Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для определения искомой области можно также использовать известные области сходимости табличных рядов. Замечание. При разложении по степеням з — ев (зв ~ 0) предварительно вводим вспомогательную переменную 1 = "— ев и находим разложение функции 1(1-Р зв) по степеням й ПРИМЕР. Функцию 7(е) = вше разложить в ряд Тейлора в окрестности точки з = 3 (по степеням е — 3), используя табличные разложения. Указать область, в которой справедливо полученное разложение. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 38 РВШВНИВ.
Введем новую переменную 1 = 2 — 3 и найдем разложение функции яп(1 + 3) по степеням й 1. Выражаем функцию вш(1+ 3) через функции, имеющие табличные разложения: егп(Г + 3) = вш 3 сов 1+ сов 3 яп1. 2. Находим разложение функции в1п(1+3) в ряд Тейлора, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. Имеем ( 1) 2п т ( 1) 2п|1 вш(1+3) =япЗУ вЂ” -1~" +совЗУ вЂ” — — — -1~от~, )1! < оо. (2п)( ~- (2п+ 1)! Заменяя 1 на 2 — 3, получаем ЯП2 = = В1ПЗ~ (2 — 3)зп+СОВЗ~~г (2 — 3)зпгг, ~2 — 3~ < ОО.
( 1) 2п ( 1) „(2п)! (2п + 1)! 3. Поскольку ф(2) = япя аналитична при всех 2 Е С, разложение справедливо при всех - е С. Ответ. яп 2 = ( Цп и = япЗ 2 (2 — 3)2п+совЗр (2 — 3)2"т~, ~2 — 3~ < оо. (2п)! (2п + 1)! Условия задач. Разлолсить е рлд Тейлора функцию 1(2) е окрестностпи тпочки ео.
Указатпь облает ть, е котпорой справедливо полученное р злоэсение. 1. 1(2) = сове, со = х,т4. 2. 1(2) = е', зе = 1. 3. 1(е) = 1п2, ео = 1 4. ((2) = 112, о = — 2 5 ф(2) = 1тг(5+ 22) ео = 3. 65,/(2) = 1тт(2 — 42+ 3) о = — 2. 7 ф( ) = тте ло = 2 8. ф(2) = = яп(кзтг4), зо = 2. 9.
1(2) = 1(3 — 2)г зо = 1. 10 ф(2) = 1т'2 зля, ео — 3 ° Ответы. 1. 1(2) = ~~т, (2 — х/4)~", ~2 — тгтг4~ < со. п=о 1 2. 1( ) = е ~~,(2 — 1)", ~2 — 1~ < со. =о 1.10. Ряды Лорана рациональной фунниии 1)п — 1 З.йг)=~" ,' ( -1)-, ! -1!<1. п=1 1 4. У(г) = — ~~ — „— „-( + 2)", ! + 2! < 2. п=о ( — 1)" 2п 5. ~(г) = ~ ~— — -(г — 3)", !г — 3! < 5/2.
11пц1 п —.-О / ! 1 в.1[о=у'( )О,-О", ь<ь з. п=о 2 — 2 ~ ( — 1)п '(2п — 3)!! 7. ~(г)=ъ'2 1+ — —. + ~ — — — — — — — -(г — 2)п, !г — 2! < 2. 4 ~-~ 4пп! п=2 ( цп 2п 8.,((г) = у (г — 2)2", !г — 2! < со. 42п (2п)! ° =о и+1 9. 7"(г) = ~~1 (г — 1)", !2 — 1! < 3. п=о 10 1(г)= з + ~ з (г — 3)", !г — 3! < 3.
1 ( — 1)" 1. 4 7 ... (Зп — 2) КЗ 0'3 9" п! 1.10. Ряды Лорана рациональной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Разложить в ряды Лорана по степенна г рациональную функцию Иг) = Ю -( )' где Рп(г) и 1е,п(г) — многочлены и Оы(0) ~ О. ПлАн Рвшвния. Рп(г) 1. Если дробь ' неправильная, выделяем целую часть. Я-(2) Находим корни уравнения б2ы(г) = О. Будем предполагать, что все корни 2„22,..., г — простые (нумерацию введем по возрастанию их модулей !21 ! < !22~ <... < г !). 2.
Точки 21,22,...,2 являются особыми точками функции 1(2) (в них 1(г) неаналитична). Гл.1. Теория функций комплексной переменной 40 кольца аналитичности функции 1(2): !2! < !21! !21! < !2! < !22!, 3. Разлагаем рациональную дробь на элементарные дроби: Р (2) А1 А2 А +...+ ™ Ят(2) 2 21 2 22 Е ет 4. В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в рядь1, используя разложения в ряд Тейлора: 1 1 -- 2 = ~ еп, !с! < 1 п=о и в ряд Лорана (2) Разложение (2) получено из (1) заменой 2 на 1/2. Записываем полученные лорановские разложения функции 1(2) в каждом кольце аналитичности.
Замечание 1. Если 2 = 0 — корень ей (2) кратности о, то функцию Де) можно представить в виде найти лорановские разложения для функции Р„(2)Я,(2) и затем умножить их на 1/2'. Отметим, что в этом случае е = 0 — особая точка функции 2"(2) и первое кольцо аналитичности имеет вид О < !2! < !21!. Замечание 2. Если 2 = а корень Я„(2) кратности л, то в разложении рациональной функции ему соответствуют элементарные дроби А1 А2 А, (2 а) (Е а)2' (2 а)е 1.10. Ряды Лорана рациональной функции При разложении в степенные ряды элементарных дробей вида Аь й) 2 (л — а)" используем почленное дифференцирование рядов (1) и (2).
Пример. Разложить в ряды Лорана по степеням з функцию 11з) = яз — 2я — 3' 1эЕШЕНИЕ. 1. Дробь правильная. Находим корни уравнения гэ — 2г — 3 = О. Имеем два простых корня зз = — 1 и сз = 3. 2. Точки л1 = — 1 и зз = 3 являются особыми точками функции 11з) (в них 11л) не аналитична). Кольца аналитичности функции 1(з); (з! < 1, 1 < )я! < 3, (с! ) 3. 3. Разлагаем у'(л) на элементарные дроби; 1 1 5 1 (з + 1)(л — 3) 4 л ч- 1 4 з — 3 4.
В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряды, используя разложения в ряд Тейлора. При Ь~ < 1 имеем ( — 1)"г", ф < 1, =о 1+э 1 — ( — з) и ф<3. .=о 1 1 (2) з — 3 31 — $ Замечание 3. При разложении по степеням з — го предварительно вводим вспомогательную переменную 1 = з — го и находим разложение функции У(1+ го) по степеням 1, 1.10. Ряды Лорана рациональной функции Ответы и 2п 1.1(2)= — ~ ~~, 0<ф<2, ('(2)=~ п=а п=о с!ь ОО 2. 1(~) = ~ ~( — 1)пеп ~, 0 ~~~ 1, ("(~)=~~( п=а п=о ьь ( 1)п и.— ь ( — 1)п2п4' 3. 7'(2) =~~~,0< ф <2, 1(2) =~~~ п=.о п=о сп 4.
1" (2) = — ~~ 22п 2, 0 < 2~ < 1, Д(2) = ~ п=о п=о и — 2 Зп 5. У(2) = — ~ „ ,, 0 < ~2 < 3, ((2) = ~ .=О п=о п 6 У()=-~[ .„,+ и.,) ", ~ ~ 2, У(2) =Е пж 3<~4<оо п=е 11 7. Д(2)=~ 1 — — еп ~ 0<(2(<1 1(2) =-~ ~ -+ — — -), 1< 2~ <3, 3" )' — З~ 1 7(2) = ~~» ~~, 3 < (2( < оо. п=о 1 8. (()=~(~ —,) ", 0 п 2" 4 — 1 ~(2) = ~ ~2, 2 С ~2~ С оо. .=О 2 с )4 соо.
1 < (2 < оо. , 2 С )2( С оо. 1 < (2( < оо. 3 < ф < оо. Условия задач. Разло24еить О ряды Лорана по степеням 2 функции 2(2). 1. )'(2) = 1(((2 — 2). 2. Дя) = 1Д22 + 2). 3. ((2) = 2/(22 + 22). 4. Д-)=1(((24 — 22). 5. Дя)=1/(22 — 322). 6. ((2) =(22 — 3)((22 — 52+6). 7у()2((342213)34()1~(432+22)де() (22+ 3)(((22+ 322+ 22) 10 Д(2) 3(((24+ 522+ 4) Гл. 1. Теория функций комплексной переменной ~:(- ). п=о Е(- )" п=-О Е(- ). п=о Е(- ).
п=о Е(- )и п.=в Е(- ). п=о 2 и т | 1 ~ | ~ ~~ ~ ~ ~ ! 1 0 < (з( < 1, с и — 1' + ~,), 1 ф 2, О У(е) = У(е) = 2" + 1 2 )~! Пз) = 1 — — ~е, 0<(е)<1, < зп 4п ) а и е 2 ~ ~ ~ ~ ~~ ! зп -- ), 1 ~~( 2, 10. 1"(з) = У(з) = 1 — 4" — — 2 < Ц < сю. ззпез йз) = 1.11. Ряд Лорана функции ~(г) в окрестности ее особой точки постлновкА злдячи.
Разложить функцию т(з) в ряд лорана в окрестности ее особой точки з = а. Найти область, в которой справедливо полученное разложение. ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Вводим вспомогательную переменную 1 = з — и. 2. Преобразуем функцию Д1+ а) к виду, позволяющему использовать табличные разложения. 3. Находим разложение функции 1(1+ а) в ряд Лорана по степеням С, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. 4. Заменяем 1 на е — а и записываем полученное разложение в ряд Лорана.
5. Находим область, в которой справедливо полученное разложение: если Д(з) не имеет других особых точек, кроме з = а, полученный ряд Лорана сходится к Т(е) при всех е ф а; если 1(з) имеет другие особые точки, кроме е = а, полученный ряд Лорана сходится к Т(е) при всех е в кольце 0 < ~е — а~ < Н, где Н расстояние от точки а до ближайшей особой точки функции Дз). 1.11. Рлд Лорана функции 1(с) в окрестности ее особой тонки 45 Примну. Разложить в ряд Лорана в окрестности ее особой точки функцию 7гз Де) = еяп — — —. с — 1 Найти область, в которой справедливо полученное разложение.
Ришпнин. Функция ф( ) имеет единственную особую точку з = 1, следовательно, ее надо разложить в ряд Лорана по степеням е — 1. 1. Вводим вспомогательнучо переменную 1 = е — 1. Получаем У(1+ Ц = (1 + Ц вгп ту+ 1 2. Преобразуем функцию г'(1+ Ц к виду, позволяющему использовать табличные разложения: 1, 1, 1 ф(1+ 1) = (г+ Цяп(гг+ — ) = — 1яп — — вш (Ц 3.
Используя табличное разложение в ряд Тейлора и япз = ~~ е пе, ф < оо, (2п+ Ц! и заменяя з на 1,Й,, находим разложение в1п(1г1) в ряд Лорана ( — Цп 1 вьч — =~ . ч ~, 0<)1(<~. Х ~- (2п+ Ц! 1зпее ' п=е Подставляя в (Ц, получаем У(1) =- (-Цп 1 (-Цп (2п+ Ц! 1зп ~ (2п+ Ц! 1зп ' г п.=.о п=-О 4. Заменяя 1 на з — 1, получаем ( Цп 1 ~ ( Цп (2п + Ц! (с — Цап ~~- (2п+ Ц! (з -- ЦЯ ег п=о =О 5. Находим область, в которой справедливо полученное разложение. Так как г"( ) не имеет других особых точек, кроме с = 1, полученный ряд Лорана сходится к Г(с) при всех з ф 1.
1.12. Нули аналитической функции 1.12. Нули аналитической функции ИОстАнОвкА зАдАчи. найти нули аналитической функции 1(е) и определпгпь ит порядок (кратность). ,((е) = сн(е — го)" + с че(Я вЂ” зо)" ь1+, где с„ф О, (1) то ео -- нуль и-го порядка функции ((е); б) если 1"(ео) = У (го) = ..
= 1ч ~(яо) = О и 1""(эо) Ф О., то сов нуль и-го порядка функции 1(я); в) если функцию 1(е) можно представить в виде 1(е) = (е — ео)" ~Р(е): (2) где ео(е) аналитична в точке зо и оо(ео) ~ О, то ео нуль и-го порядка функции 1 (е). Замечание. Если функция 1(е) = (~ (е) 1з(л), ео — нуль порядка п~ функции (1(е) и ео — нуль порядка пз функции (з(е), то ео — нуль порядка п1 + пэ функции 1 (е). Пгимкг 1. Найти нули функции 1(я) = е' — 1 — е и определить их порядок.
Рвшвниг.. 1. Находим нули функции 1"(е), решал уравнение е' — 1 — е = О. Получаем е = О. 2. Определяем порядок полученного нуля е = О. Для этого используем разложение функции 1(е) в ряд Тейлора по степеням ж з, э е' — 1 — г = 1+с+ — + — +... — 1 — = — + 2! 3! ) 2! Поскольку в полученном разложении коэффициенты со сз = 11'2 ф О, точка е = Π— нуль 2-го порядка функции = с1 = О, а У( ). Ответ.
е = О нуль 2-го порядка функции ((е). ПЛАН Ри!Пгния. 1. Находим нули аналитической функции 1"(е), решая уравнение 1(е) = О. 2. Определяем порядок каждого полученного нуля е = ео. Для этого используем одно из следующих (эквивалентных) утверждений: а) если разложение 1(л) в степенной ряд (ряд Тейлора) в окрестности нуля е = зо имеет вид Гл.1.
Теория функций комплексной переменной Примул 2. Найти нули функции 1(2) = (24 + 22 + 1)(22 — 22+ 2) и определить их порядок. Ркшкник. 1. Находим нули функции Де), ревгая уравнение 2" (2) = О. Разложив многочлены на множители, имеем (2 — 1) (2+ г) (2 — (1+1))(2 — (1 — 4)) = О. Получаем 22 — 4 23 — 1 + 4 24 1 2. Определяем порядок каждого нуля. Представим 2 (2) в виде гДе ~Р4(2) = (2+ 1)2(22 — 22+ 2) и ~Р4(24) Т'. О. Согласно фоРмУле (2) 24 = 1 — нуль 2-го порядка функции ф(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
