Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 12

Зти законы мы будем рассматривать как утверждения о произвольных заданных цифрах и, в качестве таковых, будем устанавливать их с помощью наглядных рассуждений. .Непосредственно из определения сложения может быть извлечен закон ассоциативности, согласно которому для произвольных цифр а, Ь, с имеет место равенство а+(6+ с) = 11а+ 6) +с. Закон коммутативности, который гласит, что для любых а и Ь а+Ь=Ь+а, получается не столь прямо. Для его доказательства мы воспользуемся методом полной индукции. Преясде всего давайте уясним себе, как этот способ умозаключений должен пониматься с позиций нашей элементарной точки зрения. Допустим, что мы рассматриваем некоторое высказывание, относящееся к произвольной цифре и имеющее Элементарно наглядное содержание. Пусть зто выскааывание верно для цифры 1, н пусть известно также, что всякий раз, когда оно верно для какой-либо цифры п, оно верно тайже и для цифры п + 1.

Тогда отсюда мы делаем вывод, что рассматриваемое высказывание верно для любой заданной цифры а. Действительно, а строится, начиная с цифры 1, путем ряда последовательных присоединений этой цифры, Раз мы констатировали, что рассматриваемое высказывание верно для цифры 1 и что при каждом присоединении этой цифры оно, в силу сделанного предположения, оказывается верным и для вновь полученной цифры, то в момент завершения построения а мы придем к выводу о там, что это высказывание верно также и для а. Таким образом, мы имеем здесь дело не с каким-либо самостоятельным принципом, а лишь с некоторым следствием, извлекаемым нами из того факта, что построение цифр производится определенным конкретным способом.

С помощью атого способа умозаключений мы теперь обычным образом можем показать, что для любой цифры а 1+а=а+1, и, далее, на основании этого, что всегда справедливо равенство а+Ь=Ь+а. Теперь рассмотрим вкратце вопрос о введении умножения, деления и непосредственно связанных с ними понятий. Умножение моясет быть определено следующим обр зом: а Ь означает цифру, которая получается из цифры Ь замещением в процессе ее построения каждой цифры 1 цифрой а, так что сначала мы изготавливаем цифру а, а затем при построении Ь всякий раз вместо присоединения 1 производим присоединение а.

Л. Гильеерь и. ь.раааа интуитиВные РАссуждения либо а представляется в виде а=(б а)+т, причем ,а.(б+с)=(а 5)+(а.г). (б.а)+ г((б.а) (. б, так что г(б. 51, 511,...,ба б а=(1 а)+(с а). Следовательно, а(б а. Тем самым либо а=б Э, 59 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА И'Л «Ы Из этого определения умножения непосредственно получается закон ассоциативности, а затем и дистрибутивности, согласно которому для любых а, б и с Второй закон днстрибутивности, согласно которому всегда имеет место равенство (б+с) а=(б а)+(с а), может быть выведен из закопав для сложения с помощью описан- гого вьппе метода полной индукции.

С помощью этого метода может быть также установлен и закон коммутативности умножения. Чтобы определить деление, мы должны будем осуществить некоторые предварительные рассмотрения. Построение любой цифры по своему характеру таково, что при очередном навешивании 1 всегда получается некоторая новая цифра. Таким образом, построение какой-либо цифры а осуществляется нами путем построения конкретного ряда цифр, который начинается цифрой 1, оканчивается цифрой а и в котором каждая цифра получается из предыдущей приписыванием 1. Отсюда немедленно видно, что кроме самого а этот ряд содержит лишь цифры, меньшие а, и что всякая цифра, меньшая а, встречается в этом ряду.

Для краткости мы будем называть эту последовательность цифр рядом цифр от 1 до а. Пусть теперь б — отличная от 1 цифра такая, что б (а. Тогда б имеет вид 1 + г и потому Теперь умножим Ь последовательно на цифры из ряда от 1 до а. Тогда в полученном ряде цифр 51, 511,...,ба первая меньше а, а последняя болыпе а. Будем идти по этому ряду до тех пор, пока впервые не встретим такую цифру, которая больше а; тогда предыдущая цифра — пусть зто будет б а— либо равна а, либо меньше а, в то время как б (д + 1) = (б. д) + б ) а. В первом случае а д е л и т с я н а б, во втором случае имеет место деление с остатком.

Вообще, мы говорим, что а делится на б, если среди цифр ряда встречается цифра а. Это определение будет годиться и для слу- чая б = 1, и для случая б = а, и для только что рассмотрен- ного нами случая. Из определения делимости непосредственно следует, что если а делится на б, то установление факта делимости одновременно дает и представление а в виде а=б а. Верно, однако, и обратное: из равенства а=б а следует, что (в определенном выше смысле) а делится на б, так как цифра а содержится среди цифр от 1 до а, Пусть а Ф 1, и пусть среди цифр от 1 до а не встречается ни одного делителя а, за исключением 1 и а, так что любое произведение ш и, где ш н и принадлежат ряду цифр от 2 до а, отлично от а.

Тогда мы называем а простым числом. Пусть и — цифра, отличная от 1. Тогда среди цифр 1 от до и обязательно найдется первая, отличная от 1 и являющаяся дели- телем и. Относительно этого наименьшего отлич- и о г о о т 1 д е л и т е л я и легко показать, что он является простым числом. Теперь мы уже можем методом Евклида доказать теорему о том, что для любой цифры а может быть указано простое число, боль- шее а. Действительно, перемножим все цифры ряда от 1 до а, наи прибавим к этому 1 и возьмем у полученной таким образом циф ы Р аименьшии отличный от 1 делитель к Он являетсн простым числом. слом. Легко также установить, что Г не может встречаться среди чисел от 1 до а.

Тем самым > ) а. 3. А° Аекурснэные определения. Начиная с этого места, даль- нейшее построение элементарной арифметики становится очевид- ным' лишь шь один пункт еще нуждается здесь в серьезных поясне- 1 т] инту!|тиВнъ|з РАссуя<дения 53 53 эчементАРнАя АРиФметикА. Финит|1АН устАЯОВкА 1гл. 11 ниах — это метод рекурсивных определений. Давайте постараемся понять, в чем заключается этот метод.

Вводится какой-нибудь новый функциональный знак (например, <р) и рассматриваемая функция определяется при помощи двух равенств, которые в простейшем случае имеют вид <р(1) =- а, <р(п+1) =-<ф(<р(п), и). Здесь а — цифра, а тр — функция, построенная путем 'комбинировании уже известных функций, так что тр (Ь, с) может быть вычислено для любых заданных цифр Ь и с и принимает в качестве значения некоторую цифру. Например, функция р(п)=1 2 ...

° и может определяться равенствами р(1) =1, р(п+1) =р(п) (п+1). Мы должны будем специально разъяснить, какой смысл вкладывается в такой способ определения, и тут нам прежде всего потребуется уточнить понятие функции. Под функцией мы будем понимать наглядное предписание, на основании которого заданной цифре или паре, тройке и т. д. цифр сопоставляется некоторая новая цифра. Пару равенств указанного выше вида, называемую рекурсией, мы будем рассматривать как сокращенное сообщение о следующем предписании. Пусть ш — произвольная цифра. Если тп = 1, то сопоставим ш цифру а. В противном случае тп имеет вид Ь + 1. Тогда мы прежде всего составим выражение ту(<р(Ь), Ь).

Если Ь = 1, то заменим в этом выражении <р (Ь) цифрой а; в противном случае Ь снова имеет вид с + 1 и тогда мы заменим <р (Ь) выражением тф (<р (с), с). Снова либо с = 1, либо с ниеот вид Ь + 1. В первом случае заменим <р (с) цифрой а, во втором — выражением ф(ц(ь), ъ). Выполнение этого предписания обязательно завершится, так как цифры Ь,с,Ь,..., которые мы последоВательно строим друг за другом, предстаВляют собой последовательную ликвидацию цифры ш, а она, как и построение ш, обязательно должна завершиться. Если в процессе ликвидации ш мы уже доптлп до 1, то заменим <р (1) цифрой а. В получакп;ееся при этом выражение знак <]т больше ве входит, из функциональных знаков в псы теперь встречается только тр, повторенное.

быть может, несколько раз, а самыми внутренними аргументами являются цифры. Тем самым мы пришли к выражению, которое моя;ет быть вычислено, так как тр является известной функцией, Теперь это вычисление должно быть Вь.полнево изнутри и получакщуюся прн этом цифру мы сопоставим цифре ш. Характер этого предписания прежде всего позволяет нам заьлючить, что в принципе оно может быть выполнено для произвольной наперед заданной цифры тп и что результат его выполнения определяется однозначно. Одновременно мы получаем та»же, что для всякой заданной цифры и будет выполняться равенство <с(п+1) =-тр(<с(п), п), если в нем заменить <р (п) и <р (и + 1) цифрами, сопоставленными согласно наптему предписанию цифрам и и и + 1 соответственно, а затем воспользоваться определением ун<е известной функции В полном соответствии с этим трактуется и несколько болев общий случай, когда определяемая функция <р дополнительно зависит от одной нли нескольких неопределенных цифр — <шара- метров».