Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 10

Наименьшее число в, для которого выполняется это неравенство, на- зывается показателем роста функции ((г). 73 2.1. Понлтпия оригинала и изображения Коли 7"(е) оригинал, то ее преобразование Лапласа Г(р) (р комплексная переменная) определяется формулой Функция г (р) комплексной переменной р называется также изображением (по Лапласу) функции 7" (1). Связь оригинала и изображения обозначается символом Ф) р'(р).

Замечание. В полуплоскости Кер > о (г — показатель роста оригинала 7"(е)) интеграл (1) сходится абсолютно и определяет аналитическую функцию г'(р). 1. Доказываем, что функция Д1) является оригиналом, проверяя выполнение условий а) — в). Определяем показатель о роста функции 111). 2.

Находим изображение г'(р), вычисляя интеграл (1) в полуплоскости Кер > о. Пиимнр 1. Доказать, что функция Хевисайда Г1, 1>0, 0<1) =1 0' является оригиналом, и найти ее изображение (по Лапласу). Рншннин. 1. Условия а) — в), очевидно, выполняются. Так как функция г1(1) ограничена,то ее показатель роста о = О. 2. Находим изображение г" (р) по формуле (1): г'(р) = г1(1)е р~Ж= — — е — е о р о р т.к. из ~е ое~ = ено~ рб = е' еноо следует, что Ыш е "~=0 при Нер>я=0. Е-чЧ-оо 1 Ответ. е1(1) е — а —. р Примнр 2. Доказать, что функция 11г) = г1(1)е', а Е С является оригиналом, и найти ее изображение (по Лапласу).

Гл. 2. Операционное исчисление рао (а — рц г (р) = / е' е р ас =— о Р о а Р р а т.к. из равенства (е~' РН~ = е Ннов ~"~ следует, что Ыш е~' рр = 0 при Кер > Неа. с-ал-ао 1 Ответ. е'~0(1) е — +- р — а Замечание. Поскольку все функции-оригиналы имеют вид ( (1)0(1) (условие а), в дальнейшем п(1) будем опускать: например, 1 е — -р 1/р, е" ь — р 1/(р — а). Условия зядлч.

Доказать, что функция 1(1) является оригиналом, а найти ее изображение (по Лапласу). 1, 0<1<1, — 1, 1<1<2, О, 1<0, А>2. 1, 1<1<3, 2, 1 > 3, О, 1 < 1. 4. 1(1) = -1+1, 0<1<2, О, .1<0, .1>2. 1+1, 0<1<1, О, 1<0, Х>1. 8. 7'(1) = 1, 2к < 1 < 2Й+ 1, — 1, 21+1 <1< 21+2, О, 1<0 (1=0,1,...). О, 1 < 1, 1 — 1, 1 < 1 < 2, 1, 1 > 2. с 0<1<1, -1+2, 1<1<2, О, 1<0, 1>2.

е — 0 — Н 1>1 10. 1'(1) = 9. 1(1) = Ответы. 1. Г(р) = (1 — е Р)(р. 2. Р(р) = (1 — 2е "+ е зР)/р. 3. Р(р) = (е Р + е аР)(р. 4. Г(р) = (1 — е Р— ре Р)(р . 5. Г(р) = (1 — е Р— 2ре Р+р)(р~. 6. Р(р) = (1л-е з" +ре зР— р)(р~. 7. г(р) = (1 — е Р)/(р+ре "). 8. Р(р) = (е Р— е ев+2ре зР)/рз. 9. Р(р) = (1 — 2е Р -~- е зР)(рз. 10. Г(р) = е Р((р+ 1). РЕШЕНИЕ. 1.

Условия а) — в), очевидно, выполняются. Показатель роста в функции 1(с) = 0(С)еол равен Кеа. 2. Находим изображение Г(р) по формуле (1): 2.2. Изображение функции вида 2 еь~ва) 75 и 2.2. Изображение функции вида 2. САД® к=1 ПостАИОнкА ЗАдячи. Найти изображение функции и сууь(г), у=1 если 1ь(1) ~ — ~ Рь(р) (й = 1, 2,...,и).

ПЛАН ННШННИя. Свойство линейности. Если ~1 (1), фз (1),..., ф„(1) — оригиналы и Р1 (р), Рз (р),..., Р„(р)— их иэображения, то Чся й С функция Д1) = 2 ", сл1л1г) также является оригиналом и ее изображение Р(р) определяется формулой Р(р) = с~Р,(р) + сзРз(р) +... + с„Р„(р). 1. Представляем функцию Я) в виде линейной комбинации функций, изображения которых известны. 2.

Используя свойство линейности, находим искомое изображение. Записываем ответ. Прими' 1. Найти изображение функции 11г) = 4+ Зе РКШИНИН. 1. Функция 7'(1) является линейной комбинации функций, изображения которых известны: 1, 1 1е — ~ — и еил — ~ р р+1' 2. Согласно свойству линейности получаем 1 4+Зе — е~ ~4 +З р р+1 4 3 Ответ. 4+ Зе ~ е — ~ — + р+1' Примну 2. Нанти изображение функции Я) =соей Гл. 2. Операционное исчисление РЕШЕНИЕ. 1.

Представим 1(1) = сов1 в виде линейной комбинации функций соя1 = = — ес + — е 2 2 2 изображения которых известны: Саа4 а Š— аСС 1 1 Р— С' Р+С 2. Согласно свойству линейности получаем и — н р сов1= — е'+-е ' е — г + 2 2 2р — с 2р+г рг+1 Ответ. соя1 е — л р рг + УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Найти изображение функции ((1)с1(М).

1. Г(й) = япй 2. 1(1) = сЬЬ 3. 1(1) = вЬХ. 4. 1(1) = яш(1+ ср). 5. ~(1) = сов(1+ сг). 6. ~(1) = 5е "+ 3совХ. 7. Д(1) = в1п1+ сов1. 8. ((1) = ~Ь1 — айпй 9. ((1) = ~ЬХ вЂ” соек 10. ~(1) = сов~(1сС2). Ответы. 1. Р(р) =1/(рг+Ц. 2. Н(р) =рсс(рг — Ц. 3. г(р) =1СС(рг — Ц. 4. г(р) = (сезар+ ряшса)с(рг+ Ц. 5. Г(р) = (рсовар — яшар)сс(рг+ Ц. 6.

Е(р) = (8рг + бр+ 5) /(рв + 2рг + р+ 2). 7. Е(р) = (р+ ЦСС(рг+ Ц. 8 г(р) 2~(рл Ц 9 Е(р)=2р7(рл — Ц 10 Е(р)=(2рг+Цсс(2рз+2р) 2.3. Изображение функции вида ~(а1) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найпш изображение функции Г(а1) (а >О), если 1"(1) 4 — г Г(р). ПЛАН РЕШЕНИЯ. Теорема подобия. Если функция гл(1) — оригинал и г'(р) — ее изображение, то Ча > 0 функция С" (а1) также является оригиналом и ее изображение определяется формулой 1(а1) 4 — ~ — Е ( — ) .

ПРИМЕР. Найти изображение функции С"(1) = совогй (иг > О). 2.4. Изображение функции вида е ~З'(Е) 77 Решение. Имеем соя1 е — ч р 2 Тогда по теореме подобия Чы > 0 Р!во Р соя во1 е — ~— а(И )я+1 Рз+ ' Ответ. сов ы1 в — в р 2+ 2' Замечание. Вычисляя изображение по определению или используя формулу Эйлера и свойство линейности, легко убедиться, что полученная формула справедлива Ы > Е С. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Найти изображение функции, ф(1)0(1). 1. 7"(1) = ейп21.

2. 7'(1) = сЬ2Е 3. 7"(1) = яЬ2Е 4. 7"(1) = яш(1/2). 5. ф(1) = соя(1/2). 6. ф(й) = яшз1. 7. ф(1) = соя'1. 8. ф(1) = яш31 соя 2Е 9. ф(е) = яш(ы1+ у). 10. ф(е) = соя(оз1+ д). Ответы. 1. Р(р) = 2((рз ~- 4). 2. 1"'(р) = Р7(Р— 4) 3. т'(Р) = 2((рз — 4). 4. Р(р) = 2!(4рз + 1). 5. Г(р) = 4р/(4р + 1).

б. Е'(р) = 2!(Рз + 4Р) 7 Е(р) = (р' + 2)!(Рз + 4Р) 8 Р(р) = = (Зря+ 15)Дра+ 2бр' + 25). 9. Р(р) = (азсоявз+ рауна((р'+ ыз). 10. Г(р) = (рсоя~р — ыяшцз)7(р + аз~). 2.4. Изображение функции вида е "~(~) ПОСТАНОВКА ЗАЛАЧИ. Найти изображение функции е '7(1) (а Е С), если 1(е) Š— Р Х'(р). ПЛАН РЕШЕНИЯ. Теорема ватутин я (или смещения). Если функция 7"(1) — оригинал и Р(р) — ее изображение, то Ча Е С функция е еЗ" (1) также является оригиналом и ее изображение определяется формулой е '~7(г) е — ~ г (р+ а).

ПРИМЕР. Найти изображение функции 7"(1) = е 'соя21. РГШЕНИГ.. Имеем 21 соя 21 е е— в рз+4 Гл. 2. Операционное исчисление 78 Тогда по теореме смещения при а = 1 е сов 21 е — + — с р+ (р+ 1)'+ 4' Ответ. е сов 21 е — ч — е р+1 р -Р2р+5 Условия здддч. найтаи изображение функции Д1)е1(1). 1. 7(1) = езея1пЗЕ 2. 7(1) = е '(соя31+яш31). 3. 7'Я = еесояз1. 4. 7(1) = ез'яш й 5. 7Я = еоесовоЛ. 6. 7" Я = елея1пый 7. 7(1) = е" сов (ы1+ р).

8. 7Я = еел я1п (ео1+ р). 9. 7(1) = сЬ~Л. соясой 10. ~(1) = я1ио1 атеей Ответы. 1. Г(р) = 3/(р' — 4р+13). 2. Р(р) = (р+4)/(р~+2р+10). 3. Г(р) = (рз — 2р+ 3) / ((р — 1) (рз — 2рй 5)). 4. Г(р) = 2/ ((р — 3) (рз — бр+13)]. 5. Р(р) = (р — а)/(рз — 2ар+ а +ыл). 6. Г(р) = ео/(рз — 2ар+ аз +олз), 7. Г(р) = (о~соя~р+ (р — а) я1п~р)/(рз — 2ра+ аз + соя). 8. Р(р) = ((р — а) саяр — ыяшрЯрз — 2ра+ аз+ юз). 9. Г(р) = рз/(рл+ 4юл). 10. Р(р) = 2ызр/(р + 4щл). 2.5. Изображение и функции вида 2 ~й(1 — тй))Я вЂ” т~) к=1 постдновкА зАддчи. найти изображение Г(р) функции п 7ь(1 — ть)т1(1 — ть) (те ) О)., ь=.1 если 7а (й) е — л Гл (р) .

ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Если функция 7ь(1) — оригинал и Гь(р) — ее изображение, то по теореме запаздывания чтя > 0 функция (ь(1 — ть)о(1 — ть) также является оригиналом и ее изображение определяется формулой зеь(1 — тя)е1(1 — ть) ~ — 'е е Р Гь(р). 2.

Используя свойство линейности, находим искомое изображение п Г(р) = Д~,е ""Г'я(р) в=1 и записываем ответ. 2.5. Изображение функции вида 2,' Зн(1 — тн)ц(1 — тн) 79 уь(1 — ть~ц(1 — ть). в=1 Пример. Найти изображение функции 0<1<1, ~ О, 1<0, 1>1. РЕШЕНИЯ. Представим Я) в виде ф(1) = ц(1) - ц(1- 1) 1. Имеем 1 О(1) е — ~ —. р По теореме запаздывания при т = 1 е" „(1-1) з — ~'— . р 2.

Используя свойство линейности, находим искомое изображение 1 Р(р)=--е р р 1 — е Ответ. т'(р) = р Замечание. Обычно функция ц(1) опускается. В случаях, к которым применима теорема запаздывания, это может привести к ошибкам. Условия злдлч. Найти изображение функции Я). сов(8 — 2), 1 > 2, О, 1 < 2. 4.Я)= 2, О, 0<1<2, 1> 2, 1 < О. 1, 0<1<1, — 1, 1<1<2, О, 1<0, 1>2. — 1+2, О, О <1 < 1, 1 <1< 2, 1<0, 1>2. б ф(1) = 5. ф(1) = 8. у'(1) = 2к <1< 2к-т1, 2Й+ 1 < 1 < 2Й+ 2, 8<0(1=0,1,...).

1, — 1, О, 7. 7(С) = Замечание. Если функция 1(е) задана разными выражениями на разных промежутках, то ее надо предварительно представить в виде п Гл. 2. Операционное исчисление 80 !в»пС!, С ) О, ~ !совС!, С ) О, Ответы. 1. Г(р) = е Р/рз. 2. Г(р) = ре зв/рз+ 1. 3. Г(р) (1 — 2е р + е зв)/р 4. Г(р) = (1 — е ав)(рз. 5. Г(р) = (1 — 2е и+ е зр)с»р . 6. Г(р) = е р/(р+ Ц. 7. Г(р) = е р)(р + р). 8. Г(р) = (1 — е Р)С(р+ре ").

9. Г(р) = (1+с Р)С((р'+Ц(1 — е Р)). 10. Г(р) = (р+ 2е "»з — ре ")(((рз + Ц(1 — е р)). 2.6. Изображение функции вида 1" )'® Постлнонкл ЗАдлчи. Найти изображение функции Сп С'(С) (и й И). ПЛАН РЕШЕНИЯ. Если функция С (С) является оригиналом и Г(р) — ее изображение, то по теореме о дифференцировании изображения имеем чи Е И С"у(С)» — ~ ( — цпГ»00(р). (Ц 1. Находим изображение Г(р) функции С(С).

2. Вычисляем производные ГОО(р). 3. Находим изображение функции С" Г(С) по формуле (Ц. Примкг 1. Найти изображение функции ,С(С) = С" Ми й И. Ркшгениге. 1. Имеем 1» — С - =Г(р). 1 р 2. Вычисляем производные и! ''(р) =-„— з Го(р) = —, " ГОО(р) =(- )" „„ 3. Находим изображение функции С" по формуле (Ц: и! рп»-1 и! Ответ.

С" » — ~ Ми е И. рпи» 2.7. Изображение функции вида з'(»)»» 81 ПРимеР 2. Найти изображение функции 1(») = »вш РЕШЕНИЕ. 1. Имеем 1 яп» в — в, = Г(р). рг+1 2. Вычисляем производную 2р Г'(р) = — (,,),. 3. Находим изображение функции» вш» по формуле (1) при п = 1: 2р »яп» г--в— (р'+ 1)' 2р Ответ. »яп» г — э (,г+ цг' Условия зАдлч.