Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 9
Текст из файла (страница 9)
~ —,— — - дх. ,/ япх+ 2 О 2к 5. дх (2 + 3 совг х) 2 О 2к дх 5+ Зсовх о 2к Йх 5 — Зсовх о дх 5 — 4 сов х О яп х — — — дх. 5+ Зсовх О дх (4 — 3 вгпг х)2 О 2к дх (5+ Зсовх)2 о 2и 1+ вгп2 х дх. 5+ Зсовх о Гл.1. Теория функций комплексной переменной ох+ / Т"(г)еЬ = 2кг'~~~ севе „ф(г).
(1) ~. (х) Р„(х) с, 1=1 Переходим к пределу при д — 1 +со. Так как т > и+ 2, то 11ш 1 ф(г) йг = О. о — ~ч-~ / Поскольку правая часть в (Ц не зависит от д, имеем ах = 2нг 'г гев. „Т"(г), ~.(.) = Р„(х) 1=1 (2) где гь особые точки функции г"(г), лежащие в верхней полуплоскости (1пг сь > 0). 2. Находим особые точки функции ф(г), лежащие в верхней полу- плоскости,и определяем их тиц. 3. Вычисляем вычеты в этих точках.
4. Вычисляем искомый интеграл по формуле (2). Замечание. Если ф(х) = Р„(х)уС),(х) — четная функция т., то можно вычислять интегралы вида ~ г (х) 11х = — / 1(х) нх по формуле (2). ПРИМЕР. Вычислить интеграл хг х3 дх. (тг+ 2х+ 17)г РЕШЕНИЕ. 1. Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной + 3 Рг(г) (яг + 2я + 17)' 1~я(г) особые точки гь (к = 1,2,..., и) функции Т'(г), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах 1.18.
Несобственные интегралы от рациональных фунйций бб и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [ — р, д) и полуокружности Се = Цх~ = о, 1шх > 0), выбрав д так, чтобы все особые точки хь (/с = 1,2,...,п) функции 1(х), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах 1( ха+3 дх+ / 1(х)с1х = 2я1~ гев,.—,„1(х). (3) (хг + 2х + 17)г с ь=г Р Переходим к пределу при р — ь +~х:. Так как степени многочленов Рг и Яв удовлетворяют соотношению т > и+ 2, то 1пп 1' 1(х) еЬ = О. е — ве / Поскольку правая часть в (3) не зависит от р, имеем хг+3 г+3 дх = 2я1 г гев,-„ (4) (х' + 2х + 17)' ' " (хг + 2х + 17)г' ь=г где гь †- особые точки функции х +3 ")-(, +,+») лежащие в верхней полуплоскости. 2.
Находим особые точки функции +3 +3 (гг+ 2х+ 17)г (х+ 1 — 4г)г(х+ 1+ 4г)г как нули (2-го порядка) ее знаменателя: х = — 1+ 4г и = — 1 — 41. Таким образом, точки х = — 14-41 и х = — 1 — 4г — полюса 2-го порядка. В верхней полуплоскости лежит единственная точка х = — 1+ 4г. 3. Вычисляем вычет в точке х = — 1+41 по формуле для вычисления вычетов в полюсах и-го порядка (и = 2): ~н — 1 гев.=.еУ(х) =, Вш „, ((х — хо)"йг)]. а В.И.
Афанасьев и др. Хл.1. Теории функций комплексной переменной Получаем гг+3 '(гг + 2г+ 17)г ( ' + 3)( У 1 — 4г)г 1 5 — г — глл'игг ((г+1 — 41)г(а+ 1+4г)г~ 641 4. Вычисляем искомый интеграл по формуле (4): хг+3 5 5п (хг+ 2х+ 17)г 641 32 сЬ = 2ггг — = Ответ. хг+3 5к Нх = —. (хг+ 2х+ 17)г 32 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помогцьго вычетов.
2. х — х+3 дх. хл + 10хг + 9 Нх 1. (хг + 4х+ 13)г 3. (хг + 4)(хг + д) о х Нх 5. (хг + 2х + 10)г хл Нх 8. (хг у 2)л' о Ответы. 1, игг54. 2. кгг2. 3, ягг30. 4. ЗАГ2ягг64. 5. — ягг648. 6 иГ2п/4 7 к/12 8 ъ'2нгг128 9 Зкгг16 10 5пгг36. 7. х Ых (хг + 3)г ' о игх (хг+ 1)г' о йх (.г+2)з' х г1х (хг+1)'(х'+ 4) о 1.19. Несобственные интегралы от функций Н(х) сов Лх и Н(х) в1аЛх 67 1.19.
Несобственные интегралы от функций В(х) сок Лх и ш'х) япЛх ПостАИОВКА 3АДАчи. Вычислить несобственные интегралы вида вою Еоо В[х) сов Лх дх, / В(х) в1п Лх дх, где В[х) — прав льнам рациональная дробь и Л ) О. ПЛАН ГКШКНИя. Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл -~-оо й(х)е' ' дх и воспользоваться формулами Щх) сов Лх дх = Ве / В[х)е' * дх, -"оо -~-оо В(х) в1пЛхдх = 1ш / Их)еы" 'дх 1. Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцшо комплексной переменной 7 (г) = В(г) е$ле и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [ — а, д) и полуокружности Св = 1[с[ = д, 1шг > 0), выбрав о так, чтобы все особые точки гя (1г = 1,2,...,п) функции 7"[г), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах г и я(*ь'"о*+~у(ег*=' 'г.м *,яе (е С ь=з 'е Переходим к пределу при д — ~ +со и используем лемму ЛКордана.
Гл.1. Теория функций комплексной переменной 11ш д(л)ее~с йл = О. е — ~Ч-со / Так как в нашем случае д(л) = й(л) — правильная рациональная дробь и Л > О, то условия леммы Жордана выполнены и, следова- тельно, Бш ) 1(л) сЬ = О. Π— с-сос / Сс Поскольку правая часть в (2) не зависит от д, имеем -~-со И,х)е'~" йх = 2сгу~~~ геен-с„Л!(л)ее~', у=1 (3) где ль особые точки функции ф(л), лежащие в верхней полуплоскости. 2. Находим особые точки функции ф(л), лежащие в верхней полу- плоскости, и определяем их тип. 3. Вычисляем вычеты в этих точках.
4. Вычисляем несобственный интеграл лт(х)е" л йх по формуле (3). 5. Используя формулы (1) или (1') вычисляем искомый интеграл. ПЕИМЕЕ. ВычиСлить интЕграл х+1 сое х е1х. хз — 2х+ 2 Решение. Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл Лсо а+1 хз — 2х+ 2 Лемма Жордана. Пусть д(л) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек, и шах,есс ~д(л) ~ — ~ О при д — л +со.
Тогда ЧЛ > О 1.19. Несобственные интегралы от фунниий В(х) сов Лх и В(х) в1иЛх б9 и воспользоваться формулой и+1 /' х.+1 соехНх = Ке ~ е" Их. (4) хг — 2х+ 2 / хг — 2х+ 2 1. е1тобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной ф()= с+1 гз — 2г+ 2 е и е" е1х+ / 1Яс1г = 2ие) гсв, „Дг). (5) х+1 хз — 2х+ 2 с, ь=1 Переходим к пределу при о — ~ +со. Так как в нашем случае с+1 9(г) = , гг — 2г + 2 есть правильная рациональная дробь и Л = 1 ) О, то условия леммы Жордана выполнены и, следовательно, 1пп / Дг) Ж = О.
Е-в '-т,/ Поскольку правая часть в (5) не зависит от р, имеем Еос я=1 (б) где гь — особые точки функции 1(г) = е', гг — 2г+ 2 и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [ — 9, д) и полуокружности С = ~ф = 9, 1шг > 0), выбрав 9 так, чтобы все особые точки гь (й = 1,2,..., и) функции 1(г), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах Тл.1. Теория функций комплексной переменной 70 лежащие в верхней полуплоскости. 2. Находим особые точки функции ф(я) = е" = с+1 яз — 2е + 2 (л — 1 — 1)(е — 1+ 1) как нули (1-го порядка) ее знаменателя: е = 1+ 1 и "= 1 — г. Таким образом, точки з = 1+ г и е = 1 — г' — патюса 1-го порядка.
В верхней полуплоскости лежит единственная точка я = 1 + г. 3. Вычисляем вычет в простом гюлюсе е = 1+ г по формуле где уг(х) = (я+ 1)е" и ф(я) = я~ — 2е+ 2. Получаем (з + 1)е" (з + 1)его (2 + 1)е гт' ГЕЯ, гтг г ег 2х+2 2е 2 21 4. Вычисляем несобственный интеграл по формуле (6): т+ 1 „(2+1)е е" йгх = 2хг' = ке 1(2+ 1)(соя1+гяш1). хз — 2х+ 2 21 5. Используя формулу (4), вычисляем искомый интеграл = Ке ( ге 1(2 + 1) (соя 1 + 1 сйп 1)) = гге ' (2 соя 1 — яш 1). /' а+1 — 1 Ответ.
/ соя х агх = яе (2 соя 1 — яш 1). ,/ тз — 2т+ 2 -~-оо х+1 соя х дх = Ее хз — 2х+ 2 Т. гк") 1Л9. Несобственные интегралы от функций Н(х) сов Лх и Н(х) япЛх 71 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Йыиислить интегралы с номоилью аыиетов. 11х. 2. /', х сов х /' сов 2х дх. хг 2х+10 ' ' 7 хг 3. (х — 1) сов х х2 — 2х+ 2 хвшбх а1х. йх. ,/ х2 + 4х + 13 7 хвшх ах. 6.
/ Нх. / Н о 5. (х+ 1) сов х хг — 4х+ 6 сов х (х2 + 4)2 с сов х (хг + 4)(хг + 9) о ХВ1ПХ 10. / (, 1) " Ых. 0 1' хяпЗх хг+ 16 Ответы. 1). 2 яп 12). Зу 7. — е 32 1. — е (сов1 — Зяп " -з 3 4. — е т(Зсов12+ 2 ' 3 6. — е ' яп —. — 17у'2 2 к72 10. — е 4 2н к7З е 2 сов 1. 3. — ие 1яп1. 5.
— е ~"2(Зсов8 — А72яп8). 1Г2 Глава 2 ОПЕРАЦИОННОЕ ИС'ЧИСЛЕНИЕ При изучении темы ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вы познакомитесь с понятиями функции-оригинала и ее изображения (по Лапласу), изучите свойства оригиналов и изображений, научитесь применять их для решения операционным методом обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. С помощью пакета РЕШЕБНИК ВМ вы сможете вычислять интегралы, находить разложения рациональных функций на элементарные дроби, вычислять производные и выполнять все другие действия, необходимые при изучении темы. Когда вы в ней освоитесь, вы сможете вычислять изображения и восстанавливать оригиналы по их изображениям щекастым нажатием кнопок на клавиатуре коьшьютера, используя возможности модуля ЯТЕМ Р1пв, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
2.1.Понятия оригинала и изображения Постановка задачи. Доказать, что функция У(~) является оригиналом и найспи ее изображение (по Лапласу). ПлАн гкшкнип. Комплекснозначная функция Д(с) действительной переменной с называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям; а) С(с) г— е 0 при всех ~ < 0; б) на любом конечном отрезке (а, Ь', С (О, оо) функция у(с) имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода; в) существуют числа М > 0 и в ) 0 такие, сто (~(г)~ < ЛХесл 'сс ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
