Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 5
Текст из файла (страница 5)
3. Записываем уравнение отрезка ОВ у=х, 0<х<1. 3. Записываем уравнения кривой 1 в явном виде у = у(х) (или х = х(у)) или параметрически у = у1с), х = х1с). 4. Вычисляем криволинейные интеграаы, сводя их к определенным, и записываем ответ. 1.5. Интеграл от функции комплексной переменной Пгимвг 2. Вычислить интеграл Цг дг, где Х вЂ” верхняя полуокружность ул = 1, В.е г > О с обходом против часовой стрелки.
~(г) дг = / Дг11))г'11) дй 1. Находим г = е ", ~г = 1, дг = ген д1. 2. Подставляем в подынтегральное выражение и вычисляем интег- ~гсвг = / е игеий1= / гд1 =гп. Ответ. / фг сЬ = гк. ь УслОвия ЗАдАч. Вычислигаь ингаегралы от функций комплексной переменной по .заданным кривым. 1. /гдг, Ь полуокружность ф = 1, 1гпг > О. 2. / г Не е дЫ вЂ” отрезок прямой от точки гг = О до точки гз = 1. ь 3. г~ф дг,  —. полуокружность г~ = 2, 1пзг < О. 4. / г1гагдг, Х отрезок прямой от точки зг = О до точки г.
ге =1+гц 5, / е~'~ дг, Š— полуокружность ф = 1, Ее г < О. Рвшвиив. В данном случае удобно воспользоваться уравнением кривой Ь в параметрической форме г = е'г (О < 1 < к) и применить формулу (2) е Гл.1. Теория функций комплексной переменной 30 6. / 1ш»д», Ь полуокружность !»! = 1, 1п1» > О. 7. / » д», Ь вЂ” отрезок прямой от точки»д = 0 до точки»г = 1+г. 8. / ф Ве» д», А — полуокружность ~») = 3, 1т» < О. 9. / »в1п ф д», Ь полуокружность ф = 2, В.е» > 1!.
10. ~ » 1т»д», Ь вЂ” отрезок прямой от точки»1 = 0 до точки г ь »г = 2+ 2г. Ответы. 1. ягц 2. О. 3. — 16я/3. 4. 2г/3. 5. — 2ег. 6. — я/2. 7. 1. 8. — 27кг/2. 9. О. 10. 8+ 8г. 1.6. Интеграл от аналитической функции Постановка задачи. Вычислить интеграл / Д») д», ь где Д(») — функция, аналитическая в односвязной области Р, Ь— кусочно-гладкая кривая, целиком лежащая в области Р и соединяющая точки»г и»г. Плли ришииия. Интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой 1 е Р от функции, аналитической в односвязной области Р, нс зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек»г и г и может быть вычислен по формуле Ньютона — Лейбница м 1(») д» = / 7(») д» = Е(»г) — Е(»г), ь н где Е(») — первообразная функции ф(»).
1. Находим первообразную Е(»), используя табличные интегралы, свойства интегралов и методы, известные из математического анализа. 1.6. Интеграл от аналитической функции 31 2. Вычисляем интеграл по формуле Ньютона — Лейбница (Ц. Записываем ответ в алгебраической форме.
Пгимцг, Вычислить интеграл я1п' 2 сЬ, ь где  — отрезок прямой от точки 21 = 0 до точки 21 = 1. РВШННИВ. Функция 1(2) = яп 2 аналитична всюду, и, следова- 2 тельно, интеграл не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона — Лейбница (Ц.
1. Находим первообразную Р(2), используя формулы понижения степени 1 1 2с я1п22 1 япз 2 с12 = — (1 — соя 22) аг = — 2— 2,/ 2 ~, 2 ) 2. Вычисляем интеграл по формуле Ньютона — Лейбница =( ):= 1 2с я1п2211 1, 1 1 я1п2242 = — ~2 — — ) = -1 — — яп(21) = — (2 — яЬ2), 2[ 2 )о 2 4 4 о Ответ. 2 яп ясЬ = — (2 — яЬ2).
о УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Вычислить интегралы от аналитических функций. о 1 1Е1 гсоягсЬ. 2. /(2 +япг)сЬ. 3. 1(32 +22 — ЦсЬ. о 1-* 21 21 $ ю 4. / 4соя гас. 5. ) 22е' с! . 6. / ге'112. 7. ~ 2япг с!2. о о 1 1 1-~-* 1 8. /(2+1)япгсЬ. 9. / 22сояг~сЬ. 10. /(22~+22)яшгзсЬ. о 1 о Ответы. 1.
1 — е '. 2. 1 — сЬ1 — 1/3. 3. 61. 4. (4+ яЬ4)1. 5. е 4 — е 1. 6. 1 — яп1 — соя1+1(соя1 — япЦ. 7, соя1 — яп1 — ье 8, 1(1+яЬ1 — 2сЬЦ. 9. — яп1+1яЬ2. 10. 1 — соя1 — яп1 т ьсоя1. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 32 1.7. Ряд Тейлора Постлиовкл злдлчи. Функцию у(э), аналитическую в точке =в, разложить в ряд Тейлора в окрестпности этой точки (по стене ям е — ев). Указать область, в которой спраоедливо эпео розлоэкение. Плли решения. Функция, аналитическая в точке эе, разложима в степенной ряд у" (") у(я) = ~ , ', ' (э — ео)" п=в Это разложение справедливо в области ~е — эв~ ( В, где Л вЂ” расстояние ог точки эв до ближайшей особой точки функции У(е), т.е.
точки, в которой у(э)не является аналитической. Ряд (1) называется рядом Тейлора функции У(е). 1. Находим производные функции: у'( ) уп( ) " у'"'( ) " Если не удается установи гь формулу для и-ой производной, мы ограничиваемся несколькими производными, количество которых определяется потребностями конкретной задачи. 2. Вычисляем значения производных в точке ее.
3. Составляем ряд Тейлора по формуле (1). 4. Находим расстояние Л от точки ев до ближайшей особой точки функции У(л) и указываем область справедливости полученного разложения: круг ~э — зв ( Л. Записываем ответ. Пример 1. Найти несколько первых членов разложения функции У(э) = 13 е в ряд Тейлора в окрестности точки з = 0 (по степеням е). Указать область, в которой справедливо это разложение. РЕШЕНИЕ. 1. Находим производные функции У(е) = 13 е непосредственно или по формулам: У'(~) = = 1+ Уз(е), У" (~) = 2У(~)У'( ), У~п(е) 2(У 2( ) ~ У( )Уп( )) У~и( ) 2(3У~( )Уп( ) + У( )Ут( )] У" (г) = 2(ЗУпз(е) + 4У'( )Уп'(е) + У(з)У'"(л)), К7.
Рлд Тейлора 33 2. Вычисляем значения производных в точке хо = 0: 7"'(О) = 1, Тп(0) = О, 7"'п(О) = 2, 7""(О) = О, 7""(О) = 16, 3. Составляем ряд Тейлора по формуле (1) 3 16 ь 182= + — 3+ — +.. 31 5! (2) 4. Особыми точками функции ('(2) = 182, ближайшими к точке хе = О, являются точки 2 = хт(2, поэтому Н = к,12 и равенство (2) справедливо в круге ~2 < к2»2. 3 16 Ответ. ьйе = 2->,2 + „,2 +..., ,'2 < к/2. Примкр 2. Функцию 7"(3) = сЬ2 разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 2 = 0 (по степеням 2). Указать область, в которой справедливо это разложение. Ркрйкник. 1. Находим производные функции 3" (2) = сЬ (2): ~~зь~(2) = сЬ2, ~12ььи(2) = вЬ2, й = 0,1,...
2. Вычисляем значения производных в точке хв = 0: (2) = СЬ2~» — е = 1, 7»~"ек(2) = вЬ2(,=-е = О, й = 0,1, 3. Составляем ряд Тейлора по формуле (1) 22п сЬ2 = ~~~ (2п)! (2) 4. Поскольку 7" (3) = сЬ е аналитична всюду, Л = фсо и разложение (2) справедливо при всех Е С. 2п Ответ. сЬ2 = ~~ Р ф < +ос. (2п)! ' 3 К.И. Афанасьев и Лр.
Условии 3АДАч. Найти несколько первых членов разложения функции 7"(2) в ряд Тейлора в окрестности точки и = О. Указать область, в которой справедливо зто разложение. 1. 7(2) = 1псов2. 2. 7(2) = 22»(1+ е '). 3. 7(2) = 12(1+ 31пе). 4. 7"(2) = сЬзж 5. 1п(1+ сове). 6. 7'( ) = вЬ22. 7. 1п(1+ вше). 8. 7(2) = е Нь '~.
9. 7(х) = 1/(1+ е'). 10. 7(2) = 1/сове. Ответы 1.8. Ряд Тейлора рациональных функций ПОСтЛНОВКЛ Зддг«ЧИ. Рациональную функцию 1(з) = («;зю(0) ф О) разложить в рлд Тейлора по степеням з. Указать область, в которой справедливо зто разложение. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Имеем разложение в степенной ряд 1 ф<1. (1) о=в Р„(з) 1. Если дробь неправильная, выделяем целую часть. Ю () 2. Правильную рациональную дробь записываем в виде суммы элемента ныл обей ви а Р др д — а где а, Е С вЂ” простой корень уравнения «4 (з) = О, и В (г — Ь)ь ' (2) (3) где Ь Н С вЂ” — к-кратный корень уравнения с„г (г) = О. 3.
Элементарные дроби вида (2) разлагаем в степенные ряды, используя табличное разложение (1): 1.й)= 2. 1(з) = 3 ф(г) = 4 Пз)= 5. 1"(з) = 6. 1(з) = 7. 1(г) = 8. 1(з) = 9. 1(г) = 10. 1(г) = Гл.1. Теория функций комплексной переменной гГ2+ 4г«,14!+ 44 в,гбг+ ф < к,г2 1+ ггг2 гзгг(Зг 2г) Згзгг(бг 2г) +, !г < гг + г 5 з,гЗ! Р18 ««4!+ ~ ~ <,д.,г2 1+ зг + 8з«Гг4! + 32звггб! +..., !з~ < оо. 1п2 — гг,г4+ -«,г(3 2«) +11гвгг(90 2в) +..., !г( < к. зг+8г«,г4!+32зв,гб!+..., !з~ < гю. ггг2+ гз,гЗг — 2г««4!+, ф < гг е(1+ з+ Згг,«2)+ 13гз,г3! -!-..., !з! < 1. 1гг2 — ггг2г + згг(3!2з) + Зззгг(5!2з) +..., )г < к. 1+ зг '2! + 5з«,г4! + 61гвггб! +..., ~г~ < я,г2.
А А1а - — а 1 — згга ~ ап«г = -А~~, )з! < !а!. п=в 1.В. Рлд Тейлора рациональныа функций 35 Эяементарные дроби вида (3) разлагаем в степенные ряды, сделав аналоги шые преобразования и используя теорему о почленном дифференцировании степенного ряда (Ц; н)7 ~~,» и — 1 ~~~~( +1) и (1,) -~1,)— н=о и=! н=о ЗаМЕЧаНИЕ. Прн раЗЛОжЕНИИ ПО СтснсияМ Е вЂ” ЗО (1ь7(ЗО) у- О) ПрсдВарительно вводим вспомогательну1о переменную 7 = з — зо и находим разложение функции Т(7) по степеням г. ПГИМЕГ.
Разложить по степеням з функцию 1( )= (е — 1)з(е + 2) Указать область, в которой справедливо это разложение. РЕШЕНИЕ. 1. Т(е) — правильная рациональная дробь. 2. Разложим 7" (з) на элементарные дроби: 1 1 2 1 1 1 (е — 1)з(е + 2) 9 з — 1 3 (е — 1)з 9 з + 2 3. Каждую элементарную дробь разлагаем в ряд по степеням ьп (е) < 1; =О (е — Ц' 1~-ь( — 1) з т ( — 1) з о=о а=о 1 1 1 я+2 21+е72 Продолжая процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей 17(1 — е)" при любом й = 2, 3,...
4. Складывая полученные ряды, получаем окончательный ответ. 5. Находим расстояние В от точки ео до ближайшей особой точки функции 1 ( ) (где Я„,(е) = О) и указываем область, в которой справедливо 1юлученное разложение: круг ~е — ео~ < В. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 36 4. Складывая полученные ряды, получаем 3+1 1 и 2 и 1 ( — 1)пгп (г — 1)г(г + 2) 9 3 — — гп + — ~~ (и + 1)гп — — ~~ . (4) 9 2"а1 п=о п=в п=о 5. Ближайшей к точке гв = 0 особой точкой функции З" (г) является точка г = 1, поэтому Л = 1 и равенство (4) справедливо в круге ф<1.
л- 1 1 / ( — 1)" ь1'1 (' — ')'(' + 2) 2"ь1 ) Ответы П. 1.7"(г)=~ г", ф<2. п=о 3 Д(г) ~~, 3 гг ~г <3 4 Д(г) 2 1, (гз +233 т1) ф<1 п=о п=1 5. Дг) = ~ (, +,)г", ~г( < 1. ° =О И Ь1 6. Т"(г) = ~~1 ( 7 —, ~г", ф < 1. =Π— ( ) ( )гп п=в 8. 1(г) = ~ (и+ 1)г", ф < 1. п=в 1 9. ф(г) = — ~~~ (и + 1)(п + 2)г", ф < 1. 2 п=в 1( — 1) и 1()=а((,—..~, "-"~ и=-О 2п 2. ф(г) = — ~ ~— г"', ф < 5/2 п=в УслОвия зАдАч. Разложить в рлд тейлора функцию ф(г) по степеням -.
Указать область, в которой справедливо зто разложение. 1. Д(г) = 1Д2+ г). 2. ф(г) = 1,1(23 — 5). 3. ~(г) = 1Д1 — 33,19). 4. ф(г) = (43 + 2)/(г~ — 1). 5. ф(г) = (5 — 2г)Дг~ — 53 + 6). 6. ф(г) = (4г+3)/(гг — 33+2). 7. ф(г) = 1/(2+г)г. 8. Дг) = 1/(1 — г)1. 9. у(г) = 1Л1 — г)3. 1Ю. У(г) = (3+ г — гги2+ г — 2гг — гз). 1.0. Разложение в рлд Тейлора 37 1.9. Разложение в ряд Тейлора с использованием табличных разложений ПОСТАНОВКА ЗАЛАЧИ. Функцию 7(з), аналитическую в точке зо, р эложить в ряд Тейлора в окрешпности этой точки (по стпепенял з — зв), используя табличные разложения. Указать область, в которой справедливо полученное разложение. ПлАн РешениЯ.
Табличные разложения функций в степенные ряды по степеням ж в е'=~,, з~ <оо, н.=в 11п л-з (2п+ 1)! ( 1)п сове = ~~, з ", ~е~ < оо, ч=в о 1п(1+ з) = ~ з", ф < 1, и в=1 т(т — 1)... (т — п+ 1) и.' о=1 1. Выражаем функцию 1(е) через функции, имеющие табличные разложения. 2. Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя таб- личные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. 3. Находим область, в которой справедливо полученное разложе- ние: ~~з — зв~ < Й, где Л расстояние от точки зв до ближайшей особой точки функции 1"(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
