Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 9

Хантинг ') Большое количество пряыэвэннй этого метода можно найти э работах цикла«эско т в в г т о н а (Е. у. Нэп11вчсоп) в эго соавторов по линейному и Сэв 1ог Ьес ц 'ли««скому порядку. Особенно рэкоыэндуэы Работу А веэ' вв Р Ьвсиээппэвв РЛ«Ь ргоо1 о1 сошр(э«в 1пдэрэпйэпсэ.— Тгэпв. Ашэг. а«Ь Яос 1 а Яос, 192«, 26, РР.

257 — 262. В нэсс так сэ пр водятся сведения О более Ранних публнкэцввх. пРОБлемА непРОтивОРечивОсти 1гл ! 39 1 в) ББОИОнечнАИ индизиднАИ ОБДАсть 3 3. Вопрос о непротиворечивости в случае бесконечной индивидной области 1. Формулы, невыполнимые в конечном; натуральный ряд как модель. Ограничивается ли применимость указанного метода случаем конечных индивидных областей? Наши предыдущие рассуждения не дают нам оснований сделать такой вывод. Конечно, сразу становится ясно, что всевозможные системы предикатов в случае бесконечной индивидной области не образуют обоаримого многообразия и что о последовательном просмотре всех пробегов аначений в этом случае речи быть не может.

Тем не менее рассматриваемые аксиомы все же могут оказаться такими, что мы будем в состоянии доказать их выполнимость путем подбора подходящих предикатов. И действительно, такие случаи иногда имеют место. Достаточно, например, взять систему из следующих трех аксиом: »Ух 1В (х, х), МхЧу'Рг (В (х, у) й В (у, э) -+ В (х, г)), 1<хЗРВ (х, у). Давайте попытаемся понять, в чем смысл этих аксиом. Возьмем какой-либо объект а из индивндной области. Согласно третьей аксиоме, должен существовать объект Ь такой, что В (а, Ь) истинно. Согласно первой аксиоме, он отличен от а. Далее, для Ь должен существовать объект С такой, что В (Ь, с) истинно. На основании второй аксиомы В (а, с) также истинно; в соответствии с первой аксиомой с отличен от а и от Ь.

Для с снова должен существовать объект д, для которого В (с, д) истинно. Для пего истинны также В (а, а») и В (Ь, с(), а значит, а отличен от а, Ь и с. Это рассуждение никогда не оборвется, и поэтому в конечной нндивидной области наши аксиомы выполнены быть не могут. Однако, с другой стороны, мы легко можем выполнить их в бесконечной индивидной области: возьмем в качестве индивидов целые числа, а в качестве В (х, у) — отношение «х меныпе у»; тогда все три аксиомы немедленно окажутся выполненными. Аналогичная ситуация имеет место и в случае системы аксиом. состоящей из формул Лх»чу 1Я (у, х), 1(х)«у»«ПАР (Я (х, и) д< Я (у, и) д< Я (Р, х) -+- Я (Р, у)), )гхЗуЯ (х, у).

Легко показать, что эти аксиомы также не могут быть выполнены в конечной индивидной области. С другой стороны, они выполняются в области положительных целых чисел, если в качестве Я (х, у) взять отношение «у непосредственно следует за х». Рассматривая эти примеры, мы замечаем, однако, что приведенные нами модели вовсе не да»от окончательного решения вопроса о непротиворечивости рассматриваемой системы аксиом: более того, они только сводят его к вопросу о непротиворечивости арифмегпики. В ранее рассмотренном нами примере мы, правда, тоже пользовались целыми числами для построения конечной модели. Но там зто делалось только в целях достижения большей простоты в обозначениях индивидов. Вместо чисел мы могли бы взять какие-нибудь другие индивиды — например, буквы.

Использовашпге там свойства чисел также были такого рода, что их наличие у индивидов могло быть установлено путем конкретной проверки. Но в рассматрнваеиом случае мы уже не сможем обойтись представлением об одних лишь конкретных числах; в самом деле. нам приходится существенно использовать предположение о том, что»)ел»ге числа обравуюгп индивидную область, т. е. некоторую готовую совокупность (е)пе (егМяе Оеваш1йерд) *).

Конечно, это предположение является для нас очень привычяыи, поскольку в современной математике мы постоянно имеем с ним дело. Мы даже склонны считать его само собой разумеющимся. И Фреге был первым, кто очень энергично, опираясь на тонкую, остроумную критику, выдвинул тезис о том, что представление о натуральном ряде как о готовой совокупности должно быть обосновано посредством доказательства его непротиворечивости '). Такое доказательство, как полагал Фреге, могло бы быть осуществлено только при помощи некоторого построения как доказательство существования, и он рассчитывал отыскать объекты для такого построения в области логики. Нредлон<енный им способ исходит из того, что совокупность всех чисел определяется с помощью совокупности всех вообще мыслимых одноместных предикатов, существование которой нами предполагается.

Но положеняое при этом в основу предположение, которое и без того кал;ется весьма подозрительным уже при непредвзятом рассмотРе»»пи, оказалось совершенно несостоятельным вследствие обнаРуженных Расселом и Цермело знаменитых логических и теоретико-множественных парадоксов. И неудача этого предприятия показала нам — еще отчетливее, чем диалектика Фреге,— зсю проблематичность допущения о том, что натуральный ряд представляет собой некоторую ел»<кую совокупность. 2. Ироблематика бесконечного. Теперь, перед лицом всей этой проблематики, мы можем попытаться вместо натурального Ряда использовать в целях проведения доказательств непротиво- *) К о н с к с т в и т ко е — в терминологяи Г.

Кантора — множество. О»п добввлезяе у! <О попятил числа» к <Оснояаппям геометрия» Гвл»борта (ж 320 — 321 русского неревола).— угри»». п<р«. ') р г е 8 е О. 6»ппб!ахеп бег Аг)1)<те1Ж.— Вгев!вп, 1884; р г е 8 е О. Огпп<)зеве1«е бег А»11)»те<1)<.— Хвпв, 1893. (гл. 1 ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 40 ВЕСКОНЕЧНАЯ ИНДИВИДНАЯ ОБЛАСТЬ речивости какую-нибудь другую бесконечную индивидную область, которая не была бы, подобно натуральному ряду, чистым мысленным образом, а заимствовалась бы нами из области чувственного восприятия или даже из реальной действительности.

Однако при более пристальном рассмотрении ситуации мы убеждаемся, что всюду, где бы мы ни надеялись встретить бесконечные многообразия,— в области ли чувственных ощущений или в физической действительности — о прямом их обнаружении не может быть и речи, что скорее, напротив, убеждение в существовании какого- нибудь многообразия подобного рода основывается на мысленной экстраполяции, обоснование которой нуждается в специальном рассмотрении — во всяком случае, в той же мере, что и само представление о натуральном ряде как о некоторой единой совокупности.

Типичным примером, иллюстрирующим эту мысль, является бесконечность, лежащая в основе известного парадокса Зенона. Предположим, что мы проходим некоторый отрезок за конечный промежуток времени. В этом процессе содержится бескояечно много протекающих друг за другом его частей: сначала мы проходим первую половину отрезка, затем — следующую четверть, следующую восьмую часть и т. д. Если нам придется иметь дело с каким-нибудь настоящим движением, то все эти частичные акты оказкутся реальными процессами, которые будут протекать друг после друга. Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временнйх интервалов все-таки сходится и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно пе затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следуюп[их друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться.

В действительности, конечно, существует гораздо более радикальное решение этого парадокса. Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временнбе представление о движении является физически осмысленным также и в случае произвольно малых пространственных и временнйх интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простк|ми понятинми, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению, подобно тому, как совершает определенную экстраполяцию механика сплошной среды, которая кладет в осно- ву своих рассмотрений представление о непрерывном ааполнении пространства материей. Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактериаовано как движение.