Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 2

Полнота системы (А) 4 5. Включение полной индукции . 1. Формализация принципа полной индукции с помощью формулы и с помощью схемы; равносильность обеих фоэмализаций; ннварнавтпость аапаса выводимых формул без формульных переменных относительно добавления к системе схемы индукции 2. Упрощение рассматриваемой системы аксиом в результате добавления аксиомы индукции; система (В) 4 8. Доказательства независвмости . 2. 1. Невыводимость аксиомы индукции из формул системы (А) -.

Доказательства независимости с помощью метода под- становок 3. Установление ряда других независимостей с помощью модификацив процедуры редукции........... 343 Изображение принципа наименьшего числа прв помощи выражающей его формулы; равносильность этой формулы аксиоме индукции на основе прочих аксиом свезе- ны (В) 348 т) П Рекуреивяые определения Некоторые пояснения принципиального характера 1.

Простейшая схема рекурсии; формалиаацвя интуитивной процедуры вьгчнсленпя; совоставлевие явных определений с рекурсивными 2. Доказательство непротиворечивости добавления рекурсивных определений в рамках элементарного исчисления со свободными переменными; привлечение схемы ивдукцни 3. Невозможность вывода непротиворечивости рекурсивных определений в качестве следствия непротиворечивости систем предыдущих аксиом; заменимость арифметических аксиом явными определениями; явное определение символа < при помощи соответствующей рекурсивной функции; вывод основных свойств символа < Рекурсивная арифметика .

1. Вывод законов для сложения, вычитания, умноизепвя и для символа < 2. Изображение высказываний равенствами вида 1 = О; суммы н произведения с переменным числом членов; изображевяе высказываний с ограниченными квавторэмв; изображение максимума и минимума 3, Делимость; деление с остатком; наимевыпий отличный от 1 делитель; последовательность простых чисел; разложение числа на простые множители; нумерация конечных последовательностей чисел; нумерация числовых пар; наибольший общий делителгб наименьшее общее кратное Некоторые обобщения схем рекурсии и индукции 1.

Рекурсии, допускающие сведение к простейшей схеме рекурсии (примитивная рекурсия); рекурсии пробега, одновременные рекурсии 2. Перекрестные рекурсии; несводимость перекрестных б екурсий определенного типа к примитивным рекурсиям . . Обобщенная схема индукции; устравимость этой схемы Представимость рекурсввиых функций; переход к удовлетворительной системе аксиом для арифметвки 1. Возврат к полному формалнаму; система (С); понятие существенного расширения формалиама; примеры несущественных расширений; представимость функции 2. Доказательство того, что сумма и разность не представвмы в формализме системы (В); рекурсивные равенства для сложения как аксиомы; система (П) 3.

Доказательство непротиворечивости и полноты системы (П) с помощью ыетода редукции; непредставимость умножения в формализме системы (В) 4. Изменение ситуации в случае добавлеввя рекурсивных равенств для умножения; система (Е) Дояолвительиое рассмотрение аксиом равенства 1. Замена второй аксиомы равенства аксиомами более специального характера 2. Применение к системам (А), (В) и (Е) отлА В ли ни в 462 Глава 1 1.

467 467 467 472 486 502 510 510 515 518 522 530 533 533 547 551 Алфавит 3. Применение к проблеме разрешиыости; устраипмость аксиом равенства иэ выводов формул исчисления предикатов УН1. Понятие «тот, который» и его устранимоеть юправило п оперирование с нпм 1. Разъяснения нефориального характера; введение мправила; предотвращение коллизий; изображение функций посредством ытермов 2. Вложение и подчинение; сиыволы длв сокращений 3. Функция ю (А); формализация понлтия наименьшего числа с помощью функции Р„А (з); формулы однозначности .

Дедуктивное построение арифметики на основе системы аксиом (Е) с добавлевиеы формализованного понятия наименьшего числа . 1. Понятие «меиьше»; сравнении; деление с остатком; дели- мост»Ч взаимно простые числа 2. Наименьшее общее кратное двух чисел и конечной последовательности чисел; максимум конечной последовательности чисел . Сведение примитивных рекурсий к явным определениям посредством функции )>„А(з) на основе аксиом системы (Е) 1. Эвристический подход 2. Формальная реализация; возможность обоб>ценил этого метода .

Устраня»>ость характеристик (мсимволов) 1. Обобщение мправила; связь с первоначальным >-правилом; термы»1„".> А (з) 2. Россеровский подход п его упрощение, произведенное Хаэенъегером; подстановка мтермов; аксиома (>); свойства рассматриваемых фор»шльных систем 3. Определение редукции формулы и сведение требующегося доказательства к доказательству выводимостп без юсимволов длв формул, построенных по определенным схемам 4. Доказательство .

5. Формулировка теоремы об устранпмости; переводимость всякой формулм в ее редукцию; сравнение различных методов устранения . . Следствия, вытекающие из устраниыости характеристик 1. Представимость рекурсивных функций в системе (Е) 2. Общий способ исключения функциональных знаков путем введения предикатных символов; исключение индпвидаых символов 3.

Применевие этой процедуры к системе (Е); перспективы дальнейших исследований . Добавление: распространение теоремы о возможности замены аксиомы равенства (7») в случае добавления оправила ный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА ау»томная монография Д. Гнльберта . р я П. Бе кайса заннДэухт е место в мировой математической литературе. Ее первое немецкое издание, вышедшее в трндца ы есс становления математической логики как вело итог процессу оей п облемасамостоятельнои " математической дисциплины со св " р шаю ее влияние тикой н своими м и методами.

Зта книга оказала решающ е азвитие математической логики. на дальнеиш е я всей математики И ея построения универсального языка для и о мализации математических доказа тельств на базе такого и ор» ем. О пако только в середине языка выдвигалась еще Леибницем. д е аботы, посвященные алге раи- 19 века появились первые научны раб те евой логики ж. Буль (1847) и де Морган Пи с (1885) в ели в зык После того как Г.

Фреге (1879) и Ч. ирс алгебры логики предикаты, предметные р . пе еменные и кванторы, возникла реальная воэ»важность прилеп » ить этот язык к вопросаы оснований ыатематикн. С д угой стороны, создание неевклидовой геометрии сильно Р' в в абсолютной надежности поколебало уверенность математиков в о" была основана евклидова геометрической интуиции, на которой бьл ческой инт иции геомет ия. Сомнениям в надежности геометри способствовало также то, что в результате бур р ного азвнтня исчисления бесконечно малых математики натолкнулись на неожиданные примеры всюду непрерывных ункц " водных. Таким образом появилась потребность отделить понятие действительного числа от неясного понятия «величины», которое было основано на геометрической интуиции.

Зта задача была решена равными путями в работах ВейерштрасДедекинда и Кантора. Они показали возможность «арифметизации» анализа и теории функции, в результате чего его в качестве Фундамента всей классической математики стала рассматриваться арифметика целых чисел. Затем была предпринята аксноматизация арифметики (Дедекннд (1888) и Пеано (1891)).

При этом Пеано создал оолее удобную символику для логического язы а. язык был усовершенствован в совместном труде Ра е Рассела и Уайтхеда «Принципы математики» (1919), где была предпринята пгндисловив гвда кто»» э»еского пв»ввод пгвднсловнв гвдхктога ггсского пввивода 12 попытка сведения всей математики к логике.

Но эта попытка не увенчалась успехом, так как оказалось невозможным вывести нз чисто логических аксиом существование бесконечных множеств. Хотя логнцистическая программа Фреге — Рассела в основаниях математики так и пе достигла своей главной цели — сведения математики к логике, в их работах был создан богатый логический аппарат, беа которого оформление математической логики как полноценной математической дисциплины было бы невозможно. На рубеже ХХ века были обнаружены антиномии, связанные с основными понятиями теории множеств. Наиболее сильное впечатлеяие на современников произвела опубликованная в 1903 году антиномия Рассела. Пусть М есть множество всех таких множеств, каждое иэ которых не является своим собственным элементом.