Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 10

Если мы встанем на такую точку зрения, то этот парадокс исчезнет. Несмотря па это, математическая модель движения как комплекс идеализированных понятий, введенных нами с целью упрощения наших представлений, имеет непреходящее значение. Однако для достижения своей цели, кроме приблин<енного совпадении с действительностью, модель эта должна удовлетворять еще одному условию: произведенная в ней экстраполяция должна быть непротиворечивой в себе. При такой точке зрения наше математическое представление о движении не окааывается поколебленным парадоксом Зенона нн в малейшей степени: упомянутый нами мйтематический контраргумент действует здесь в свою полную силу.

Однако совсем другое дело вопрос о том, действительно ли мы располагаем доказательством непротиворечивости математической теории движения. Эта теория существенным обрааом использует математическую теорию континуума, а эта последняя в свою очередь существенно опирается на представление о множестве всех целых чисел как о готовой ~) совокупности. Таким образом, кружным путем мы снова возвращаемся к той самой проблеме, которую мы пытались обойти ссылкой на факт движения. Сходным образом дело обстоит и во всех тех случаях, когда мы полагаем, что бесконечность можно обнаружить непосредственно как данную в опыте или в интуиции — например, как бесконечный ряд тонов, идущий от октавы к октаве, нлн непрерывное бесконечное многообразие переходов от одного цвета к другому. Ближайшее рассмотрение показывает, что бесконечность здесь нам вообще не дана, а просто в зависимости от обстоятельств то интерполируется, то экстраполируется посредством некоторого мыслительного процесса.

В результате этих размышлений мы приходим к пониманию того факта, что вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не может быть разрешен посредством укааания каких-либо внематематических объектов, а должен решаться внутри самой математики. Как, однако, такое решение может быть осуществлено? На первый взгляд кажется, что нам вообще хочется чего-то невозможного. Бесконечное количество индивидов пРедъявить невозможно в принципе; поэтому бесконечность *~ См.

Ории. перев. Ва с. 39. БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДИВИДНАЯ ОБЛАСТЬ игл. г ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРБЧИВОСТИ 42 индивндвой области как таковой может выявиться лишь в ее структуре, т. е. в тех отношениях, которые имеются между ее элементами. Другими словами, мы должны будем показать, что рассматриваемая индивидная область удовлетворяет определенным формгльным соотношениям. Следовательно, существование бесконечной нндивидной области нельзя представить себе иначе, кроме как через выполнимость определенных логических формул; однако это будут формулы как раз того самого рода, что и формулы.

в результате исследования которых мы были подведены к вопросу о том, существует ли какая-нибудь бесконечная ипдивидная область, и выполни«теть которых мы как раз и должны были установить посредством указания некоторой бесконечной индивидной области. Таким образом, попытка применить упомянутый метод построения модели Б рассматриваемым формулам приводит нас к порочному кругу. 3. Установление непротиворечивости как доказательство невозможности; метод арифметизации. До сих пор при установлении непротиворечивости систем аксиом в качестве дозволенного средства нам разрешалось использовать только построения определенного рода.

К этому методу пас привело рассмотрение индивидных областей с конечным числом индивидов, поскольку мы уяснили себе, что для области такого рода непротиворечивость какой- либо формулы равнозначна ее выполнимости. В случае бесконечных индпвидных областей положение вещей оказывается гораздо более сложным. Правда, здесь все еще остается справедливым утверждение о том, что система аксиом, представлеяная формулой Я, противоречива тогда и только тогда, когда общезначима формула л 2[. Однако, поскольку теперь мы уже больше не имеем деля с обозримым запасом пробегов значений для переменных преднкатов, то из необщезначимости л Я нельзя будет заключить, что в нашем распоряжении имеется модель. Ба которой система аксиом Р( выполняется.

Таким образом, в случае бесконечной индивидной области выполнимость какой-либо системы аксиом является условием, достаточным для ее непротиворечивости, но мы не можем считать его необходимым. Поэтому нельзя рассчитывать, что доказательство непротиворечивости всегда можно будет осуществить при помощи некоторого доказательства выполнимости. С другой стороны, мы вовсе и не обязаны доказывать непротиворечивость путем установления выполнимости; более того, мы можем остановиться на первоначальном, негативном понимании непротиворечивости.

Это означает. что если мы снова представим себе систему аксиом записанной в виде формулы Я, то нам нужно будет доказывать не выполнимость формулы Я, а лишь то, что допущение о выполнении е( посредством каких-либо определенных предикатов не может привести к логическому противоречию. Штурм рассматриваемой проблемы с этой стороны мы начнем с обзора логических следствий, которые можно извлечь из задавпой системы аксиом. Подходящим для этих целей средством Бам представляется метод формализации логического вывода в том виде, как он был развит Фреге, Шредером, Пеано н Расселом. Таким образом, мы пришли к следующему плану работы: 1) строго формализовать принципы логического вывода п подготовить таким образом систему правил вывода.

которая была бы полностью обозримой; 2) для заданной системы аксиом Я (непротиворечивость которой должна быть установлена) показать, что, исходя иг нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна иг катар х является отрицанием другой. Это доказательство нам не нужно будет проводить для каждой спстемьг аксиом в отдельности. Вместо этого мы сможем воспользоваться уже упоминавшимся в начале этой главы методом арифметигации '). С нашей нынешней точки зрения его можно охараптеризовать следующим образом. Мы ищем такую систему аксиом 2(, которая, с одной стороны, имела бы настолько обозримую структуру, чтобы можно было осуществить доказательство ее непротиворечивости (в смысле и. 2 из намеченного выше плана), а с другой стороны, была бы настолько богатой, чтобы, исходя нз ее модели, если предположить, что она имеется е нашем распоряжении в виде некоторой системы Я объектов п отношений, мы могли построить также и модели для систем аксиом различных геометрических и физических дисциплин, причем таким образом, чтобы объекты какой-либо такой системы Ж были представлены индивидами из Я или их комплексами, а в качестве основных отношений брались такие преднкаты, которые можно образовать нз основных отношений системы о при помощи логических операций.

Тем самым непротиворечивость рассматриваемой системы к) фактически оказалась бы установленной: в самом деле,противоречие, если бы оно получилось в качестве следствия из атой системы аксиом, представляло бы собой также противоречие, выведенное яз системы аксиом ПП между тем непротиворечивость Ч уже установлена. Нам представляется, что роль такой системы Я ыог бы сыграть (гксиоматнчески достроенный) анализ.

Этот «метод сведепияз аксиоматических теорий к анализу ве требует, чтобы анализ представлял собой нечто такое, что Р~ * "Р'" П Ц См. е. 25. ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ГЛАВА 11 [гл. > наглядной форме; напротив, от анализа нам не требуется ничего, кроме того, чтобы он был совокупностью идей, непротиворечивость которой мы в состоянии доказать и которая представляет в наше распоряжение такие систематические рамки для упорядочения аксиоматических систем теоретических научных дисциплин, что осуществляемые в них идеализации реальной действительности такнзе оказываются непротиворечивыми.

Теперь коротко подведем итоги наших последних рассуждений. Проблема выполнимости какой-либо системы аксиом (соответственно какой-нибудь логической формулы), которая в случае конечной индивидной области может быть решена в позитивном смысле путем построения соответствующей модели, в том случае, когда для доказательства выполнимости требуется использование бесконечной индивидной области, не может быть разрешена укаэанным методом, поскольку существование бесконечной индивидной области само по себе не может считаться бесспорным; более того, введение таких бесконечных областей само может быть обосновано лишь посредством доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом, характеризующей бесконечное.

Ввиду того, что позитивный метод решения в этой ситуации оказывается невозможным, нам остается лишь один путь, путь негативных по своему характеру доказательств непротиворечпвости, т. е. путь доказав>зластав невозможности, для чего оказывается необходимой формализация логического вывода. И раз уж нам прин>лось столкнуться с подобного рода задачей, требующей доказательства невозможности, мы должны отчетливо осознать, что само такое доказательство уже не может быть осуществлено с помощью методов экзистенциально-аксиоматического вывода. Более того, мы будем вправе применять лишь такие способы рассуждений, которые не содержат в себе никаких идеализированных экзистенциальных предположений. На основе этого обсуждения у нас немедленно возникает следующая идея.