Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003)

УДК 51 ББК 22.1 А94 АВТОРЫ: В. И. Афанасьев, О. В. Зимина, А. И. Кириллов, И. М. Пструшко, Т. А. Сальникова Решебник. Высшая математика. Специальные разделы / Под ред. А.И. Кириллова. — 2-е изд., стереотип. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003.— 400 с. 1ЯВХ 5-9221-0423-3. Книга содержит примеры решения типовых задач по теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, рядам Фурье, преобразованию Фурье, уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Для студентов, аспирантов и преподавателей технических, зкономических и сельскохозяйственных вузов, университетов, а также для научных работников и инженеров; может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения. Ил. 43. © ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003 © В. И. Афанасьев, О. В. Зимина, А. И.

Кириллов, И. М. Петрушко, Т, А. Сальникова, 2001, 2003 1ЯВХ 5-9221-0423-3 огллвлкник ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ ПРЕДИСЛОВИЕ 15 Глава 1. ТЕОРИЯ с1зл'НКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 17 17 19 20 23 26 30 32 34 37 39 44 47 51 53 54 58 60 63 Ля 67 Гл аз а 2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСт1ИСЛЕНИЕ 2.1. Нонлтия оригинала и изображенил 2.2. Изображение функции вида 2 „ , сьуь(1) 2.3. Изображение функции вида 1'(ас) .

2.4. Иэображение функции вида е ~)'(1) 2.5. Изображение функции вида 2 „, уь(1 — ть)0(1 — ть) . 2.6. Изображение функции вида 1 7(1) 2.7. Изображение функции вида 7"(1)Д 2.8. Восстановление оригинала по изображению Р (р) (О„(р) 72 72 75 76 77 78 80 81 83 1.1. Извлечение корня из комплексного числа 1.2. Кривые в комплексной области 1.3. Аналитичность, условия Коши — Римана 1.4. Восстановление аналитической функции по ее действительной нли мнимой части 1.5.

Интеграл от функции комплексной переменной . 1.6. Интеграл от аналитической функции 1.7. Ряд Тейлора 1.8. Ряд Тейлора рациональных функций.............. 1.9. Разложение в ряд Тейлора с использованием табличных разложений . 1.10. Ряды Лорана рациональной функции . 1.11. Ряд Лорана функции 1(з) в окрестности ее особой точки 1.12. Нули аналитической функции 1.13. Тип изолированной особой точки .

1.14. Особые точки функции вида у(л)/ф(з) 1.15. Вычисление вычетов 1.16. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов 1.17. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . 1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций . 1.19. Несобственные интегралы от функций Н(т) сов Лх и Н(и) в1п Оглвв.ление 85 87 89 90 93 96 100 104 108 119 122 137 139 141 142 146 Фурье ФИЗИКИ 151 194 199 206 2.9. Восстановление оригинала по теореме разложения . 2.10. Восстановление оригинала по изображению Г(р) О(р) 2.11.

Восстановление оригинала по изображению Л(р) е 2.12. Решение линейных дифференциальных уравнений . 2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений Г л а в а 3. РЯДЫ ФУРЬЕ 3,1. Тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) на интервале ( — х, х) 3.2. Тригонометрический ряд Фурье функции 7(х) на интервале ( — 1,1) 3.3. Тригонометрический ряд Фурье функции 1'(х) на интервале (а, 6) 3.4. Ряд Фурье функции 1(х) на интервале (О, х) по тригонометрической системе 3.5.

Ряд Фурье функции 1(х) на интервале (0,1) по тригонометрической системе 3.6. Тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) на интервале ( — 1,1) в комплексной форме 3.7. Ряд Фурье функции 1"(х) на интервале (а,6) по заданной ортогональной системе Г л а в а 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ . 4.1. Синус-преобразование Фурье 4.2. Косинус-преобразование Фурье . 4.3. Комплексное преобразование Фурье 4.4.

Комплексное преобразование Фурье функции вида ~,", аьх "1ь(6ьх+ сь) 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Глава 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 5.1. Тип и канонический вид уравнения ....... 5.2. Общее решение гиперболического уравнения 5.3. Общее решение параболического уравнения . 5.4. Общее решение эллиптического уравнения 5.5. Уравнение Лапласа в круге 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 5.7. Уравнение Лапласа в шаре . 5.8. Уравнение Гельмгольца в круге . 5.9.

Уравнение Гельмгольца в шаре 5.10. Собствонные функции и собственные значения оператора Лапласа 5.11. Уравнение Пуассона в кольце 5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. 152 158 159 161 162 169 176 182 188 Оглавление 217 220 225 230 237 241 246 251 254 295 299 303 306 312 315 317 320 323 325 327 329 7.1. Г'руинированный статистический ряд абсолютных частот ..

330 7.2. Группированного статистический ряд относительных частот 334 338 340 342 346 5.13. Уравнение Пуассона в гпаре 5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке . 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике 5.17. Задача Коши для волнового уравнения на прямой 5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке . 5.19. Уравнение теплопроводности в круге 5.20.

Задача Копил для уравнения теплопроводности на прямой Г л а в а 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 6.1. Классическая вероятностная модель 6.2. Гипергеометрическая формула 6.3. Размещение шаров по ящикам . 6.4. Геометрические вероятности (ограниченная область) 6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) .. 6.6. Независимые собьггия 6.7. Схема Бернулли: фиксированное число испытаний . 6.8. Схема Бернулли: неограниченное число испытаний 6.9. Формулы Муавра — Лапласа и Пуассона .

6.10. Простейший поток событий 6.11. Формулы полной вероятности и Байеса 6.12. Распределение дискретной случайной величины 6.13. Распределение непрерывной случайной величины 6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины 6.15. Числовыехарактеристики непрерывной случайной величины 6.16.

Распределение и числовые характеристики дискретного случайного вектора 6.17. Распределение непрерывного случайного вектора 6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 6З9. Характеристическая функция .. 6.20. Распределение функции случайной величины 6.21. Числовые характеристики функции случайной величины 6.22.

Распределение функции свучайного вектора 6.23. Числовые характеристики функции случайного вектора 6.24. Нормальное распределение . 6.25. Центральная предельнал теорема .............. Глава 7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 7.3. Полигон абсолютных частот 7.4.

Полигон относительных частот . 7.5. Гистограмма относительных частот 7.6. Эмпирическая функция распределения . 255 257 261 263 266 269 272 274 275 281 283 287 290 293 Оглавление 361 366 371 374 377 7.7. Выборочное среднее несгруппированной выборки ....... 349 7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот 351 7.9. Выборочная дисперсия несгруппированной выборки...... 354 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда абсолютных частот 355 7.11. Определение параметров закона распределения методом моментов 358 7.12.

Определение параметров закона распределения методом наибольшего правдоподобия . 7.13. Метод наименьших квадратов 7.14. Выравнивание результатов измерений . 7. 15. Случайные интервалы 7.16. Доверительный интервал для единственного неизвестного параметра распределения 7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона . 384 7,18. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Уилкоксона 389 7.19. Критерий согласия Пирсона д~.................. 392 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ Учебные пособия серии РЕШЕБНИК создаются в рамках проекта Ес1пХХ1, начатого О.В. Зиминой и А.И. Кирилловым в апреле 1999 г. Главная цель ЕбпХХ1 — максимально облегчить учебу, сделать ее интересной и побуждающей к самостоятельным исследованиям.

Основными средствами достижения этой цели в проекте Е0пХХ1 служат коьшыотеры и учебные пособия нового типа -- учебные комплексы и решебники. Учебный комплекс точно соответствует программе дисциплины и содержит конспекты лекций, разработки практических занятий с подробным решением типовых примеров, задачи и упражнения для самостоятельного решения, контрольные вопросы по всем темам (с ответами), варианты контрольных работ, а также программы зачета и экзамена с образцами зачетного и экзаменационного билетов. Пока в России существует только один учебный комплекс — книга „Линейная алгебра и аналитическая геометрия" О.В.

Зиминой (М.: Изд-во МЭИ, 2000.— 328 с.). Решебии к, согласно толковому словарю русского языка под редакцией профессора Д.Н. Ушакова, — это учебное пособие, содержащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задачнике; ключ к задачнику. Учебные пособия серии РЕШЕБНИК ключи сразу к нескольким основным задачникам по соответствующей дисциплине.

Они содержат классифицированные образцы решения типовых задач. Каждой задаче отведен отдельный раздел. Он начинается с общей постановки задачи. Затем следует полный и подробный план решения, содержащий необходимые теоретические сведения. Общая постановка задачи и план ее решения пояснены примерами. Они могут служить основой для рассуждений по аналогии. Раздел завершают задачи, предназначенные для самостоятельного решения в точности тем же способом, что в плане и примерах. Все задачи приведены с ответами. Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), затем рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и, по 10 Предисловие редактора серии аналогии с ним, решить несколько задач из числа предлагаемых для самостоятельного решения.