Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В серии РЕШЕБНИК выйдут книги по математике, информатике, физике, теоретической механике, а также по общетехническим дисциплинам. Часть из них готовится к печати, над другими работают их авторы, а для создания третьих лишь только формируются творческие коллективы. Обсуждение серии организовано на сайте ичиж.Асас1еппаХХ1.гп. Замечания и предложения можно также направлять по адресу; 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д.
14, Московский энергетический институт (ТУ), кафедра высшей математики, профессору А.И. Кириллову, или электронной почтой по адресу К1п11оиАКо1шрейтп. Новая книга серии РЕШЕБНИК вЂ” — „Высшая математика. Специальные разделы" — — содержит методы решения задач из разделов высшей математики, наиболее часто используемых в приложениях. Для написания книги потребовалось участие авторитетных специалистов по уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Я глубоко благодарен В.И. Афанасьеву и И.М. Петрущко за то, что они нашли возможность стать активными членами авторского коллектива. В процессе научного редактирования книги возникало много научно-методических проблем. Я очень признателен О.В.
Зиминой за детальное обсуждение этих проблем и помощь в их решении. А.И. Кириллов Москва, 1 августа 2001 г. ПРЕДИСЛОВИЕ РЕШЕБНИК „Высшая математика. Специальные разделы" является естественным продолжением книги РЕШЕБНИК „Высшая математика' и содержит примеры решения типовых задач по специальным разделам высшей математики: теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, рядам Фурье, преобразованию Фурье, уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Изучение этих разделов представляет большие трудности как для студентов, так и для преподавателей по нескольким причинам: ° сложно сформулировать стандартные задачи и алгоритмизировать процедуру их решения; ° громоздкие вычисления, необходимые для решения многих задач, особенно по рядам Фурье и уравнениям математической физики, не позволяют рассмотреть достаточное количество примеров и задать для самостоятельного решения несколько задач каждого типа; ° недостаточное количество существующих задачников, особенно по уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике.
Все зти причины, в сочетании с растущими потребностями общества в качественно новом образовании, низкий уровень матемагической подготовки специалистов в современных областях науки и технологии, и особенно в области экономики, финансов и менеджмента, побудили авторов соединить свои силы и опыт преподавания для написания данной книги. РЕШЕБНИК „Высшая математика. Специальные разделы"— ключ к нескольким основным задачникам, используемым при изучении математики.
Вместе с тем, в книге впервые объясняется решение ряда задач, важных для приложений, а также излагаются новые методы решения некоторых задач математической физики и математической статистики. Отметиьл, что новые методы матеьлатической статистики относятся к важнейшим практическим приложениям, связанным с анализом выборок малого объема.
Разработка этих Предисловие методов стала возможной благодаря использованию модулей пакета Асас1еппаХХ1. Авторы надеются, что эта книга окажется удобной и полезной при изучении математики в аудитории и дома,при очной и дистанционной формах обучения, а также будет способствовать повышению уровня подготовки студентов и аспирантов именно в тех областях математики, которые в настоящее время изучаются недостаточно, но которые именно сейчас приобретают особую важность при подготовке специалистов, способных ставить и решать задачи не только сегодняшнего, но и завтрашнего дня.
Хотелось бы, чтобы книга была полезной для инженеров и исследователей как подробный справочник по прикладной математике. Для эффективной работы с книгой необходим компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ, созданный на основе модуля ЯТЕМ Р1пв пакета Асас1еппаХХ1. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ распространяется через сайт ~чичу.Асае1еппаХХ1.гп и продается на дискетах в киосках вузов. Те, кто уже освоил работу с пакетом РЕП1ЕБНИК.ВМ при изучении основного курса математики, не испытают никаких затруднений при использовании его возможностей для решения более сложных и громоздких задач, а также легко освоят использование многочисленных дополнительных функций, содержащихся в новой версии пакета. Особенно полезны эти функции при обработке статистических данных, результатов измерений, таблиц и т.п.
Те читатели, которые будут использовать компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ впервые, смогут быстро освоить его, одновременно повторяя те разделы основного курса, которые особенно важны для успешного продолжения математического образования. К началу каждого семестра выпускается новая версия пакета РЕП1ЕБНИК.ВМ. Она отличается от предыдущих версий большим количеством текстов с планами и примерами решения задач, усовершенствованным модулем ЯТЕМ Р1пв и более удобным интерфейсом. Поэтому использование пакета РЕШЕБНИК.ВМ помогает не только более успешно учиться, но и непрерывно повышать квалификацию в решении прикладных задач. Авторы благодарны А.М. Роговой за любезно представленные предварительные материалы для раздела „Математическая статистика".
Глубокую признательность А.И. Кириллову выражают остальные авторы за ценные идеи, плодотворное обсуждение постановок задач и методов их решения, а также за помощь в выполнении компьютерных расчетов. Глава 1 ТЕОРИЯ сЬУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ При изучении темы ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ вы научитесь оперировать с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; познакомитесь с элементарными функциями комплексной переменной, научитесь дифференцировать, интегрировать и находить разложения в ряды Тейлора и Лорана функций комплексной переменной; научитесь исследовать аналитические свойства функций, находить нули и особые точки; познакомитесь с теорией вычетов и научитесь применять вычеты для вычисления контурных, определенных и несобственных интегралов.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы сможете производить действия с комплексными числами, находить разложения рациональных функций на элементарные дроби, вычислять производные и интегралы, производить вычисления и проверять полученные вами результаты. 1.1. Извлечение корня из комплексного числа Постановил задачи. Найти осе значения корня и-ой степени из колтплексного числа г = и + ту. ПЛА1! РГИ1ГБИЯ, 1. Корень и-ой степени из комплексного числа г имеет и различных значений, которые определяются формулой и и где т' = ~Ы, ут = агу г и 1с = О, 1, 2,..., и — 1.
З В.И. Афанасьев н др. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 18 2. Находим модуль и аргумент числа е = х + гу по формулам т = ф = Ггхз ц. ув агс$8 ю = агя л = 7Г 2' х=О, 7Г 2' х= О, у<О. 3. Находим по формуле (1) значения корня юь (у=0,1,...,п — 1) и представляем их в алгебраической форме. Записываем ответ. РЕШЕНИЕ. 1. Корень 3-й степени из комплексного числа е = — 277 имеет три различных значения, которые определяются формулой з з;, -, -.е з / у7+ 2кУ, у7+ 2Ы'1 ю = 17т — 277 = Зте' 'е = згт сов 3 + тяп ), (2) 3 где т = ~ — 277'(, у7 = агя ( — 277) и к = О, 1, 2.
2. Находим модуль и аргумент числа - = -277 (х = О, у = -27): т=~ — 27г~=27, со = агя ( — 277) = —.г772. 3. НахоДим по фоРмУле (2) значениа коРнЯ юо, ю7, 7оз пРи й О, 1, 2 и представляем их в алгебраической форме: 7г, 7г Зъ'3 3. юо = Зе '~е = З(сов( — — ) + 7 Яп( — — )) = — — 7, 6 6 2 2' 3'3 3, 2 2 3 3 3 З~З 7 3$ 2 2' ' 2 3. — 7.
2 у х>0, агсгя —, х < О., У х' агс16 —, х < О, у ПЕИМЕЕ. Найти все значения К вЂ” 277. юг = Зе~о ~ = 3(сов — + тяп — ) = 37, 2 2 77г, 77г юз = Зе е = 3(сов — + 7 яп — ) = 6 б Ответ. ~l — 277 имеет три значения з у>О, у<О, у>0, Е2. Кривые в комплексной области Условия НАЛАН. Найиш все значения корня из комплексного чи- ела М 2 Агй з 0' — 1 4 0' — 4 б ьг2+'Ызг б. Агс — 2+ 2 Гз '.
1 ' 2 2 1~ Й 6 И У г«10 Ответы 1. 1, ( — 1 ~ Агз«)/2. 2. — «, (~ч«3 -~ «)/2. 3. — 1, (1 4- тгз«)12. 4. х(1 х «). 5 х(ъ'3+ «). 6. х(1+ ъ'3«). 7. х(1 — чгз«). 8 хъ'3«, Цз~уЗ«)/2 9 ««1, д«(1~ъ«3«)/2. 10 =Е14-уЗ«1 1.2. Кривые в комплексной области ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Определить вид кривой, заданной уравнением «(1) = х(1) + «у(1), 1 Е (-оо, со). ПЛАН РЕШГНИЯ. 1. Составляем параметрические уравнения кривой х = х(1), у = у(«), 1 Е ( — оо,оо), где х(1) = Не «(1) и у(1) = 1«п «Я. 2.
Исключая параметр 1 из параметрических уравнений, получаем уравнение кривой в виде г'(х,у) = О. 3. Используя канонические формы уравнений кривых на плоскости, определяем вид искомой кривой. 4. Находим области значений х(1) и у(1) и выясняем, какая часть кривой определяется исходным уравнением. Замечание. Точка с координатами х(1), у(1) может пробегать кривую неоднократно.
ПРИМЕР. Определить вид кривой, заданной уравнением «(Х) = «~ — 21+ 3+ «(«~ — 21 + 1), 1 Е (-со, оо). РЕШЕНИЕ. 1. Составляем параметрические уравнения кривой < х = 1« — 2« -~- 3, у = 1« — 21 + 1, 1 Н ( — со, оо). 2. Исключая параметр 1 из этих уравнений, получаем у = х — 2. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 20 3. Данное уравнение определяет прямую на плоскости. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
