Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 14

Замечания. 1. Если Дх) ограничена на (а, Ь), то условие (1) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. 2. Вычисляем коэффициенты ао, ом,,., Ьы Ья.,. по формулам Эйлера — Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, ам..., Ьы Ья .., в (2) и записываем ответ. 1'л.3. Ряды Фурье 106 2я, 21г 2. Коли г" (х) многочлен относительно сов й и яп й, т.е.

Ь вЂ” а Ь вЂ” а Г 2л 2л г(с=2 (. -, +л-', я=о Пример. Разложить функцию у = х + 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале (я, 2я). РЕШЕНИЕ. 1. Проверяем, что 2л 1" (х) г1х ( со. Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (я,2я). 2. Вычисляем коэффициенты ао, аг,..., Ьг, Ь2,... по формулам Эйлера — Фурье. Имеем 1 Р Зя+2 ае = — / (х + 1) дх = л,/ 2 л 2 а„= — / (х+ т/ 2л 2 Ь„= — ~ (х+ 1)сов2пхогх = О, 1 1) яп 2пх г1х = — —. п 3.

Подставляем найденные значения коэффициентов ао, аг,..., Ь,, Ь2,... в (2). ПОлучаЕм Зя+2 з 1 х+ 1 = — 1 — яп2пх. 2 ~- п л,=1 Зя+ 2 Ответ. х+ 1 = 2 л=1 1 — яп2пх, х Е (я,2я). и то коэффициенты ряда Фурье 1'(х) определяются формулами: аь = ою Ъ1 = гдь при 1 = 0,1,...,п и а1 = О, Ь1 = О при всех Ь ) п,. К этому случаю с помощью формул понижения степени сводится задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида 1(х) = Р(вгпх, совх), где Р(и, р) — многочлен. З.З. Тригонометрический рлд Фурье функции т"(х) на (а,у) 107 9 2 г.

4 к 2(1 — сов — ") Звш — ", 1 к ~ совп — х— пгк п ~ 2 ! 2 яп — "и 3 сов — "'и 1, тг + г ~япп — х, хЕ( — 1,3). пг а п ~ 2 1 1 совпг — 1 6. 17(х — 3) = — + — ~ вшпкх, х Е (2,4). 2 к и п=1 2 2яп —" тг 7. 2В( — 1 — х) + хВ(х -~- 1) = 1 — — ~ — — — сов п — х— г тг и 2 сов г 2вгп г 1 В1П П вЂ” Х, тг пгтг ~ 2 8.

— хВ(2т. — х) + (х+ 1)В(х — 2тг) = тг(5.г — 1) ч ((-1)п тг+ 1 (-1)п1 4 п.=1 (2к + 3 (Зтг + 2)( — 1)п и и хЕ ( — 3,1) УСЛОвИя ЗлдАЧ. Разложить функцию у = Дх) в тригонометрический рлд Фурье на интервале (а, Ь). 1. 7(х) = 2х — 3 на (2,4). 2. 7"(х) = х — 1 на ( — 3, — 1). 3. ф(х) = хг на ( — 1, 3). 4. ф(х) = е* на (1, 3). 5. Т"(х) = ~х~ + х на ( — 1, 3). 6. 7(х) = 0 при 2 < х < 3 и т(х) = 1 при 3 < х < 4. 7. т(х) = 2 при --3 < х < — 1 и т"(х) = х при — 1 < х < 1. 8.

Д(х) = — х при н < х < 2тг и Дх) = х+ 1 при 2тг < х < Зк. 9. т'(х) = чтЗГГ(2+ сов 2х) на (тг,2к). 10. ф(х) = — 1п(2~ яп2Х~) на (тг,2тг). Ответы. 4 1 1. 2х — 3 = 3 — — ~~1 — вшптгх, х Е (2,4). к и п=1 2 ( — 1)п 2, х — 1 = — 3 — — ~ япптгх, т. Е ( — Зг — 1). тг и гг = 1 3. хг= — + — 1 ~ г — )сови — х— 3 тг л- (ч пгтг и ) 2 и —.-1 сов — 2 в1п —,, тГ пп пп à — — ) япп — х, х Е ( — 1,3).

и пгтг ) 2 ез — е з к ( — Цп птг( — 1)п 4. е = + (е — е) 2 сов птгх — в1п птгх, 2 пгтгг 1 1 пгкг + 1 п=1 х Е (1,3). 1л.З. Ряды Фурье 108 ,ГЗ (-1)" 9. = 1 + 2 ~ соьах, х Е (к,2гг). 2+ сов2х, (2+ и'З)ь 1 10. — 1п(2~вш2х~) = ~~ — сояпх, х е (к,2к). п в=1 3.4. Ряд сРурье функции )"(х) на интервале (О, ур) но тригонометрической системе Постлновкл злдлни. Разлозкить функцию у = г(х) в ряд Фурье на интервале (О,к) по одной из систем: 1, соя х, соя 2х,..., сов пх, .. 0 в1пх,яш2х,..., ейп пх, ..

ц сов(х,г2),сов(Зх,г2),...,соя(п + 1/2)х,...; в1п(хг2), в1п(Зх,г2),..., вш(п + 1г2)х,... в (и, и) = ~ и(х) и(х) Йх. о Функция 1 принадлежит этому пространству тогда и только тогда,когда (1, 1) = / Г'(х) Нх < оо. о При этом искомое разложение функции у = г" (х) в ряд Фурье на интервале (О,.г) по системе 1, соях, соя2х,..., сових, имеет вид Дх) = ао+ ~~~ а„совах, т =1 (2) где коэффициенты ао, аг,... определяются формулами Эйлера— Пллн ригпгггия. Каждая из систем: 1,совх, сов 2х,.,.,совпх,., ц вднх, вш2х,..., яшпх,,. ц сов(хг2), сов(Зхгг2),..., сов(п + 1Г2)х,... и в1п(хГ2), в|п(Зх/2),..., в1п(п-ь 1 12)х,...

образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (О, к), со скалярным произведением 3.4. Рлд Фурье Дх) на (О,и) по триеонометричесноа системе 109 Фурье: .1ах) дх (г 1) о ао = ' = = — / У(х)г1х (1, 1) . гг / 1з г1х о — среднее значение 1 на интервале (О,я), дс г'(х) салихах (у, соя пх) аи— (соя гех, соя пх) ) сояз гехах о (3) л 2 — / Г(х) сояпхНх, о (3') ..

определяются формулами Эйлера — Фурье: ) Г" (х) яш пх Нх о ) я1п гехах о где коэффициенты Ьг, Ьз (у, яш пх) (яш пх, я!и пх) где и = 1,2,... Искомое разложение функции у = 1(х) в ряд Фурье на интервале (О, л) по системе соя(х,Г2), соя(3хГ'2),..., соя(п+1гг2)х,... имеет вид 2и+ 1 Г(х) = ~ ~а„соя х, 2 (6) и=с где коэффициенты Ьг, Ьз,... определяются формулами Эйлера-Фурье: 2и+ 1 у" (х) соя х г1х о х) )' а2п+1 ~ соя хНх 2 о 2п+ 1 у'(х) соя — хНх, и = 0,1,...

(7) 2 о , г', соя .— — х 2и+ 1 2п+ соя х,соя 2 ' 2 где и = 1, 2,... Искомое разложение функции у = 1(х) в ряд Фурье на интервале (О, гг) по системе я1п х, я1п 2х,..., я1пих,... имеет внд у(х) = ~~ Ь„ьйппх, (4) 1'л.д. Ряды Фурье 110 Искомое разложение функции у = Дх) в ряд Фурье на интервале (О, я) по системе яп(х/2), яп(3х/2),..., яп(п + 1/2)х,... имеет вид 2п+1 1'(х) = ~~~ б„яп х, л=о (8) где коэффициенты ао, ам,, . определяются формулами Эйлера — Фурье л /', 2п+1 2п+ 1 1(х) яп ' х е1х 7', вш х / 2 2п+ 1, 2а+ 1 вш х,вш х ( .

э2п+1 2 ' 2 ) (яп 2 * е1х о 2 Р, 2п+1 = — / 1(х)вш хдх,. п=0,1,... (9) 2 о 1. Проверяем, что у( )2 алХ о 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера— Фурье (3) — (3'), (5), (7) или (9). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов соответственно в (2), (4), (6) или (8) и записываем ответ.

РЕШЕНИЕ. Искомое разложение функции у = х+ 1 в ряд Фурье на интервале (О, н) по системе 1, сов х, сов 2х,..., сов пх,... имеет вид (2). 1. Проверяем, что л( )2 о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (О, н). Пример 1. Разложить функцию у = х+ 1 в ряд Фурье на интервале (О,я) по системе 1, совх, сов2х....., совпх,...

3.4. Рлд Фурье !'(х) но (О,л) ио триеонометрииесноа системе 111 2. Вычисляем коэффициенты ао, аг,... по формулам Эйлера— Фурье (3) — (3'). Имеем л 1 гг+ 2 ао = — / (х+ Ц гГх = 2 о 2 /' 2 совпи — 1 2 ( — Ц" — 1 ан = — / (х+ Ц совпхг1х =— гг пэ гг пз о 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, а!, . в (2). Получаем :с+2 2 ч ( — Ц" — 1 х+ 1= + — 1 — соз пх. 2 и.= 1 гг+2 2 ч ( — Ц" — 1 Ответ.

х+1= + — Э вЂ” — - совпх, хС (О,я). 2 я пь и=! Прими!' 2. Разложить функцию у = х + 1 в ряд Фурье на интер- 1 3 2п+ 1 вале (О, и.) по системе 1, соз — х, сов — х,..., сов х,... Ригпинии. Искомое разложение функции у = х+ 1 в ряд Фурье на 1 3 2п+ 1 интервале (О, я) по системе 1, сов — х., сов — х,..., сов х,... имеет 2 ' 2 ' ' 2 вид (6). 1.Проверяем,что 1"(х)з дх ( со.

о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (О,.г). 2. Вычисляем коэффициенты ао, аг,... по формулам Эйлера— Фурье (7). Имеем Р 2п + 1 4(я + Ц вгп(я,г2 + пя) а = — / (х+ Цсов хг1х лл г 2 гг 2п+1 о 4( +Ц (-Ц" гг 2п -!- 1' 1'л.д. Ряды Фурье 112 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, аг,... в (6). Получаем 4(гг+ 1) ч ( — 1)п 2п+ 1 х+1= сов х. л 2п+1 2 п=о 4(гг+ 1) к ( — 1)п 2п+ 1 Ответ. в+1= — — — 1 — — — сов — — -х, х Е (О,л). л ~2п+1 2 п=е Условия задач.

Разложить функцию у = Дх) е ряд Фурье на интервале (О, л) по указанной системе. 1. 7'(х) = х+ 1 но янх,в1н2х,...,янпх,... 1 3, 2п+1 2. 1(х) = х+ 1 по яв — х,ян — х,...,ян х,... 2 ' 2 ' ' 2 3. 1' (х) = х(гг — х) но 1, сое х, сов 2х,..., сое пх,... 4. 1(х) = х(гг — х) но вшх,ян2х,...,янпх, 1 3 2п+1 5. 7'(х) =хг цо сов — х, сов — х,...,сов х,... 1, 3, 2п+1 6. 1(х) =хг цо ян — х,вш — х,...,вш х,... 2 ' 2 ' ' 2 7. 7'(х) = е* но 1,совх,сов2х,...,сових,... 8.

г"(х) = е* по янх,вш2х,...,янпх,... 1 3 2п+1 9. 1"(х) = е* но сое-х, сое-х,...,сов х, 2 ' 2 ' ' 2 1, 3, 211+1 10. 7'(х) = е* по яц — х,еш — х,...,вш х,... 2 2 ' ' 2 Ответы 1. х+ 1 = — ~~1 янпх. л п п=1 4 к 2( — 1)п+2п+1, 2п+1 и+1= 2 г к. ~ (2п+ 1)г 2 п=е ( — 1)п+ 1 3. х(гг — х) = — 2 11~, сов пх. 6 пг п=1 4 1 — ( — 1)" 4. х(гг — х) = — г ян пх. Л ~-~ Ггг п=1 4 ч пл (2п+1) — 8 2п+1 5. хг = — у ( — 1)п сов х.

гг ~ (2п+ 1)' 2 3.5. Рлд Фурье з'(х) на (О,П по тригонометрической системе 113 16 6. х )г п=о з(2п+ 1)( — 1)п — 2, 2п+ 1 (2п+ 1)з 2 2 ( — 1)пе — 1 + -- ~ — — —,— — — сових. з ~ пг+1 с)=1 е — 1 7. е 7Г 8. е* = — ~~) (1 — ( — 1)пе ) яшпх. з из+1 п=с 4 ч ( — 1)пе (2п+ 1) — 2 2п+ 1 9. еп= — ~ соя х. гг 4пг + 4и+ 5 2 п=о 4 ч — 2( — 1)пе + 2п+ 1, 2и+ 1 яш х. и ~-) 4пг+4пф5 2 п=о 3.5.

Ряд Ф>урье функции ~(х) на интервале (О, () ёо тригонометрической системе ПЛАИ рГГИГИИя, Каждая из систем; 1, соя — х, соя2 — х,...,сояп — х,..ц Е яш — х я!и 2 — х ... яп и — х) .. с ') гг и 2п+ 1з соа — х, соя 3 —,х,..., соя — х, .. 4 21 ' 21 ' ' 2 х,, и, 2п+1п аш — т„япЗ вЂ” х,..., яп — — — х,... 21 ' 21 ' ' 2 образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных 8 В.И.

Афанасьев и др. Постдгговкд здддии. Разлохсигпь функцию у = 7(х) в ряд Фурье на 'интервале (0,1) по одной из систем: 1, соя — т„соя 2 — х,...,сояп--х, .. 4 яп — х яп2 — х ... яшп — х ... и и 2пц 1з соя — х, соя 3 — х,..., соя 21 ' 21 ' ' 2 и, и, 2п+1п яш — х, япЗ вЂ” х,...,яп — х,... 21 ' 21 ' ' 2 1'л.3. Ряды Фурье в интервале (0,1), со скалярным произведением (и,о) = / и(т) о(х) асх. Функция с' принадлежит этому пространству тогда и только тогда,когда 1'(х) = ао + ~~~ а„сок п — х, (2) и=с где коэффициенты ао, ас,... определяются формулами Эйлера— Фурье: с Ы )~. У~1) о у". о среднее значение 1 на интервале (0,1), = — / 1(х) дх о (3) с ( / 1 (х) сок п — х с1х 1, соки — х сок и — х, сок и — х) ( г сок и — хс1х о 2 7Г = — / С(х)соки — хасх, п = 1,2,...

(3') о Искомое разложение функции у = 1(х) в ряд Фурье на интервале (0,1) по системе к1п — х, к1п2 — х,..., ксп п — х,... имеет вид 1'' 1(х) = ~ Ь„к1пп — х, я=с (УУ)= П)'д ( (1) о При этом искомое разложение функции у = 1'(х) в ряд Фурье на интервале (О,я) по системе 1, сок — х, сок2 — х.....,соки — т,... имеет 1 вид З.б. Рлд Фурье г" (х) на (0,1) по тригонометрической системе 115 где коэффициенты 6Г, бг,... определяются формулами Эйлера — Фурье: ( У ей .Г' ) ( 7'(х)вшп — хг1х б о ( — -) ГГ, Я япп — х,япп — х) с ) гяп п — хах о 2 г", Гг = — / гг(х) япп — хагх, и = 1,2,... (5) 1/ о Искомое разложение функции у = ~(х) в ряд Фурье на интервале и я 2д+1я (О, 1) по системе соя — х, сов 3 — х,..., соа 21'21''2 — х,... имеет вид 2в+1я 7(х) = ~ а„сое — — -х, 2 2п+1я Г(х) сое -- — х с~х 2 о ), сов — х 2 п+ 1 Гг 2п+ 1 Гг сов — х, соя — х/ I' г 2п+1гг 2 1 2 1 / д( сова — — — — хг1х 2 о 2 2п+ 1 Гг = — / 7"(х) сои — хг1х, п = 0,1,...