Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 17

ь = (1о82 и), где [у) означает целую часть числа 11. Функции Ьо(х), Ь1(х), Ь2(х), ... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (О, 1), со скалярным произведением 3.7. Рлд Фурье функции 1(х) на (а,б) но ортогональной системе 135 где коэффициенты ао, а1, аг,... определяются по формулам Эйлера— Фурье: Г1 / х 6„(х) дх а (21) (6.~ ),6.( )) 1 61)гд, о 1. Проверяем, что 1 т дх(со. о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х ограничена на (О, 1). 2. Вычисляем коэффициенты ао, а1, аг,...

по формулам Эйлера— Фурье (21). Вычисляем интегралы 1 1 х 6о(х) дх = о 2' 1 Рз 1 х6„(х) д:е = ип / хдх — и„/ хдх =— о и 12 23ье'2-ьг ' Нетрудно проверить, что 1 6 (х)гдх = 1 о Подставляя вычисленные интегралы в (21), получаем 1 1 1 2211оое и~1 2 ' н=1,2,... 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, а1, аг,... в (20). Получаем 1 1 1 2 4 ~й-~ 220ояг п1!2 п=1 1 1 1 п=1 Условия задач. Разложить функцию у = 1(х) в ряд Фурье на интервале (а,б) но системе у„(х) (и = О, 1,...) 1.

Дх) = агссовг х на ( — 1, 1), дп(х) = Тп(х) — многочлены Чебышева. 136 1'л.3. Ряды Фурье 2. У(х) = хг+1 на ( — 1, 1), уг„(х) = Т,,(х) многочлены Чебышева. 3. У(х) = ~х~ на ( — 1, 1),,р„(х) = Р„(х) — многочлены Лежандра. 4. У(х) = 2+Зсоях~-совках на (О,к), ~е„(х) = Р„(соях), Є— многочлены Лежандра. 5. У(х) = 1+ соях — соя 2х+ 2 соя Зх на (О,к), у„(х) = Р„(соя х), Р„многочлены Лежандра. 6.

У(х) = сЬх на ( — оо,оо), р„(х) = Н„(х) — многочлены Эрмита. 7. У(х) = в1пх на ( — со, со), уг„(х) = Н„(х) — — многочлены Эрмита. 8. У(х) = 1 — хг на (0,1), уп(х) = Ло(угьх) (и = 1,2, ), Уев функция Бесселя,,Уе(р„) = О. 9. У(х) = х(1 — хг) на (0,1), ~р„(х) = Уь(рях) (и = 1,2,...), ,Уг — функция Бесселя,,Уг(р„) = О.

10. У(х) = 1 — 2х на (О, 1), у„(х) = Йв(х) — функции Хаара. Ответы. г ьь ( 1)и 1. агссовг х = —, + 4 ~ ~Т„(х), х Е ( — 1, 1). 3 1 2. х + 1 = — То(х) + — Тг(х), х Е ( — 1, 1). 2 2 3. ~х~ = — + ~~~ „, Ргя(х), х Е ( — 1,1). ь=г г 2 4. 2+Зсовх+ соягх = —,Ре(совх) + ЗРг(соях) + — Рг(совх), 3 3 х Е (О,к). 4 1 5. 1+совх — соя2х+ 2сояЗх = — Ро(совх) — — Рг(совх)— 4 3 5 16 — — Рг(соях) + — Рг(соя х), х ~ (О,к). 3 5 6. сЬх = е ~ ~к ~ Нгл(х), х Е ( — оо,со). я=о 7. вшх = е '~" ~~~ г гл~, Нгьеь(х), хе ( — со,оо). (2й ~ 1)~ 2гльг 8.

1 — х = 4~ ~г г Уе(рпх) х 6 (0,1). ргд(р )' 9. х(1 — х ) = — 4 ~ ~г, Уг(р„х), х Е (0,1). 1 1 10. 1 — 2х = — ~ ~я, 6„(х), х б (О,Ц. в=1 Глава 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Ф>У РЬК 4.1. Синус-преобразование Ф>урье ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти синус-преобразование. Фурье функ- ции у(х), заданной в интервале (О,ос). ПЛАН РВШНННН. Если функция Дх) задана в интервале (О, со) и ~Д(х)~ дх < со ити /,Дх), 'дх < сс, (1) о о то ее синус-преобразованием Фурье называется функция Г2 / Г'(р) = ~/ — / У(х) в1п(рх) Йх, р Н ( — со,сю). о (2) При изучении темы ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ вы научитесь находить синус-преобразование Фурье, косинус-преобразование Фурье и комплексное преобразование Фурье различных функций и восстанавливать функции по их преобразованиям Фурье.

Эта тема тесно связана с операционным исчислением, поскольку оно основано на преобразовании Лапласа. В современной математической литературе связь преобразований Фурье и Лапласа детально исследована и они рассматриваются как частные случаи преобразования Фурье- Лапласа. С помощью пакета РЕП1ЕБНИК ВМ вы сможете вычислять интегралы, находить разложения рациональных функций на элементарные дроби, вычислять производные и выполнять все другие действия, необходимые при изучении темы. Когда вы в ней освоитесь, вы сможете вычислять преобразования Фурье и восстанавливать функции по их преобразованиям Фурье простым нажатием кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля ЯТЕМ Р1пв, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ.

Гл.4. Преобразование Фурье 138 1. Проверяем, что выполняется усвовие (1). 2. Вычисляем интеграл в правой части (2) и записываем ответ. Примкр. Найти синус-преобразование Фурье функции 1(х), заданной в интервале (О, оо): й)= О, 0<х<1, 1, 1<х<2, О, 2 <х. Ргьшггнигь. 1. Условие (1) выполняется, поскольку ~1(х) ~ дх = / дх = 1 < оо. в ! 2.

Вычисляем интеграл в правой части (2); СО г сов р — сов 2р ('(х) яп(рх) дх = / в1п(рх) дх = р в 1 Г2 совр — сов 2р Ответ. К(р) = ~(— р Ответы Г2 япр — р совр 2. Г(р) = ы— к р 4. Г(р Д 2р ) (( (рг+1)г' Г2 1 — совр 1'к р 3. Г(р) = Условия злдлч. Найти синус-преобразование Фурье функции 1"(х), заданной в интервале (О, оо).

1. Дх) =1 при 0 <х< 1 и г'(х) =0 при х> 1. 2. 1'(х) = х при О < х < 1 и г'(х) = О при х > 1. 3. г'(х) = е 4. 1(х) = хе '. 5. 1(х) = е совх. 6. 1(х) = хе совх. 7. 1(х) = г 8' 1(х) г' 0 1(х) 1 10. 1(х) = 0 при х < 1 и 1(х) = при х > 1. ' г 4.2. Косинус-преобразование Фурье р+1 р 1 Л ~1+1)э+1 (р — 1)з+1 ' 2 / р+1 р — 1 к 1 ))(р -~ 1)э+ Цз )(р 1)э+ Цз 7. Г(Р) = ° — Ябп(Р) е 'у' 2 8. Р(р) = —, э — [ ябп(р + 1) с ~" е Ц + ябп(р — Ц е 9. г (р) = -- — ре " ~ .

10. Р(р) = — до(р) 2чс2 е' 2 4.2.Косинус-преобразование сРурье 11остяновкя задачи. Найти косинус-преобразование Фурье функции 1"(х), заданной в интервале (О, сю). План ггшиния. Если функция Дх) задана в интервале (О, со) и ~~(х)~ дх < сю или / ~Дх)~ дх < оо, в в то ее косинус-преобразованием Фурье называется функция Г2 Р г'(р) = ~/ — / 7"(х) сов(рх) дх, р Е ( — оо,оо).

(2) о 1. Проверяем, что выполняется условие (1). 2. Вычисляем интеграл в правой части (2) и записываем ответ. Пгимвг. Найти косинус-преобразование Фурье функции Дх), заданной в интервале (О, со): О, 0<х<1, У(х) = 1, 1 <х< 2, О, 2 < х. Гл.4. Преобразование Фурье 140 Ркшкние. 1. Условие (Ц выполняется, поскольку СЮ г ~Дх)~ ах = / ах = 1 < со. о 1 2.

Вычисляем интеграл в правой части (2): яп2р — япр 7'(х) сов(рх) Йх = / сверх) ах = р о 4 Г2 вш2р — япр Ответ. г'(р) = ~(— р Условия алдлч. Найти косинус-преобразование Фурье функции Ответы. 1. Г(р) = г 2 япр Г2 совр+ рвшр — 1 2. Г(р) = ы— и р 1~ я рг Я 1 рг и рг+1 у„(гь цг' 1 ~ 1 1 з2 '((ус Цг+ 1 (, Цг+ 1 )' 1 — ( +Ц' 1 — ( — Ц' 2- 1 ((р+ Цг+ Цг ((р Цг+ Цг — е 8.

Е(р) = ° — (е ~"46+е 2 у' 2 — 4 lя 1 — е — е Р!4 10 Г(р)= / —— 2тГ2 2 !Р~ 3. Е"(р) = 5. Е(р) = 6. Е(р) = 7. Е(р) = 9. Г(р) = 1(х), заданной в интервале (О, со). 1. г(х)=1 при О<х<1 и г(х)=О при х>1. 2. 7'(х)=х при О<х<1и у"(х)=О при х>1. 3.7'(х)=е 4. 1"(х) = хе '. 5, г"(х) = е з совх. 6. Дх) = хе совх. 7. Дх)= . 8. Дх)= . 9.

Дх)=е 1О. У( ) =1 ~. 4.3. Комплексное преобразование Фурье 4.3. Комплексное преобразование сРурье Пллн ркшнния. Если функция Дх) задана в интервале ( — со, ою) ~~(х)~дх < оо или з~ ~Дх) дх < оо, (1) то ее комплексным преобразованием Фурье называется функция г(р) = 1 г"(х)езо дх, р с ( — со,со).

ч2к у (2) 1. Проверяем, что выполняется условие (1). 2. Вычисляем интеграл в правой части (2) и записываем ответ. Примш'. Найти комплексное преобразование Фурье функции Х(х) = О, -оо<х<1, 1, 1<х<2, О, 2<х. Ришннин. 1. Условие (1)выполняется,поскольку Ево г ~Дх) ~ еЬ = ~ бх = 1 < оо. 2. Вычисляем интеграл в правой части (2): -есю г ег'р — е'р дх)е р дх = / е'* ах = гр 1 е *Р— еья Ответ. г"(р) = лз 2я гр Постлновкл злдлчи.

Найти комплексное преобразование Фурье функции Дх). 142 Гл.4. Преобразование Фурье Условии ЗАДАЧ. Найти комплексное преобразование Фурье функции 1(х). 1. 7"(х) = 1 при 0 < х < 1 и 7"(х) = 0 при х > 1 и х < О. 2. 7'(х) = х при 0 < х < 1 и г"(х) = 0 при х > 1 и х < О. 3. 1'(х) = е ' ц(х) *г . 4. Г (х) = хе хц(х). 5. 7"(х) = е хц(х) совх. х+1 х — 2 6. 7(х) = е ~ц(х) вшх. 7. ((х) = . 8. Дх) = 1+ хг 4+ хг' 9.

з (х) = е * . 10. 7'(х) = агс18(х + 1) — агс18 х. Ответы. 2. с(р) = 1 евп(1 — ур) — 1 у2 Рг 1 1 4. Е (р) = /2к (1 — 1Р)г' 1 ехн — 1 1. Г(р) = тг2н гр 1 1 х/2~г 1 — 1р 3. Г(р) = 5. Р(р)— + 1 — 1(р+ 1) 1 — 1(р — 1) 2~ 2гг 1 6. Р(р) = 1 — г(р + 1) 1 — г(р — 1) 2ъг2~гг — е ~Р~ [1+1вг8п(р)).

2 — е ~" ~ [ — 1 + 1вг8п(р)). 2 7. Р(р) = 8. Е(р) = Гк 1 — е 10. с'(р) = )( —, е гг' 2 гр 9. Г(р) = — е' " гл. ъ'2 4.4. Комплексное преобразование Фурье и функции вида 2: а~х "К(Ь~,.х+ сО) 1=1 используя 'известные преобразования Фурье функций ЗЬ(х). О Единичная функция Хэаисайда П(х) Г— И 1 цри х > О и О(х) = О цри х < О. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти комплексное преобразование Фурье функции вида аьх 'уь(бьх ф сь), ь=! 4.4.

Комплексное иреобразование функции 2 авх"'"уь(Ьнх+ сь) 143 в-1 ПЛЛН 1'КП1ИНИя. Комплексное преобразование Фурье имеет следующие свойства: если ~(х) 1Р(р) д(х) 1С(р) и а,Ь,с=сопв1, то 1. Я. ) + д(х) р (р) 4- С4(р),. 2. ау(х) в — в аК(р). У(Ь*) — Г © (Ь Ф 6); 4. У(х+с) ~ — > е ""р(р); 5. е" Дх) н — 1 Р(р у с). 1 в1" 6. хиу'(х) н — в — р(р) в1" 7.

ф(х) ~ — 1 ( — 4р)нР(р). 8. ф * д (х) = в~ Ду)д(х — у) 4у с (р) .сс( ). 9. 1(х) д(х) 1 р С4(,) / У( )д(х) 4*= ~ К(~)С(~)'с~~; 11. ф(х)' ~ К( р)* Используя свойства 1-4 и 6,получаем 7 аьх "уь(Ььх + сь) н — в У аь — е "'" — Рь гн" 4рив Ь ~,Ь;„) ь=> и=с Поимке 1. Найти комплексное преобразование Фурье функции Дх) =е используя формулу 2 1 еа е — ~ — е ~/2 Гл.б. Преобразование Фурье РЕшЕЕЕЕ. Представив функцию 1(х) в виде 1(х) = е ~ ~1, используем свойство 3. Получаем Е ь — Ь вЂ” — — ЕР~ — изх — 4Ь Ь уГ2 Ответ.