала по изображению Р (р)ХСд„(р) 83 р — а , р +4 Ответы. 1. Р(р) = 1п — —. 2. Хг(р) = 1п— р р' 2 агс18 . 4. Р(р) = — 1п . 5. Р(р) р+а 2 рг+1 б' Р(зо) 1п г ' 7. Р(р) = 1зз г г' 8. Р(р) = р' 1 р' + 9 ( — а) 9. Р(р) = 1п . 10. Р(р) = — 1п р †4 (р — а)г+4 3. Р(р) р — 1 —, 1п 2 р+1 р' + 1ВО 4 рг + 18 2.8. Восстановление оригинала по изображению Р (р)Я (р) ПостлновкА зАдАчи. Восстановить оригинал Х(1) по изображению Рт (Р) Ю (р)' где Р (р) и Я„(р) многочлены сгпепени т и п, причем т ( и. ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Записываем Р(р) в виде суммы элементарных дробей вида А ЛХр -'; Хт ЛХр+ Хч (р — а)"' рг+ ар+,3' (рг+ ор+ 13)' р — а ПРИМЕР.

Восстановить оригинал Х(1) по изображению (Р) з 8' 1 РЕШЕНИЕ. 1. Записываем Р(р) в виде суммы элементарных дробей: 1 1 1 1 1 р+4 рв — 8 (р — 2)(рг+2р+4) 12р — 2 12рз+2р+4 2. Для каждой дроби находим ее оригинал. 2. Для каждой дроби находим ее оригинал, пользуясь таблицей изображений, свойствами преобразования Лапласа и теоремой умножения изображений (теоремой о свертке).

3. Используя линейность преобразования, Лапласа, находим искомый оригинал Х(1). Гл. 2. Операционное исчисление Первая дробь р+4 (р+1) 3 рг + 2р+ 4 (р+ Цг + (чсЗ)г (р + 1)г + (хсс3)г 11о теореме смещения е 'соя(ьсЗс) с — с (р+ 1) (Р+ 1)'+ (Л)г е яш(ьсЗг) 44 — 4 — с ,гз (Р + 1)' + (УЗ)г 3.

Используя линейность преобразования Лапласа и разложение (1), находим искомый оригинал ) (с) = — е — — е соя(~ 31) — — е ' ясп(чсЗс). гс с — с сЗ 12 12 12 Ответ. Д1) = — е — — е соя(ч'31) — — е яш(у 31). гс — с чс3 с 12 12 12 оригинал у(1) по изображению Условия задан. Восстановить Р(р). 1. г'(р) =, . 2. 2рг — 2р — 4 1 р4 2рз + рг Зрг + Зр — 13 р + 4р + 1ЗР 3. Р(р) = 4. г'(р) = (р + 2)г(р — 1) г + 4 г+ — 4 5. г (Р) = . 6.

Р (Р) = г з (р — 1)(р + 2)(р — 3) рг — рз 8. Р(Р) 4 Р „„с4 9. Е(р) = . 10. Е(р) = ( Р + 2 ) г ( Р 1 ) г Р ( Р 1 ) ( р 2 ) ( Р 3 ) 1 Р'с(р) = р — 2 является изображением функции г"с (1) = ег'. В знаменателе второй дроби выделим полный квадрат и запишем ее в виде, позволяющем использовать теорему смещения: 2.9. Восстановление оригинала по теореме разложения 85 Ответы. 1. 1'(1) = егс + е ~12. 2.

1" (1) = 1 + 2 — 2е + 1ес. 3. 1(1) = — 1+ 4е ~'сов31 — е г'в1п31,13. 4. Д1) = ес,19 — е~'19+ +21е ~'/3. 5. 7(1) = — 5ес/6+Зе ~'/15+13е~'/10. 6. )С(1) = 2е' — 41 — 3. 7. 7(1) = 1гес/2. 8. 7(1) = (сЬС вЂ” сов1)С2. 9. 1(1) = (31г+ 21 — 2)есс54+ 21+ 1)е ге~27 10 1(1) 116 4 ес Зегс/2 4 2егсссЗ 2.9. Восстановление оригинала по теореме разложения ПОСтАНОЕКА ЗАЛАЧИ. Восстановить оригинал 7(1) по его изображению г'(р), используя теорему разложеньл.

ПЛАН РГН1ГНИЯ, Если изображение Р(р) оригинала 1" (1) является однозначной функцией р и имеет лишь конечное число особых точек рс, рг,..., рн, то по 2-ой теореме ра ложения 1(с) = ~~с гегр, „(ер'г'(р)). Ь=с 1. Находим особые точки функции Е1(р) = егсг (р) и определяем их тип. 2.

Вычисляем вычеты в этих точках. 3. Вычисляем оригинал Д1) по формуле (1) и записываем ответ. ПГИИЕГ. Восстановить оригинал Д1) по его изображению рг+ р+ 1 (р — 1)(р + 1)' используя теорему разложения. РЕШЕНИЕ. 1. Находим особые точки функции г +1 Р1(р) = е' г (р) = е" (р — 1Н + 1) Гс (р) имеет два полюса; р = 1 — полюс 1-го порядка и р = — 1 полюс 2-го порядка. 2. Вычисляем вычеты в этих точках (р'+р+1)ер' . (р'+р+1Нр-1)ерс 3, гевр-1 — 1пп — — е, (р — 1Нр+ 1) р-сс (р — 1Нр+ 1)г 4 Гл.

2. Операционное исчисление 86 (Р'+р+1)'"', 1 ~(р'+Р+1)(р+1)' "' (р — 1НР+ 1)' — йр ~ (Р— 1)(р+ 1)' ((2Р+ )е" Ц-Зегл(рз+ р+ 1))(р- 1) - (рз Ц-р+ 1)е 1пп (р — 1) 1 1 = — е — — се — — с 4 2 3. Вычисляем оригинал /(1) по формуле (1) (р +р+1)егл (рз+р+1)е"' 1 = — е + — е — — зе 4 4 2 3, 1, 1 Ответ. /(с) = — е + — е з — — се 4 4 2 Условия задач. Восстановигиь оригинал Я) по изображению г'(р) с помощью пзеоремы разложения.

1 (Р) (, 1)з ' 2. Е(р) = р(р — 1)(р — 2)(р — 3) 3. г(р) = , . 4. Г(р) = (р — 1) (рз — 4) рз — 4рз + Зр 5. г(р) = з з . 6. Е(Р)— р(рз + 1)(рз м 4) (р + 1)(р + 2)(р + 3)(р + 4) 4— 7. г (Р) = з 8. Р(р) 4 1 Р4 6рз + 11Р 6Р' 9. г(Р) = 1 рз — 2р — 3 16. К(р) = 1 Р +2Р +Р Ответы. 1. /(1) = сзе~/2. 2. Я) = — 1/6 + е' — Зем/2 + 2ез'/3. 3. Я) = — е'/3 + ез'/4 + е з'/12. 4.

/(З) = 1 — 2е' + ез'. 5, /(с) = (3 — 4соз с+сов 21)/12. 6. Я) = — 1/6 — Зе зс/2+2е м/3+е 7, /(с) = 2ес 41 3 8 /(1) = — 1/6 + ес/2 ещ/2 + езс/6 9. /(с) = (ез' — е ')/4. 10. /(с) = 1 — е ' — се 2.10. Восстановление оригинала ао изображению Г(р) ° С(р) 87 2.10. Восстановление оригинала по изображению 1 (р) С(р) Постяновня НАЛАНН. Восстановить оригинал ио изображению Г(р) . С(р), если Г(р) является изображениел1 функции 1(1) и С(р) являе'нся изображением функции д(1).

ПЛАН РЕ1°ГНИЯ. Если Г(р) является изображением оригинала 7" (1) и С(р) является изображением оригинала д(1), то по теореме умножения изображений (теореме о свертке) У * д Г(р) С(р), где оригинал 7 л д = / 1 (т) д(1 — т) йт о называется сверткой оригиналов 1 (1) и д(1). 1. Восстанавливаем оригиналы 7'(1) и д(1) по их изображениям Г(р) и С(р). 2.

Вычисляем свертку 7 в д = / 1 (т) . д(1 — т) Йт; о 3. По формуле (1) записываем ответ. Пгимег. Восстановить оригинал по его изображению (р2+ 1)2' РЕШЕНИЕ. В данном случае 1 Г(р) = С(р) =--- р2 + 1. Восстанавливаем оригинал 1" (1) по его изображению Г(р): 1 в1п1 1 — Ь р2 йл. 2. Операционное исчисление По теореме умножения изображений 1 1 г гц 1 .г 2. Вычисляем свертку 1 1 яйпй *ейпй = / яш(й — т) яштйт = — йсояй — — я1пй. 2 2 о 3. По формуле (1) записываем ответ: 1 1 7"(й) = — Ссояй — — яшй.

2 2 1 1 Ответ. й(й) = — йсояй — — яш 2 2 4 1. В(р) =— (рг + 4)г ' 9 (рг 9)г ' 4. Г(р) = (рг + 4)(рг + 9) 1 '~(р) — .( г 1)г. г 6.Р(р)=( г 5. В(р) = е" 7. В(р) = р(р' + 1) е" рг(рг + 1)' е" р(рг + 1)г ' 1 — е Р 10. Е'(р) = ( ).

Ответы. 1. 7(й) = (яйп2й — 2йсоя2й)/4. 2. Дй) = (яшЗй — ЗйсояЗй)/6. 3. 7(й) = (йсЬй — ЗйяЬй+ 2й)/2. 4. 7(й) = (ЗейпЗй — 2яш2й)/5. 5. 7'(й) = (сЫ вЂ” соей)/2. 6. 7"(й) = (ейпй+йсояЗй)/2. 7. Я) = (1 — соя й)ц(й — 1). 8. 7(й) = (й — 1 — сйп(й — 1))ц(й — 1). 9. )(й) = (1 — сов(й — 1) — (й — 1) яш(й — 1)й2)ц(й — 1). 10.

Дй) = (1 — соя й)ц(1 — й) + (соя(й — 1) — соя й)ц(й — 1). Условия задач. Восстановить аризона,л по изображению Е(р), используя теорему умножения изображений (теорему о сверпте). 2.11. Восстановление оригинала по изображению К(р)е Р" 89 2.11. Восстановление оригинала по изображению й(р)е "' Постлиовкл злдлчи. Восстановить оригинал 1(1) по егв изображению г (р) = Л(р)е "' где В(р) — правильная рациональная дробь и т ) О. ПЛАИ Ргеп!Г211ИЯ. 1. Восстанавливаем оригинал т(1) по его изображению В(р). 2. По теореме запаздывания искомый оригинал определяется формулой 1"(1) = т(1 — 2)ц(1 — т). ПРимгР.