Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003), страница 8

ф(х) = (сове — 1)с(хз — «гхз). 5. з»(х) = вшкхсс(х~ + 2хв + з~). 6. х»(х) = х/(е' — 1). 7. ((х) = хвшх7( ~+кх)з. 8. Дх) = 1/с~+ л«сяпх. 9. Т(х) = сове,с(хз — кхз,с2). 10. 7(х) = 18х/(2х — к). Ответы. 1. х = 0 — - полюс 2-го пор. 2. х = кй (й = О, х1,...)— устранимые. 3. - = х1 — устранимые; - = 4:г — полюса 1-го пор. 4, х = 0 — устранимая; х = к — полюс 1-го пор. 5, х = 0— полюс 3-го порц х = — 1 полюс 1-го пор. 6. х = 0 устранимая; х = 2кй» (й = 4-1., х2,...) — полюса 1-го пор. 7. х = 0 — устранимая; х = — и — полюс 1-го пор. 8.

х = 0 — полюс 4-го пор.; х = кй»' (й = х1,х2,...) — полюса 1-го пор. 9, х = 0 — полюс 2-го пор.; х = ксс2 устранимая. 10. х = 0 устранимая; х = к,с2 полюс 2-го порц х = к/2+ лй (й = х1,:Е2,...) полюса 1-го пор. 1.15. Вычисление вычетов Постановка задачи. Найти вычеты функции 7(х) в ее изолированных особь х точках. План гги|нния. Вычетом функции 7" (х) в изолированной особой точке х = хо называетсЯ число гев, „Т(х), опРеДелЯемое фоРмУлой 1 Г гсз» вЂ” «»~(х) = — ф(х) с»х, 1.15.

Вычисление вычетов 55 гев,— „Дз) = с 1. Отметим, что для вычисления вычетов в полюсах удобно применять специальные формулы (2) — (4). 1. Находим изолированные особые точки функции Д(з). 2. Определяем тип каждой особой точки з = ев и вычисляем в ней вычет: а) если особая точка гв является устранимой особой точкой функции 1(з), то гев,-„у(з) = О; б) если ее — полюс и-го порядка функции Дз), то лп — 1 гев,— „~(г) = 1пп ((з — зо) ~(г)), (2) в частности, при п = 1 точка зв — полюс 1-го порядка (простой полюс) и гев.=.Л ) =,11ш, (( - ев) Ю); (3) в) если функцию Дз) можно представить в виде 1о(з) У(г) = ~( где со(з) и ~~(з) аналитичны в точке -0 и во(ео) у'.

-О, у'(зв) = О и ~'(яв) ф О, то гв — полюс 1-го порядка функции и Ф(з) Р(зо) гев, „1(з) = гев,-„ ='й ) ~( )' (4) г) если ев — существенно особая точка функции Дз), то необходимо разложить 1 (г) в ряд Лорана в окрестности зе, и воспользоваться формулой гея, „1(з) = с (5) где у произвольный контур, лежащий в области аналитичности функции, внутри которого содержится единственная особая точка функции з = зо (обход Г совершается против часовой стрелки). Если разложить Дл) в ряд Лорана в окрестности особой точки зв (по степеням в -- зв), то согласно формулам для коэффициентов с„ Рл.1.

Теория функций комплексной переменной Примну 1. Найти вычеты в особых точках функции Ркшкник. Представим функцию Дя) в виде яш е — к 74 е сов е(я — 7ГГ4) 1. Находим изолированные особые точки функции ф(я), Особыми точками функции явллются нули знаменателя, т.е. е=к774, ел= — +я17, А=О,+1, 2 2. Определяем тип каждой особой точки и вычисляем в ней вычет: е = О устранимая особая точка, так как еюз 4 1пп у(е) = 1пп 7 — 70 7 — 70 е Соз е(я — 7Г774) 7Г Поэтому по формуле (1) гез,=аУ(я) = О. простой полюс, поэтому по формуле (3) Точка л = к774 (л — х774)1б г йя я 1гпг 1пп = 477к. е — гк,74 е(е — 7Г774) я-гк/4 е Точки ей = х772+кк — простые полюса функции ф(я). Представим Дя) в виде причем 7р(я) и цг(я) аналитичны в точках у = х,Г2+ хй и зш 7р(ял) = — — — ~ О, ф(ял) = сов св = О, 7)7'(ял) = — е1пля у'.

-О. еу — клл 774 Фа я 2 ез — хяг74 гея, ~яД(я) = 1пп (я — к774)г"(е) = 7-77717 вш Я вЂ” хя,74 соя г р(я) Ф( )' 1.15. Вычисление вычетов 57 Позтому по формуле (4) яп ея зв(зь — хгг4) гез,—,„1(з) = — —; — — — = — яп зь яш (х,г2+ хй) (Я/2+ х1е)(хгг2+ хк — хгг4) — вш(хгг2+ хк) (хгг2+ Ы)(х,г4+ хх) 18з 4 гез, 1л зз — .гз/'4 л ' 1 18 3 Ответ. гез, е =О, зз — хз,г4 сиз гез, чгзевь з' — из 1'4 (хг'2+ хй)(хгг4+ х1е) Пгимег 2. Найти вычеты в особых точках функции 1(з) = е -'. РЕШЕНИЕ. 1. Находим изолированные особые точки функции 1'(з). Точка з = 2 — единственная особая точка функции 1" (з). 2.

Определяем тип особой точки з = 2 и вычисляем в ней вычет. Разлагаем 7'(з) в ряд Лорана в окрестности точки з = 2: 1 1 1 1 — — + + — . — 2 2~(з — 2)з 31(. — 2)з ~-~ н«,з — 2) 1 гез,— ге*-в = с г — — 1. 1 Ответ. гез, зег в = 1. Условия задач. Найти вычеты функции 1(з) е ее изолированных особых гпочнах. 1. 1'(з) = зяп(1гз). 2. 1(з) = (1 — созе),1зз 3 7'(з) = хзе 4. 7(х) = зГяпз. 5. 1(з) = 18зз.

6. 1(з) = яп(хх)г[(з+ 1)(х — 2)з]. 7. 1'(з) = (е' — 1)Г[з~(з+ 1)1 8. 1"(з) = згг[(з — 2) (з+ 1)з1, 9, 7'(з) = = ез1',Гз. 10. 7(з) = (яп )Г(з~ — хз~,14). Поскольку главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, з = 2 — существенно особая точка функции 1'(з). По фор- муле (5) Гл.1. Теория функций комплексной переыенной 58 Ответы. 1.

гев, оУ(х) = О. 2. гев. оф(г) = 1/2. 3. гев, оДг) = = 172. 4. гев,-оф(х) = 0; гев,-„ьу'(х) = ( — 1)~к1 (1 = т1,т2.....). 5, гев, рььг~ф(х) = 0 (а = О,т1,т2,...). 6. гев,— 17(г) = 0; гев, г7"(х) = к/3. 7. гев,=оУ(х) = 1; гев, гДх) = е ' — 1. 8. гев, гф(х) = — 1/27; гев, г7"(х) = 2/27. 9. гев, оДх) = 1. 10.гов, о7'(г) = — 4/я; гев, ~лф(х) = й2. 1.16. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов ПОСТАНОВКА ЗАЛАЧИ.

Вычислить интеграл У(я) Ьх, г где Г граница некоторой области 11, ф(х) аналитична о области В, за исключением конечного числа особых точек, и непрерывна на Г. ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Находим особые точки хы гг,..., гп функции 7"(х), расположенные внутри контура Г. 2. Определяем тип каждой особой точки гы гг,..., х„. 3.

Вычисляем вычеты в этих особых точках. 4. Вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: 1(х) дг = 2я1 ~~ гев,—,„7'(х). г в=1 ПРимеР. Вычислить интеграл р — ц=1 РЕШЕНИЕ. 1. Находим особые точки функции 1'( ). Особыми точками функции У(х) =,, 1.16.

Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов 59 являются нули знаменателя. Находим все значения гь = ~141 4с' хз44 я+ 2яй гг+ 2 гй гь=е 4 =сов +гв1п й = О, 1, 2, 3. 4 4 Определяем, какие из этих точек расположены внутри контура Г. Контуром интегрирования является окружность ~г — 1~ = 1. Так как г — го~ < 1 и ~г — гз < 1, а ~г — гг~ ) 1 и ~г — гг~ ) 1, то внутри контура Г расположены точки Л .

12 .-, Л го=е"= +г з=е '= — г 2 2 2 2 2. Определяем тип особых точек го и гз. Для этого функцию 1"1г) представим в виде П)= —; р(г) уз(г) где 4р(г) = 1 и у4(г) = г~ аналитичны в точках гь и уз(гь) = 1 ~ О, уг(гь) = 0 и уг'(гь) = 4гь~ ф 0 (й = 0,3). Следовательно, го и гз— полюса 1-го порядка функции 11г). 3. Вычисляем вычеты в точках го и гз по формуле уо1 ) зо(гь) ' "1(г) щ'(гь)' Получаем 1 1 1 з 1 ( чг2 .чг2) гев,— „ ' "гл+1 4гоз 4 4~ 2 2) 1 1 1 з., 1 ( ьГ2 зГ2 1 гез, . = = — ез = — — +г ' г" + 1 4гз 4 4 ~ 2 2 ) 4. Вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: г1г г' 1 1 = 2кг ~гез, „„+ гез, )з-г(=г 1 ( ,2 ,2 .2 ,2~ .2 2яг — — — - — г — — — — + г — - = — — — ггг.

4~ 2 2 2 2) 2 с1г Ответ. г = — — яг 1 2 )з — 1)=1 Гл.1. Теория функций комплексной переменной 60 УСЗГОВИЯ ЗАЛАЯ. Вычислить интегралы с помоизью вычетов. 2, вш 1+ — гЬ. ~» — 11= 1 (»)=1 1п(1+ г) гЬ. ф= г,гз )»).=з ге+ 8- 5. ~ сйб 2г гЬ. 6. ~г о!ю гл — 16 )» — кг'з)=г 1» — ай =з е' гЬ 7. г вгп г ~» — г~=з )»-ьг/=3 9.

сов~ г + 1 еЬ де. 10. (--) " ~ "( -2И )' уй=а ) — з(=з Ответы. 1. кг,г12. 2. 2кгсов1. 3. О. 4. г-н»1 5. Зкг1 6. — Зггг. 7. 2кг1 8. 2г. 9. О. 10. 26лггг675. 1.17. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов ПОСтАГГОВКА ЗАЛАЧИ. Вычислить интеграл где гь(совх,в1пх) — рациональн я функция вшх и совх. ПЛАН РНШРгНИЯ. 1. Вводим комплексную переменную г = ег».

При этом область интегрирования [О, 2к) отобразится в окружность ф = 1, 0 < атбг < 2к. 2. Вычисляем еЬ г1г = ге" »1х ==ь »1х =— гг 1. ~ г е г'ьгз. созе г+ 1 8. гЬ. гз кз 2» В(сов х, в1п х) г1х, о Е17. Вычисление определенных интеералов с помощью вычетов 61 По формулам Эйлера егги + е-ге 1 / созх = = ~'") 2 2(, 2)' егги е — ге 1 / зшх = 21 21 (, 2) 3. Подставляя в заданный интеграл результаты п.2, получаем Щсовх,сбпх) Нх = в где 7(2) = — тг — 2+— 4.

Вычисляем контурный интеграл от функции Д(2) комплексной переменной з с помощью вычетов: а) нахоДим особые точки зм 22,..., з„фУнкции /(е) г Расположенные внутри контура ф = 1: б) определяем тип каждой особой точки лм 2,..., 2„; в) вычисляем вычеты в этих особых точках; г) вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: и /(2)гЬ = 2пе'~ ~гез, „Де). )г)=1 ПРИМЕР. Вычислить интеграл зв Нх (5+ 4совх)2 о РЕШЕИИИ. 1.

Вводим комплексную переменную 2 = е'*. Прн этом область интегрирования (О, 2и) отобразится в окружность ф = 1, 0 < агяе < 2и. Гж1. Теория функций комплексной переменной 2. Вычисляем еЬ еЬ = ге ~11х =р дх = 12 По формуле Эйлера совх = = — с+в 3. Подставляя в заданный интеграл результаты п.2, получаем после преобразований йх (5~-4совх)2 у' 1(22~+52+2)2' Р)=1 4.

Вычисляем контурный интеграл от функции комплексной переменной г с помощью вычетов: а) находим особые точки подынтегральной функции 1(222+ 52+ 2)2 41(г+ 2)2(2+ 1/2)2 как нули (2-го порядка) се знаменателя: 21 = — 1/2 и гг = — 2. Точка гг = — 2 лежит вне контура, так как ~ — 2~ > 1, а точка г, = — 1,12 лежит внутри контура, так квк ~ — 1,12~ < 1; б) точка 21 = — 1,12 — полюс 2-го порядка; в) вычисляем вычет в точке г = — 1/2 по формуле для вычисления вычетов в полюсе 2-го порядка (гп = 2): йш — 1 гев, „1(г) =, Ыпг, ((г — 21) ф(2)) Получаем (г+ 1/2)22 ~ 5 ГЕ В ~ = - 1 12 11п1 ~ 41(г+ 2)2(я+ 1/2)2 — 1 — 112 141(г+ 2)2(2+ 1/2)2) 271' г) вычисляем контурный интеграл по теореме Коши о вычетах: 11х я 112 (5 + 4совт)г й' 41(г+ 2)г(-+ 1112)2 о ) е ) '= 1 10я 41(з+ 2)2(2+ 1/2)2 27 гк ох 10к Ответ. (5+ 4совх)2 27 о 1.18.

Нееобетвенньге ингпегралы от рациональных функций 63 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помощью вычетов. 10 Ответы. 1, тгггчг2. 2. 2т1 3. 3. 2хггчгЗ. 4. 2гг,19. 5. 7ягг10чТО. б. 5н,Г8. 7.я,г2. 8. 5ягг32. 9.т12. 10. 13игг18. 1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций ПостАИОвкА ЗАдлчи. Вычислить несобственньгй интеграл Р-(х) „, О (х) где Р„и 1„2 многочлены степени п и т, 1.,1 (х) ~ 0 и т > и+ 2. ПЛАН Реидгния, 1. Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной () Р„Ы Ю-(2) и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси ~ — о, д) и полуокружности Сг — — Я~г~ = д, 1гпг 3 О), выбрав д так, чтобы все дх 1. 3+ совх О 2к 1' совх+ 1 3.