Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 12

Восстановить оригинал 1(1) по его изображению е — гр В(р) = —— (рг + 1)' Ркшкник. 1. Восстанавливаем оригинал т(1) по его изображению 1 (р) (рг л цг' Имеем 1 в1п1 с ~ 2 г+1' По теореме умножения изображений 1 1 яп1*яп1 ь — ь р2+! рг ! Вычисляем свертку 1 1 вш1 ь вш1 = / яп(1 — т) япт Йт = — 1сов1 — — в1п1. 2 2 о Таким образом, 1 1 т(1) = — 1сов1 — — яп1.

2 2 2. По теореме запаздывания искомый оригинал определяется фор- мулой 1 Д1) = т(1 — 2)ц(1 — 2) = — [(! — 2) сов(1-- 2) — яп(1 — 2)]ц(1 — 2). 2" 1 Ответ. 1(1) = — ](! — 2) сов(! — 2) — вш(1 — 2)]ц(1 — 2). 2 Гл. 2. Операционное исчисление 90 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Восстановить оригинал 1(1) по его изображению г'(р). е" 1. е(р) = — ' —. рг + е -г; 3.

е(р) = — —. р — 3 2е 4 — зр 5. Г(р) = р(р'+ 9) 6. е(р) = е — ао 8. Е(р) = ,. г(„, ц 7' Р(Р) Рг 3' ре р (г+1)(г+1) ПЬ Г(р) = (р'+16)'' 2.12. Решение линейных дифференциальных уравнений постяновкА зядячи. найти решение задачи коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами а„х~"0+ а„гх~п П -~... + агх'+ аох = з"(й) с начальными условиями х~" Н(0) = хоб' х(0) = хо х (О) = хо, ПлАн гкшкния. Если 7"(1) — оригинал, то искомое решение дифференциального уравнения х(1) также является оригиналом. Обозначим его изображение Х(р). 1. Находим изображение левой части уравнения.

Ответы. 1. 7(1) = вш(1 — 1)ц(1 — 1). 2. 7(1) = сов(1 — 4)ц(1 — 4). 3 7(1) егр — г]сц(1 7) 4 7ЯвЬ 2(1 5)0(1 5) 5 фЯ (1 — сов(31 — 9))ц(1 — 3)/9. 6. ~Я = (вЬ(1 — 1/2) — вш(1 — 1/2))9(1 — 1/2)/2. 7. г" Я = сЬ(иЗ(1 — 1))ц(1 — 1). 8. )Я = (вЬ(1 — 3) — 1 — 3)ц(1 — 3). 9. З (с) = (сов(1 — 6) — сов(21 — 12))Ц(1 — 6).

10.7(с) = (1 — к) гЗп(41 — 4к) х хц(1 — к)/8. 2.12. Реиеение линейных дифференциальных уравнений о1 По теореме о дифференцировании оригинала х'(1) е — у рх(р) — х(О), хв(1) е — ~ р~Х(р) — рх(0) — х'(0), хбб(1) е — ~ р"Х(р) — р" ~х(0) —... — хг' О(0). По свойству линейности аих~"~ + аи ьх~" О +... + аьх + аах е — ь < — ~ (а„р"+а„,р '+...+аьр+ае)Х(р) — р" 'хв — р" Х~ —...— 2. Находим изображение правой части уравнения УИ) ~ — ~ г(р) 3.

Составляем операторное уравнение (а„р" + а„,р" '+... + а,р+ ав)Х(р) = =Р(р)+рн 'хе+р" 'х',+... +х,'" 4. Решаем операторное уравнение относительно Х(р). 5. По найденному изображению Х(р) восстанавливаем оригинал х(е). 6. Проверяем, удовлетворяет ли х(1) исходному дифференциальному уравнению и начальным условиям. Записываем ответ. ПГИМГР. Решить задачу Коши хи+ 4х = сов21., х(0) = 1., х'(О) = — 1. Ргшкник.

Так как Я) = сов 21О(1) — оригинал, то искомое решение дифференциального уравнения х(1) также является оригиналом. Обозначим его изображение Х(р). 1. Находим изображение левой части уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала х'(1) е — ~ рХ(р) — х(0) = рХ(р) — 1, хн(1) е — ~ рзХ(р) — рх(О) — х'(О) = рзХ(р) — р + 1. По свойству линейности хи + 4х е — ~ (р + 4)Х(р) — р + 1 Гл. 2. Операционное исчисление 92 2.

Находим изображение правой части уравнения соя 2С л — ь— р рг+ 4 3. Составляем операторное уравнение (рг + 4)Х(р) — р+ 1 = 4. Решаем операторное уравнение относительно Х(р): р р х(р) = + (р2+ 4)2 р2+,1 р2+ 4' 5. По найденному изображению Х(р) восстанавливаем оригинал х(С): 1 1 х(С) = — С вш 2С + соя 2С вЂ” — яш 2С. 4 2 6.

При подстановке х(С) в исходное дифференциальное уравнение оно обращается в тождество. Вычислив х(0) и х'(0), убеждаемся, что х(С) удовлетворяет начальным условиям. 1 1 Ответ. х(С) = — Сяш2С+ соя 2С вЂ” — яш2С. 4 2 Условии задач. Решить задачи Коши для дифференциальных уравнений. = 3. = О. = О. = О. хо(0) = 1. хо(0) = 9. хо(0) = 1. =О, Ответы. 1, х(С) = 1,75 — 1,5С вЂ” 1,75е 5 3 х(С) е зг+С 1 4 х(С) евс 5 х(С) ейп 9 1 3 1 6.

х(С) = — (1 — сояЗС). 7. х(С) = — яш2С вЂ” — я1пЗС. 9 10 5 Сз х(С) е — зс 10 х(С) ес( + 1 2С л 2Сг) 6 2. х(С) = — С. 4 С+ — яш 2С вЂ” — соя 2С. 9 3 8. х(С) = 1 — С+ос. 1, 2 +2х=2 — ЗС, 2, х' — х= С вЂ” 1, 3. т'+ Зх = ЗС вЂ” 2, 4. хо — Зх' л- 2х = 2езс, 5. хо+ х' = Ссоя2С, 6. хо+9х= 1, 7, хо + 4х = яш ЗС, 8. хо' — хо = 0 9.

хо' + бхо + 11х' + бт, = О, 10. хо' — Зхо + Зх' — х = е', х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = х(0) = О. О. О. 1, х'(0) О, х'(0) О, х'(0) О, х'(О) 2, х'(0) 1, х'(0) 1, х'(0) 2.13. Решение систпем линейных дифференциальных уравнений 93 2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Решить задачу КОши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентаами1 х = Ах(у) + 4'(й) с начальными условиями х(0) = хо, где х = (хт,...,х„) — - вектор неизвестных, хо = (хот, .,хво)— вектаор начальных значений, а11 а12 ...

ат„ а21 а22 ° а2 а„т алз .. а„„ матрица коэффициентов и Г(1) = (фт(1),..., З'„(Я заданная вектор-функция. Плян гкшкния. Если фт(1),..., З'„(1) являются оригиналами, то функции х1(т),...,х„(т) также являются оригиналами. Обозначим их изображения Хт(р),..., Х„(р). 1. По теореме о дифференцировании оригинала и по свойству линейности находим изображения левых и правых частей всех уравнений системы. 2. Составляем систему операторных уравнений рХ вЂ” хо = АХ(р) + У(р). 3.

Решаем систему операторных уравнений Х(р) = (рŠ— А) ' (Е(р) + хо), где Е единичная матрица и-го порядка. 4. По найденным изображениям Х(р) = (Х1(р), Хз(р):, Хв(Р)) восстанавливаем оригиналы х1(т), хз(т),..., х„(т) . 5. Проверяем, удовлетворяю г ли х1 (1), хг(1),..., х„(Ц исходной системе дифференциальных уравнений и начальным условиям. Записываем ответ. Гл. 2. Операционное исчисление ПНИМЕЕ.

Решить задачу Коши < х' = х + 29 — 91, х(0) = 1, у 2х+у+4ес у(0) 2 Решение. Предполагая, что функции х(1) и р(1) являются оригиналами, обозначим их изображения Х(р) и У(р). 1. По теореме о дифференцировании оригинала х'(1) е — ~ рХ(р) — х(0) = рХ(р) — 1, у'(1) е — ~ рУ(р) — у(0) = рУ(р) -2.

По свойству линейности находим изображения правых частей урав- нений системы: 9 х + 29 — 91 е — ~ Х(р) + 2У(р) — —,, з' 4 2х+ у + 4е' е — ~ 2Х(р) + У(р) + р — 1 2. Составляем систему операторных уравнений: РХ(р) — 1 = Х(р) + 2У(р)— 9 4 рУ(р) — 2 = 2Х(р) + У(р) + 3. Решаем систему операторных уравнений 4 3 3 8 8 4 х(р) — — — —, — + + р — 1 р ра р(р — 1) (р — 1)(р+ 1) (р — 3)(р — 1) 4 6 4 2 2 р рз р+1 р — 3 4.

Восстанавливаем оригиналы по изображениям Х(р) и У(р): х(1) = 2ез' — 4е "— 2е'+ 5 — 31, у(1) = — 4+ 61+ 4е ~+ 2ез'. 5. При подстановке х(1) и 9(1) в исходную систему оба уравнения обращаются в тождества. Вычислив х(0) и у(0), убеждаемся, что х(1) и у(с) удовлетворяют начальным условиям. Ответ. х(1) = 2езс — 4е ~ — 2е + 5 — 31, у(1) = — 4+ 61+ 4е ~+ 2езс. 2.13. Решение еиетаем линейньсх дифференциальных уравнений 95 Условия злдАч. Решить задачи Коши длл систем дифференциальных уравнений. х' = у — 1, х(0) = 1, у' = — х — 2у, у(0) = — 1. х' = — у+ 2, х(0) = — 1, у' = х+ 1, у(0) = О.

З х'+2х+у'=1, х(0) =О, ) х' — 2у= О, х(0) =2, хс+4у'+Зу= О, у(()) =О. ' ) у' — 2х= О, у(0) =2. х ' = Зх + 4у, х(0) = 1, ) х' = 2х + Зу + 1, х(О) = — 1, у' = 4х — Зу, у(0) = 1. ' ) у' = 4х — 2у, у(О) = О. 7. х'= — х+Зум1, х(0)=1, Г х'+у=О, х(0)=1, у'=х+у, у(0)=2. ' ~ у'+х=О, у(0)=-1. 8. ~ х'= — у, х(0) =1, ) х'+у' — у=е', х(0) =О, у' = 2х+ 2у, у(0) = 1. ') 2х'+у'+ 2у = сов1, у(0) = О. Ответы.

1. х(С) = Зе '+ се ' — 2, у(1) = 1 — 2е ' — 1е 2. х(1) = 3. х(1) = 4. х(1) = 5, х(1) = 6. х(с) = 7. х(1) = 8. х(1) = 9. х(1) = 10. х(1) = у(1) = 2еЗп1 — 1, у(1) = 2 — 2сов1. 1 1 3 1 — — -е — — е, у(с) = — (е — е — -всСи -с -исп 2 5 10 ' 5 5зс 1 и 5гс 1 — вс — е — — е, у(с)= — е ' — — е 2 2 ' 2 2 и 1-вс 3 и 2-и — ев — — е, у(4) = — е' + — е '' . 5 5 ' 5 5 и 5 -и 1 3 лс 5 -лс — — — — е — —,е, у(1) = — — — — е + — е 8 16 16 ' 4 8 8 15 вс 9 зс 1 15 сс 3 — 2с — е — — е + —, у(1) = — е + — е 8 8 4' 8 8 4 е', у(1) = — е'. е'(сов1+ 4в1п1), у(1) = е (сов1+ 3в1п1). 11», 3 5, 1 е' — — е — — сов с + -- вш 34 17 17 2' 2, 22 лс 4 1 — — е + е + сову — вш 3 51 17 17 Глава 3 РЯДЫ ФУРЬЕ При изучении темы РЯДЫ ФУРЬЕ вы научитесь разлагать функции в тригонометрические ряды Фурье и в ряды Фурье по произвольным ортогональным системам на различных конечных и бесконечных интервалах.

Основную трудность при изучении темы РЯДЫ ФУРЬЕ составляет вьгчисление интегралов. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам вычислять интегралы и тем самым существенно облегчит изучение темы. Впоследствии, например при решении уравнений математической физики, вы сможете получать разложения в ряды Фурье интересующих вас функций нажатием нескольких кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля ЯТЕМ Р1пв, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 3.1. Тригонометрический ряд Фурье функции ~(х) на интервале ( — 1р, л) Постлновкл злдлчи. Разложить функцию у = тих) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — к, к). Пллн гингния, Тригонометрическим рядом Фурье на интервале ( — гг, гг) называется ряд ао + ~ (а„сов ггх + Ь„в1п ах). и=-г Функции 1,совх,сов2х,...,сов пх,...,вшх,вш2х,...,в1впх,...