Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 4

Н обошлась без влияния никновение этого метода р .. о валге у.. е о ема тик а. Еще аксиоматического метода уиц ем в 1930 году А. Гейтинг ввел в рассмотрение ормальн интуиционистскои логики. ож у С. К. Клики инт н ионистского анализа, предложенную систему интунцион Р. Основания интуиционистской (см.

Клини С., Весли . Сн а ики.— М.: Наука, 1978). Ве найса е ашли отражеЕстественно, в книге иль ерта и ер к 'нные езультаты, полученные в математическои ния многие крупные ре л мя. Но все эти резульлогике и ее приложениях в послевоенное время. о таты достаточно полно отражены в бол д ее поз них книгах, выпущенных издательствами «Наука> и р «и» за последние годы. Впрочем, многие из этих книг были паписань д 1 по сильным влиянием «Оснований математики» Гильберта и ер а" найса.

Отличающаяся исключительной глубиной содержания и тщательностью изложения, книга Гильберта и Бернаиса до сих пор о польз ется большой популярностью среди специалистов. нига пц нига насыщена глубокими идеями, которые пе потеряли своеи свежее и у г ческих пробловно будут полезны в будущих исследованиях логически р лем оснований математики.

для широкого круга читателей «тателей книга привлекательна тем, что в ней основополагающие идеи т еи тео ии доказательств излага1отся в своем первозданном виде при и ичем ПРедисловие РедйктОРА Русского пеРеводА наложение здесь более обстоятельно и менее формализовано, чем где-либо в другом месте. Этим, в частности, объясняется тот факт, что 10 лет назад издательство Шпрингера выпустило второе немецкое иадание этой книги. В ния мт опрос о переводе монографии Гнльберта и Бернайса «Осн сноваатематнки» на русский яаык неоднократно воаникал еще задолго до выхода ее второго немецкого издания.

Однако по разным причинам технического характера эта идея тогда не была реализована. Настоящий перевод выполнен со второго немецкого издания. В русском переводе мы решили обновить обозначения для кван- торов и отрицания, так как используемые авторами обозначения для них сейчас практически не применяются.

Вг. У11 л. У11 мы заменили обозначения некоторых простей ек сив "ших р ур ивных функции новыми символами, которые теперь уже стали стандартными. Также было приведено в соответствие с общепринятым в нашей литературе употреблением некоторых. математических терминов. Авторский указатель содержани я мы р ратили в оглавление, назвав параграфы. главами и.внеся все рубрики в текст книги. Немногочисленные описки мы исправляли беа всяких оговорок. Наконец, по предложению издательства мы добавили подзаголовки для отдельных томов.

К со м . оясаию, смерть П. Бернаиса, скончавшегося 18 сентября 197? г., лишила нас воаможпости сотрудничать с ннм при подготовке к печати этого перевода. Нет сомнений в том, что выход книги Гильберта и Бернайс «Основания математикю> на русском языке будет с удовлетворе. нием встречен в нашей стране не только специалистами по мате матической логике, но также и всеми квалифицированными мате матиками, которые в той или иной мере интересуются вопросам оснований математики, ролью математики в современной науке глубокими проблемами, стоящими перед математикой и матема тиками неаависимо от их узкой специальности.

С. Адя Моска«, январь 1979 года ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Уже несколько лет тому назад ныне покойный Генрих Шольц и господин Ф. К. Шмидт предлагали мне предпринять второе издание «Оснований математики», а господин Г. Хазенъегер на некоторое время приезжал в Цюрих, чтобы оказать мне помощь в этой работе. И уже тогда стало ясно, что включение в книгу многих новых результатов, полученных в области теории доказательств. Потребовало бы полной перестройки всей книги. В предлагаемом ныне втором издании, инициатива которого по-прежнему всходят от господина Ф.

К. 1Пмидта, и подавно не может быть речп о том, чтобы изложить все, что было с тех пор достигнуто в теории доказательств. Потребность в этом ощущается в тем меныпей степени, что за прошедшее время появились замечательные учебники, в которых обсуждается теория доказательств н граничащая с ней проблематика. С другой стороны, некоторые вопросы разобраны в «Основаниях математики» все-такн более обстоятельно, чем это сделано в каком-лноо другом месте, что явствует, в частности, и из спроса на эту уже давно распроданную книгу. Ввиду этих обстоятельств нам показалось разумным оставить книгу по существу в ее прежнем виде н внести лишь такие изменения н дополнения, которые находятся в тесной связи с материалом, содержащимся в первом издании.

Было решено также отказаться от изменений в символике н в терминологии. В частности, что касается логической символики. то в ее употреблении все равно нет единства, а переход от одной символики к другой не представляет никаких затруднений. Вводные главы, в которых развивается постановка проблемы, в настоящее издание включены почти беэ изменений. помянем следующие существенные изменения и дополнения (не считая некоторых исправлений н улучшений частного характе а), вн Р ) внесенные в настоящее издание первого тома: 1) в исчислении выс высказывании более подробно рассмотрена дизъюнктивная нормальн р льная форма; 2) включено изложение данного Г. ХазенъегеРом ответа касаю и" зета на один оставшийся в свое время открыткам вопрос, щ»»ноя независимости аксиом системы (В); 3) включено 3 д.гн .1аее»ес и. Бернайс 18 Гил ибер та Геттинген, март 1934 Р -П.

Бернайс Цюрих, август 1968 г. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ замечание Г. Крайэела о том, что при изложении теории отноше ния ~ при помощи рекурсивной функции — ' не требуется привле чения операции сложения; 4) дополнен материал, касающийся рекурсивного изображения максимума; 5) приведено принадле жащее Т. Сколему формальное доказательство устранимост обобщенной схемы индукции; 6) приведенное в первом издании очень сложное доказательство устранимости с-символов заменено более простым доказательством Г. Хазенъегера, основанным на методе Б. Россера; 7) пояснено изложение вопроса о представимости рекурсивных функций в системе 1Х). В общем плане книги не произведено никаких изменений.

Подробный указатель содержания дает достаточную ориентаци ' в отношении содержания и основных идей книги. Мы специально обращаем внимание читателя на этот указатель. Господин Д. Реддинг из Мюнстера составил именной указатель и расширил предметный, а также добавил систему отсылок в виде подстрочных примечаний, облегчающих чтение книги по частям. Я выражаю ему за это мою искреннюю благодарность. Господину Гисберту Хазенъегеру и господину Георгу Крайзелу я благодарен за вклад, внесенный ими в зто новое издание.

В новом доказательстве устранимости с-символов испольаована работа, которую господин Хазенъегер в свое время написал для этой книги. Я с благодарностью вспоминаю о постоянном деятельно участии Генриха П!ольца в работе пад этим новым изданием и том интересе, с которым господин Ф. К. Шмидт неизменно атно сился к этой работе. Господина Герта Мюллера я от всего сердца благодарю за ег многосторонний вклад в подготовку этого нового издания. Господина Дирка Зифкеса иэ Гейдельберга я сердечно благодарю, за чрезвычайно ценяое участие в чтении корректур, а также за внесение дополнений в предметный указатель.

Господину Вальтеру Цаугу я чрезвычайно благодарен за помощь ~рн подготовке текста и прп чтении корректур. Издательству Шпрингера я благодарен за его дружеское отношение и в особенности, с учетом прошед1пего, аа то, что и в те тяжелые времена оно сохраняло со мной связь. ПРЕДИСЛОВИЕ ГИЛЬБЕРТА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Основные идеи моих исследований по основаниям математики, которые я — основываясь на более ранних попытках — возобновил после 1917 г.

в сотрудничестве с П. Бернайсом, обстоятельно изложевлс мною в различных местах. К этим исследованиям, в которых участвует также В. Аккерман, с тех пор примкнули и другие математики. Представленный здесь своею первой частью курс написан Бернайсом и в дальнейшем будет продолжен. Он ставит своей целью изложить эту теорию по ее сегодняпшим результатам. Состояние этих результатов одновременно укааывает нам и направление дальнейгпих исследований в области теории доказательств, ставя в качестве конечной цели установление непротиворечивости всех беэ исключения применяемых в математике методов.

Имея в виду эту цель, я хотел бы подчеркнуть, что возникшее на определенное время мнение, будто иа некоторых недавних результатов Геделя следует неосуществимость моей теории доказательств, является заблуждением. Этот результат на самом деле показывает только то, что для более глубоких доказательств непротиворечивости финитная точка зрения должна быть использована некоторым более сильным образом, чем это оказалось необходимым при рассмотрении элементарных формализмов. 21 П. Бернайс Геттинген, март 1934 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Изложение теории доказательств, выросшей из гильбертов- ского подхода к рассмотрению логических проблем оснований математики, было обещано Гильбертом уже давно. Но претворение этого проекта в жизнь задержалась иа-за того, что на некоторой стадии, когда работа над рукописью уже была близна к завершению, в теории доказательств в результате опуб ликования работ Зрбрана и Геделн возникла совершенно иная ситуация, потребовавшая учета новейших результатов. Объе ' книги при этом увеличился, так что окааалось целесообразны разбить ее на два тома. Относительно содержания и основных идей предлагаемог читателю первого тома подробную информацию дает указател содержания.

Следует особо отметить, что логический формализм разви вается в гл. 111 — 1У с самого начала. Изложение его отличаетс от того, которое принято в книге Гильберта и Аккермана «Основ теоретической логики» (1928), в первую очередь в части, касаю щейся исчисления выскааываний. При дальяейшем построени формализма мы придали, в частности, более точную редакци правилу подстановки, прежняя формулировка которого был недостаточно четкой г). Специальные предварительные знания в области математик у читателя предполагаются в столь же малой степени, как и в обла сти логики. В связи с этим читатель, недостаточно знакомый с основаниям геометрии, а может быть, и с основаниями анализа, не долже пугаться ссылок на «Основания геометрии» Гнльберта, а такж произведенного в гл.