Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Представим Де) в виде где у22(2) = (2 — 4)~(2~ — 22+ 2) и у22(22) р- О. Согласно формуле (2) 22 = — 4 нуль 2-го порядка функции 2'(2). Представим Де) в виде У(л) = ( — (1 — ))усе( ): где ре(2) = (24+22+ 4)(2 — (1 — 1)) и усв(22) р О. Согласно формуле (2) 22 = 1 — 1 нуль 1-го порядка (простой нуль) функции Де). Представим Де) в виде гДе 424(2) = (24+ 2-+1)(2 — (1+4)) и У4(24) ф О.
Согласно фоРмУле (2) 24 = 1+ 1 нуль 1-го порядка (простой нуль) функции Д ). Ответ. 4 = 4 — нуль 2-го порядка функции ((2), 22 = — 1 — нуль 2-го порядка функции ф(2), 22 = 1+ 1 — нуль 1-го порядка функции ф(2), 22 = 1 — 4 нуль 1-го порядка функции ('(2). 1.12. Нули аналитической функции ПримЕр 3. Найти нули функции Дг) = 1 + сЬ с и определить их порядок.
Решенигь. 1. Находим нули аналитической функции ф(з), решая уравнение 1 + сЬ з = О. Поскольку сЬ с = совая, имеем уравнение для определения нулей: совке = — 1. Отсюда ие = я(21 + 1) и сь = кг(21+ 1), й = О, х1, 2. Определяем порядок каждого нуля, вычисляя производные функции Дв): 1'(в) = ОЬс, .ф ( ) = сЬс, и их значения в точках сь.
1'(яь) = вЬяг(21+ 1) = О, 1о(сь) = ОЬт(2И+ 1) = — 1 ф О. Так как Дсь) = ф'(зь) = 0 и 1'о(нь) ~ О, то сь = гк(21+1) являются нулями 2-го порядка функции ф(в) = 1 + сЬ ж Ответ. зь = гтг(2Й ф 1) (к = О,х1,...) — нули 2-го порядка функции Дз). Пример 4. Определить порядок нуля функции ф( ) (е 1 з )в1п з в точке в = О. РЕШЕНИЕ. 1.
Функция задана в виде произведения двух функций: 14(с) и 1з1с),где 1г1я) = е' — 1 — з, Яз) = в1п ж 2. Для первого сомножителя ~~ (с) вычисляем порядок нуля с = О. Разложим 1г(с) в ряд Тейлора, используя табличное разложение и. а=о 4 В.И. Афанасьев и др. Гл.1. Теория функций комплексной переменной 50 Получаем 2 2 4 Е 2 24 Е 28 Л(2) =е — 1 — 2 =1+2 + — + — +...— 1 — 2 = — + — + — +.. 2! 3! 2! 3! 4! Так как со = с4 = с2 = сз = О, с4 = 1/2 ф- О, то = 0 является нулем 4-го порядка функции 14(2). Точка 2 = 0 — нуль первого порядка функции вше, так как (82пе)'~, о = со80 = 1 ~ О.
Поэтому 2 = 0 нуль 5-го порядка функции 22(2) = сйп Поскольку 1(2) = 14(2) фз(2), точка 2 = 0 является нулем 9-го порядка функции Де). Ответ. 2 = 0 является нулем 9-го порядка функции Дх). Примну 5. Найти нули функции 4 йх) = и определить их порядок. РКШКНИК. 1.
Функция аналитична при всех 2 у= 0 (ф(2) не определена в точке 2 = 0). Находим нули функции, решая уравнение 2 (2) = 0 (2 ф 0). Получаем зь=к15 1=х1,ш2,х3,... Точки еь = кк — простые нули функции сйп 2 и, следовательно, являются нулями 4-го порядка функции сйп ю Так как 22 ф 0 при 2 = кй, то "", ' = (. — .,)' р(2), р(2,) ~ О. Из этого заключаем,что точки 2В =к15 1 = +1,~2,~3, являются нулями 4-го порядка функции Дз). Ответ. 28 = хй, (й = х1, х2, х3,...) — нули 4-го порядка функции Д(2).
1.13. Тип изолированной особой точки Ус11сзвнн элдлч. Найти нули аналитической функции ) Я и определить ит порядок.. 1 ~(з) = япс — ж 2. (зз+ ЦвЬ гж 3. Дз) = 1 — совз — зз,г2. 4. (з+ 1) япкя 5. 1Я = (е~' — 1 — 2з)япя 6. 11з) = з(1 — сЬз). 7. 71з)=(с — вЬс)з. 8. Дз)=яп~зГсз. 9. Дс)=згйж 10.
Дз)=вЬ с1ж Ответы. 1. з = 0 — нуль 3-го порядка. 2. з = хг — нули 2-го порядка. 3. з = 2ггй (й = О, х1,...) — нули 4-го порядка. 4. с = — 1— нуль 3-го порядка: с = й (й = х1, х2,...) нули 1-го порядка. 5. з = 0 — нуль 3-го порядка;. с = ггй (й = х1, х2,...) — нули 1-го порядка. 6. с = 0 — нуль 2-го порядка; с = 2кйг (й = х1, т-2,...) —- нули 2-го порядка. 7. з = 0 — нуль 6-го порядка. 8, с = кй (й = х1,х2,...) нули 2-го порядка.
9. з = 0 нуль 2-го порядка; з = кй (й = х1,х2,...) нули 1-го порядка. 10. с = лйг (й = х1, т2,...) — нули 2-го порядка. 1.13. Тип изолированной особой точки Постлновкл злддчи. Определить тип изолированной особой точки с = а функции Дс). План ргнйиния, Так как з = а — изолированная особая точка функции 1 1с), то существует окрестность этой точки, в которой 1 1з) разложима в ряд Лорана. 1. Находим разложснио в ряд Лорана функции Дс) в окрестности точки з = а: Г"(с) = ~~~ + ~ си(з — а) н=г н=-В Первая сумма в (1) называется главной частью ряда Лорана.
2. Определяем количество слагаемых в главной части ряда Лорана функции Дз). Если главная часть отсутствует (все с „= 0), то з = а — устранимая особая точка функции Дс). Если главная часть содержит конечное число слагаемых, то з = а полюс, причем его порядок равен старгпей степени 111с — а). Если главная часть содержит бесконечное число слагаемых, то с = а существенно особая точка функции Т'(з). Гл.1. Теория функций комплексной переменной 52 Замечание. Тип особой точки функции 1(з) можно установить, вычисляя предел 1'(з) при и — ~ а: если 1ии 1(з) = А, то з = а — устранимзя особая точка; если 1пп 1(е) = со, то з = а — полюс '~; «-«а если 1пп 1(з) не существует, то с=а — существенно особая точка.
« — «а Прижгу. Определить тип особой точки з = 0 функции 1(з) = з сов —. з 1«ЕШЕНИЕ. 1. Находим разложение в ряд Лорана функции ф(з) в окрестности точки з = О, используя табличное разложение для сове и заменяя в нем з на 1/е: з 1 1 1 з 1'(з) = з сов — = з (1 — — -+ — + +...) «я — --+ — + — — +... 2!зз 41«л 6!ее 2! 4!е 6!зз Главная часть ряда Лорана функции 1 (е) есть 1 1 — + — -+ 4!е Язз 2.
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, следовательно, з = 0 — существенно особая точка функции 1(з). 1 Ответ. з = 0 — существенно особая точка функции 1" (з) = ез сов —. УслОвия задач. Определить тип изолированной особой точки з = 0 функции 1(з). 1. 1(з) = з вш(2/зз). 2. 1(з) = (1 — сов з)1ез. 3. 1(з) = зз сов(1/ез).
4. 1«(з) = (е — 1)/ез. 5. ф(з) = зе 1'. 6. 1«(з) = (е1пе — з)/е«. 7. 1«(з) = = (сове — 1+ее/2)!зз. 8. 1( ) = (ез' — 1 — 2з)/ел. 9. ф(«) = ез1«1««. 10. 1(е) = (сов(1/з) — 1)/е'. Ответы. 1. Существенно особая. 2. Устранимая. 3. Существенно особая. 4. Полюс 2-го пор. 5. Существенно особая. 6. Устранимая. 7. Полюс 1-го пор.
8. Полюс 2-го пор. 9. Существенно особая. 10. Существенно особая. О Таким способом нельзя установить порядок полюса. Н14. Особые точк~ 4ункиии вида ~~;~ Ю 53 1.14. Особые точки функции вида ~(-'-) Ф( ) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти особые гаечки фрикции у( ) ~(2) 4:(х) ' где р(2) и гб(х) анаяигпичны при всех 2, и определить тип особых точек.
ПлАП Регпения. 1. Так как функции уг(2) и гб(2) аналитичны при всех 2, особые точки функции Г'(2) определяются нулями знаменателя гд(2). Поэтому находим нули б(2) (корни уравнения ф(х) = 0). 2. Для каждого КОРНЯ 2 = Хо.' а) определяем порядок нуля 2 = хе функции гр(2) и обозначаем его и (п = 1,2,...); б) определяем порядок нуля 2 = хо функции во(2) и обозначаем его т (т = 0,1,2.....).
3. Делаем вывод о характере особой точки 2 = зо.. если т > и, то о — устранимая особая точка функции г"(х); если т < и, то ео полюс фУнкции г(2) поРЯдка и — т. ПРимеР. Найти особые точки функции ~() 2 и определить их тип. РЕШЕНИЕ. 1. Так как функции у(2) = е' — 1 — 2 и го(2) = е1п аналитичны при всех 2, особые точки функции Г" (2) определяются нулями знаменателя ф(2). Поэтому находим нули г(г(2) (корни уравнения вгп~ 2 = 0.) Получаем хь = кЫ, (й = О, х1, дг2,...).
2. Для каждого корня хь = кй; а) определяем порядок нуля хь = к1 функции ф(х) = ягг~ю Так как г(г'(кй) = 2егпхсоех~,— ь = 0 и фн(М) = 2сое2х~,-„ь ф О, то х;, = к1с — нули 2-ого порядка функции ф(2) = вш б) определяем порядок нуля хь = нй функции го(2) = е' — 1 — 2. Так как во(кй) ф 0 при й ф О, точки ь = кй (й = +1, 1:2,...) не являются нулями функции ~р(2). Гл. й Теория функций комплексной пере»»енной Так как со(О) = е' — 1 — х(» в —— О, у'(0) = е' — 1, в = 0 и с»о(0) = е'(»-в ~ О, точка х = 0 — нуль 2-ого порядка функции р(х) = е' — 1 — х. 3.
Делаем выводы о характере особых точек . = кй. В точке х = 0 порядок нуля числителя и знаменателя равен 2, следовательно, х = 0 — устранимая особая точка. В точках х = кй (1с = х1, х2,...) числитель не равен нулю, а порядок нуля знаменателя равен 2, следовательно, точки х = пй (й = х1, 4-2,...) — полюса 2-ого порядка. Ответ.
в =0 — устранимая особая точка, х =кй (й = х1, х2,...)— полюса 2-ого порядка функции з'(х). Условии задач. найти особые точки функции 7"(х) и определить их тип. 1. 7(х) = япхс(е' — 1 — х~/2). 2. 7(х) = (1 — сове)свш 3. ф(х) = в1пкхДхл — 1). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
