Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 14

у + у' выраясает тот факт, что в соответствии с установленными нами правилами полинам (х + у) (х + у) заменйм посредством поли- нома хг + 2.х у + у«. На основании утверждения б) мы можем отсюда заключить, что если ш и п суть знаки для чисел, то (ш + и) (ш + и) совпадает в арифметическом смысле с ш ш + +2 ш и+п.п.

в) Всякий полинам эаленйм либо нулем, либо суммой различных произведений степеней переменных (в качестве такого произведения рассматривается и полинам 1), каждое иэ которых имеет положительный или отрицательный числовой коэффициент. Вта нормальная форма доставляет нам способ, позволяющий для двух данных полиномов репгить вопрос о том, являются ли они взаимозаменимыми. Именно, имеет место следующее утверждение: г) Никакой полинам, являющийся суммой различных произведений, степеней с числовыми коэффициентами, не галенйм нулем; два таких полинома вэаилозаменимы только тогда, когда они е точностью до порядка слагаемых и множителей совпадают друг с другом. Вторая часть этого утверждения следует из первой, а эта последняя в свою очередь может быть доказана с помощью теоремы б) путем рассмотрения соответствующих подстановок цифр.

В качестве специального следствия из г) пол учаестя следующее утверждение: д) Если цифра Ш, рассматриваемая как полинам, заменима цифрой и, то ш совпадает с н. К этим теоремам надлежит сделать следующее методическое замечание. Фигурирующие в утверждениях а) н д) посылки следует понимать таким образом, что констатировать заменимость одного полинома другим мы уславливаемся в соответствии со сформулированными выше правилами. В теореме в) утверждение о заме- нимости конкретизируется посредством указания некоторого способа, приводимого в доказательстве теоремы. Таким образом, здесь, как и в случае элементарной арифметики, мы полностью укладываемся в рамки элементарных содержательных рассуждений.

Это замечание остается справедливым и в отношении других теорем и доказательств элементарной алгебры. 5 3. Финитная точка зрения; выход за ее пределы в области арифметики 1. Логическая характеризация финитной точки зрения. Осуществленное нами рассмотрение начал арифметики и алгебры было предпринято с целью продемонстрировать, как на практике применяются и используются прямые содержательные рассуждения, совершающиеся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами и не зависящие от предположений аксиоматичесиого характера.

Рассуждения такого рода мы для краткости будем называть ф и н и т н ы м и, а методическую установку, лежащую в основе этих рассуждений, мы будем называть ф и н и тн о й установкой или ф и н и т н о й точкой зрения. В том же самом смысле мы будем говорить о фияитных понятиях и утверждениях, подчеркивая всюду словом ф и н и т н ы й, что рассматриваемое рассуждение, утверждение или определение придерживается рамок принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций, а тем самым происходит в рамках конкретного рассмотрения. Чтобы охарактеризовать финитную точку зрения, мы еще должны будем сделать несколько замечаний общего характера по поводу типов логических суждений, употребляемых в финитном мышлении.

При этом для конкретности мы ограничимся высказываниями о цифрах. Всеобщее суждение о цифрах финитно может быть истолковано лишь в гипотетическом смысле, т. е. как высказывание о произвольной заданной цифре. Такое суждение провозглашает некоторый закон, который должен подтверждаться в каждом конкретном случае. Экзистенциальное утверждение о цифрах, т. е. утверждение вида «существует цифра п, обладающая свойством Я (п)ь, с финитной точки зрения рассматривается как «частичное суждениез, т. е. как неполное сообщение о некотором более полном высказывании, заключающемся либо в прямом указании некоторой цифры, обладающей свойством Я (п), либо в указании способа построения такой цифры, причем в задание способа входит и указание определенной границы для числа подлежащих выполнению действий.

Те суждения, в которых всеобщее высказывание сочетается с экзистенциальным, финитпо должны истолковываться соответ- 6О элементАРнАЙ АРиФметикА, Финитнля УстАнОВКА 1гл, н ФИНИТНАЙ ТОЧКА ЗРЕНИЙ 61 ственвым образом. Так, например, суждение вида «для всякой цифры 1, обладающей свойством Я (1), существует цифра 1, для которой имеет место й> (1, 1)» фивнтно должно рассматриваться как неполное сообщение о некотором способе, которь>й для всякой цифры 1, обладающей свойством Я (1), позволяет находить цифру 1, которая находится к 1 в отношении й) (1, 1).

Особой осмотрительности требует применение отри>1анил. Она не представляет проблемы в случае з л е м е н т а р н о г о суждения, т. е. суждения, касающегося вопроса, которь>й ма>нет быть разрешен путем прямой наглядной констатации («узрения»). Например, если 1 и 1 — вполне определенные цифры, то можно непосредственно установить, справедливо лн равенство 1+6=1, т. е. совпадают ли цифры 1 + 1 и 1. Отрицание такого элементарного суждения попросту означает, что результат соответствующей наглядной проверни отличается от того, что утверждается в суждении; для элементарного суждения всегда имеет место альтернатива, заключающаяся в том, что либо справедливо оно само, либо его отрицание. Напротив, для всеобщего н для экзисте>шпального суждения без специальных разъяснений не ясно, чтб именно должно считаться его отрицанием в финитном смысле. Рассмотрим сначала экзистенциальные высказывания. То, что не существует цифры п, обладающей свойствомЯ (и), можно было бы в нестрогом смысле слава понять как констатацию того факта, чта у нас нет в распоряжении цнфрь> с этим свойство»и.

Однако такая констатация, ввиду ее соотнесенности со случайным состоянием наших знаеий, не имела бы никакого объективного смь>ела. Если я:е мы хотим, чтобы несуществование цифры и, обладающей свойством Я (и), утверждалось независимо от состояния наших знаний, то в финитном смысле это моя«ет быть осуществлено лишь посредством некоторого утверждения о невозможности, т. е. утверждения, выражающего тот факт, чта никакая цифра и не может обладать свойством Я (и). Так мы пришли к усиленному отрицанию; однако это последнее не является точной контрадиктореой противоположностью экзистенциального утверждения «существует цифра и со свойством Я (и)», которое, будучи частичным суждением, содержит в себе ссылку на некоторую определенную цифру, обладающую этим свойством, нлн же ва способ, которь и мы располагаем для построения такой цифры.

Экзистенциальное высказывание и его усиленное отрицание не являются, как это имеет место в случае элементарного высказывания и его отрицания, высказываниями о двух единственно возможных исходах одного и того»ее аква проверки, а соответст- вуют двум оторванным друг от друга возможностям, имепйо— нахождению, с одной стороны, некоторой цифры с заданным свойством и установленшо, с другой стороны, некоторого общего закона, касающегося цифр.

То, что одна из этих двух возможностей непременно должна осуществиться, логически абсолютно само собой не разумеется. Поэтому с финитпой точки зрения мы не можем пользоваться альтернативой, утверждающей, что либо существует цифра п, для которой Я (а) справедливо, либо что справедливость Я (и) исключается для любой цифры и. Подобным же образом обстоит дело и с финитным отрицанием всеобщего суждения, т.

е. суждения вида «для каждой цифры п имеет места Я (п)». Отрицание справедливости такого суждения само по себе непосредственного финитного смысла пе имеет. Если же эта отрицание усилить до утверждения, что тождественная истнниорть Я (и) моя«ег быть опровергнута контрпрнмером, то зто усиленное отрицание не будет являтьсн контрадикторной противополо>кностью рассматриваемого всеобщего суждения; действительно, в этом случае снова абсолютно само собой не разумеется, что либо должно иметь место всеобщее суждение, либо ега усиленное отрицание, т.

е. что либо Я (н) должно иметь место для любой заданной цифры п, либо что можно указать такую цифру, для которой Я (и) места не имеет. Разумеется, надо заметить, что построение контрпрнмера не является единственной возможностью опровергнуть всеобщее суждение. Другой способ мог бы заключаться в попытке вывести из рассматриваемого всеобщего суждения какое-либо противоречие. Такой подход тоже не устранил бы упомянутой трудности— пожалуй, вследствие такого подхода осложнения скорее возросли бы. В самом деле, альтернатива, заключающаяся в том, что всеобщее суждение о цифрах должно либо иметь место, либо вести к противоречию и, значит, быть опровержимым, не является логически очевидной.

Кроме того, абсолютно само собой не разумеется, что всякое такое суждепие в случае опровержимостн должно опровергаться при помощи контрпримера. Сложная ситуация, с которой мы здесь столкнулнсь приобсуждепнн в рамках финитной точки зрения вопроса об отрицании суя«дений„соответствует тезису Брауэра о неприемлемости закона исключенного третьего в применении к бесконечным совокупностям. Действительно, в рамках финнтной точки зрения зта неприемлемость имеет место постольку, поскольку для экзистенциальных н всеобщих суждений не удается найти отрицания, имеющего финитпый смысл и удовлетворяющего закону исключенного третьего.

Сказанного, пожалуй, достаточно для характеризации финитной точки зрения. Если мы теперь обратимся к анализу в его традиционном наложении с целью выяснить, соответствует ли он Финитнля точкА згения » г) зг ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА ФИНИТНАЯ УСТАНОВКА ГЛ 11 точке зрения такой методики, то мы заметим, что это не так, что принятые в анализе способы рассуждений и образования понятий самыми различными способами выходят за рамки финитных рассмотрений. 2. «Тег11пш поп г)а1пг» Я) для целых чисел; принцип наименьшего числа.

Выход за рамки фннитной точки зрения присутствует уже в способах умозаключений, применяемых в арифметике. Действительне, высказывания о существовании целых чисел (в обычной математике вместо ц и ф р мы говорим о ц е л ы х ч и с л а х (точнее, положительных целых числах или, для краткости, ч и с л а х)] здесь допускаются независимо от возможности фактического построения соответствующих чисел.